2010年湖南高考数学理科试卷带详解

1、20年高考理科数学试题湖南卷一、选择题 :本大题共8 小题，每小题5 分，共 4分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. .已知集合1,2,3 ,2,3,4mn，则 () mnb.nmc.2,3mnd1,4mn【测量目标】集合的基本运算。【考查方式】直接给出两个集合先通过交、并、补集运算得出两个集合之间的关系,得出正确结论。【难易程度】容易【参考答案】 c 【试题解析】1,2,3m，2,3,4n，2,3mn，故选 c. 2.下列命题中的假命题是(）a.xr，120 xb.*xn，2(1)0 xxr,lg1xd。xr,tan2x【测量目标】全称量词与存在量词。【考查方式】给出含有全

2、称量词与存在量词的命题，判断真假得出结论【难易程度】容易【参考答案】 b 【试题解析】易知a、c、 d 都对，而对于b，当1x时，有2(1)0 x,不对，故选b3。极坐标方程cos和参数方程123xtyt(为参数）所表示的图形分别是() a.圆、直线直线、圆c。圆、圆 .直线、直线【测量目标】极坐标方程和参数方程与普通方程的互化。【考查方式】给出极坐标方程与参数方程先转化为普通方程再判断其表示的图形【难易程度】容易【参考答案】 a 【试题解析】由极坐标方程cos可得222cos ,0 xyx表示的是圆；由参数方程1,23xtyt推得直线310 xy,故选 a. 4。在rtabc中，=904ca

3、c，,则ab ac等于（）.16。.。【测量目标】平面向量在平面几何中的应用. 【考查方式】在三角形中通过向量数量积的定义运算求解三角形两条边的数量积. 【难易程度】容易【参考答案】 d 【试题解析】2| |cos|16ab acabacbacac，故选 . 5。421dxx等于（ ) a2ln2。2ln 2c。ln 2d。ln 2【测量目标】定积分的运算【考查方式】直接给出定积分的式子求值。【难易程度】容易【参考答案】【试题解析】由微积分易知，1(ln)xx，421ln 4ln 2ln 2dxx,故选 d6。在abc中,角,a b c所对的边长分别为, ,a b c,若120c,2ca,则（

4、）abb。ababd。与的大小关系不能确定【测量目标】余弦定理. 【考查方式】给出三角形中一个角和两条边的关系运用余弦定理判断选项的正误. 【难易程度】容易【参考答案】 a 【 试 题 解 析 】 由 余 弦 定 理 得2222222cos2cababcaabab， 则 有22abab,而abc的边长,a b均大于零，因而有ab，故选 a.在某种信息传输过程中，用 4 个数字的一个排列(数字允许重复） 表示一个信息,不同排列表示不同信息 ,若所用数字只有0 和 ,则与信息010 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 ( ） 10b.11c。12 d。15 【测量目标】排列组合. 【考查方

5、式】给出一个实际问题运用排列组合的相关知识求解. 【难易程度】中等【参考答案】 b 【试题解析】易知数字0 和无限制排列时有4216种 ;与信息 0110 四个对应位置上的数字都相同的只有个：0110;三个相同的有个，分别为:0111, ,0010,11，由间接法可得符合条件的有4342c1=11个,故选 b用min, a b表示,a b两数中的最小值若函数( )min|,|f xxxt的图像关于直线12x对称，则的值为（) ab .d1 【测量目标】函数图像的性质。【考查方式】给出函数,画出其图像 ,通过对其图像的判断求解未知参数. 【难易程度】中等【参考答案】 d 【试题解析】本题考查了数

6、形结合思想的运用.画出图形，知对称轴为122tx,因此1t，选 d。第 8 题图二、填空题 :本大题共7 小题 ,每小题 5 分,共 3分。把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。9.已知一种材料的最佳入量在110g到 2 0之间 .若用 0.61法安排实验,则第一次试点的加入量可以是g 【测量目标】黄金分割点。【考查方式】运用黄金分割点的相关性质解决实际问题。【难易程度】容易【参考答案】171.8g或148.2g【试题解析】由61法求得第一次试点的加入量为110 100 0.618171.8g 或210 100 0.618148.2g 0.如图所示， 过o外一点 p 作一条直线与o交于,a b

7、两点已知a2， 点到o的切线长 pt=4，则弦ab的长为第 1题图【测量目标】切割线定理。【考查方式】运用切割线定理求解圆中的弦的长度。【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】由切割线定理知2ptpa pb，得b=，因此， a=6。11在区间 1,2上随机取一个数x，则| 1x的概率为【测量目标】几何概型. 【考查方式】运用几何概型的相关知识求解区间内长度取值范围概率. 【难易程度】容易【参考答案】23【试题解析】因为12x，所以|1x即为11x的概率为23。12.如图是求2221232+100的值的程序框图,则正整数第 12 题图【测量目标】循环结构的程序框图【考查方式】给出程序框图,阅读并

8、运行程序再得出结果. 【难易程度】容易【参考答案】 100 【 试 题 解 析 】 因 为 第 一 次 循 环21s, 第 二 次 循 环2212s ， 输 出 结 果 为2222123100s，所以循环了10 次,则正整数100n13图中的三个直角三角形是一个体积为03cm的几何体的三视图，则. 第 13 题图【测量目标】三视图。【考查方式】直接给出一个几何体的三视图已知其体积求其高. 【难易程度】容易【参考答案】 4 【试题解析】 本题考查了三视图，考查了锥体体积的计算公式由三视图得几何体为底面为直角边长为和6 的锥体 ,由正视图得锥体的高为h,所以11562032h，解得4h. 14.过

9、抛物线22(0)xpy p的焦点作斜率为1 的直线与该抛物线交于,a b两点，,a b在轴上的正射影分别为,d c若梯形abcd的面积为122,则p【测量目标】抛物线的一般方程，抛物线的简单几何性质【考查方式】先求抛物线的解析式在运用其简单几何性质求解未知参数. 【难易程度】中等【参考答案】 2 【试题解析】设直线方程为2pyx，设 a 点纵坐标为、 b 点纵坐标为（12yy） ，(步骤1)又得2abcd即12212()2yypyy（ 1） ,(步骤2)又因为梯形面积为122， 则 得1221()()24 2yyyy( ),( 步 骤3 ） 由 (1 ）、（ ） 联 立 得1212()()48

10、yyyyp（*) ，由222xpypyx得22304pypy，(步骤 4）由韦达定理得123yyp代入（ *) 解得2p。(步骤 5）15若数列na满足： 对任意的nn，只有有限个正整数使得man成立 ,记这样的的个数为()na，则得到一个新数列()na.例如 ,若数列na是1,2,3,n，,则数列()na是0,1,2,1,n，.已知对任意的nn,2nan，则5()a, () )na【测量目标】数列的创新运用。【考查方式】给出一个数列赋予其新性质求解数列中的未知项。【难易程度】中等【参考答案】 2【试题解析】222222123451 ,2 ,3 ,4 ,5 ,naaaaaan，易知其中小于5

11、的只有两个121,4aa,故5()a2;(步骤1）类推得：1()0,a234()()()1,aaa569()()()2,aaa10()3,a， (步骤 2)故1() )1,a22() )42 ,a223() )93 ,() ).naan(步骤 3）故填5()a2，() )na （步骤 4）三、解答题 :本大题共6 小题，共75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 6.（本小题满分12 分)已知函数2( )3 sin22sinf xxx(）求函数( )f x的最大值；（i）求函数( )f x的零点的集合。【测量目标】诱导公式,三角函数的最值,函数的零点 . 【考查方式】给出一个三角函数先

12、运用诱导公式化简再求解其最大值和零点所在的集合【难易程度】中等【试题解析】 （ )因为( )3 sin 2(1cos2 )2sin(2)1,6f xxxx(步骤 1）所以 ,当22 ,62xk即()6xkkz时, 函数( )f x取得最大值.（步骤 2) （ii)解法 1 由(）及( )0f x得1sin(2)62x(步骤 ),所以22 ,66xk或522 ,66xk即 ,xk或.3xk（步骤）故函数( )f x的零点的集合为| ,.3x xkxkkz或，（步骤 ) 解法 2 由( )0f x得22 3 sincos2sin,xxx,（步骤 )于是sin0,x或3 cossin,xx即tan3

13、.x(步骤 4）由sin0 x可知xk；由tan3x可知.3xk(步骤 ) 故函数( )f x的零点的集合为| ,.3x xkxkkz或，(步骤 ) 17 (本小题满分12 分）如图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图(）求直方图中x 的值(ii）若将频率视为概率,从这个城市随机抽取位居民(看作有放回的抽样） ，求月均用水量在 3 至 4 吨的居民数x 的分布列和数学期望第 17 题图【测量目标】频率分布直方图,分布列与数学期望。【考查方式】 给出一个与实际问题有关的频率分布直方图先观察图求出未知参数，再运用分布列与数学期望的相关知识求解答案。【难易程度】中等

14、【试题解析】 （）依题意及频率分布直方图知，0.020.10.370.391,x解得0.12x(ii) 由题意知，(3,0.1)xb(步骤 1)因此033(0)c0.90.729p x,123(1)c0.10.90.243p x, 223(2)c0.10.90.027p x，333(3)c0.10.001p x,(步骤 2）故随机变量x 的分布列为x1 2 3 79 0。 43 0。020.001 x 的数学期望为30.10.3ex或1 0.24320.02730.0010.3ex.（步骤 3）8.(本小题满分12 分)如图所示 ,在正方体1111abcda b c d中,e 是棱 d的中点

15、. （ )求直线 be 与平面 ab1a1所成的角的正弦值； (i)在棱 c11上是否存在一点,使f/平面 a1？证明你的结论. 第题图【测量目标】线面角,线面平行的判定。【考查方式】给出空间几何体运用线面角及线面平行的性质求解。【难易程度】中等【试题解析】 (）解法1设正方体的棱长为1如图所示 ,以1,ab ad aa为单位正交基底建立空间直角坐标系(步骤）依题意 ,得1(1,0,0),(0,1,),(0,0,0),(0,1,0).2bead所以1( 1,1, ),(0,1,0).2bead（步骤 ) 在正方体1111abcda b c d中，因为ad平面11abb a，所以ad是平面11a

16、bb a的一个法向量 .(步骤 3)设直线 be 和平面11abb a所成的角为 ,则|12sin3312be adbead.即直线 be 和平面11abb a所成的角的正弦值为23.（步骤 4）第 18 题（ 1)图( )依题意 ,得1(0,0,1),a11( 1,0,1),( 1,1, ).2babe设, ,x y zn是平面1a be的一个法向量 ,(步骤 5)则由10,0babenn,得0,10.2xzxyz所以xz，12yz.取2z，得2,1,2n.（步骤）设f 是棱11c d上的点 ,则( ,1,1)(01).f tt又1(1,0,1),b所以1(1,1,0).b ft（步骤 7)

17、而1b f平面1a be,于是1/ /b f平面1a be110(1,1,0)2,1,202(1)102b ftttnf 为11c d的 中点 .（步骤 8) 这说明在棱11c d上存在点(11c d的中点） ,使1/ /b f平面1a be(步骤 9）解法 2 (）如图（ )所示，取1aa的中点 m，连结 e，bm.因为 e 是1dd的中点，四边形11add a为正方形 ,所以/ /emad （步骤5)又在正方体1111abcda b c d中，ad平面11abb a，所以em平面11abb a,从而 bm 为直线be 在平面11abb a上的射影, （步骤 )ebm为 be和平面11abb

18、 a所成的角设正方体的棱长为2,则2emad,（步骤 7）2222213be于是，在rtbem中，2sin.3emebmbe即直线 be 和平面11abb a所成的角的正弦值为23.(步骤 ) 第 8 题图 (）第 18 题图（ b）（ i)在棱11c d上存在点,使1/ /b f平面1a be. 事实上 ,如图（ b）所示 ,分别取11c d和cd的中点,f g,连结1,eg bg cdfg因1111/ / /a db cbc，且11a dbc，所以四边形11a bcd为平行四边形，(步骤 1) 因此11/ /d ca b.又,e g分别为1d d,cd的中点 , 所以1/ /egd c,从

19、而1/ /.ega b这说明1,a b g e共面 (步骤 11）所以bg平面1a be.因四边形11c cdd与11b bcc皆为正方形 , ,f g分别为11c d和cd的中点 ,所以11/ / /fgc cb b，且11fgc cb b，(步骤 12）因此四边形1b bgf为平行四边形 ,所以1/ /b fbg. 而1b f平面1a be,bg平面1a be,故1/ /b f平面1a be.(步骤 13) 19.(本小题满分13 分 )为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川上相距8k的 a,b 两点各建一个考察基地.视冰川面为平面形,以过,两点的直线为x 轴,线段 ab 的的垂直平分

20、线为 y 轴建立平面直角坐标系,在直线2x的右侧 ,考察范围为到点b 的距离不超过6 53k区域 ;在直线2x的左侧 ,考察范围为到a,两点的距离之和不超过4 5m 区域（ )求考察区域边界曲线的方程；（ )如图所示，设线段pp，p2p3是冰川的部分边界线（不考虑其他边界线),当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0。 km，以后每年移动的距离为前一年的2 倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间 . 第 19 题图【测量目标】函数与圆锥曲线的实际运用. 【考查方式】给出一个实际问题运用函数模型和圆锥曲线的相关性质求解问题。【难易程度】中等【 试 题 解 析 】

21、 () 设 边 界 曲 线 上 点 的 坐 标 为( , )x y. 当2x时 , 由 题 意 知2236(4)5xy.(步骤 1）当2x时,由|4 5papb知,点在以,a b为焦点 ,长轴长为24 5a的椭圆上 (步骤 2)此时短半轴长22(2 5)42b因 而 其 方 程 为221204xy （ 步 骤3) 故 考 察 区 域 边 界 曲 线 ( 如 图 ） 的 方 程 为22136:(4)(2)5cxyx和222:1(2)204xycx （步骤 4）第 19 题（ )图（）设过点12,p p的直线为 ,过点23,pp的直线为，则直线，的方程分别为314,6.yxy(步骤 5）设直线平行

22、于直线，其方程为3,yxm代入椭圆方程221204xy，(步骤）消去 ,得221610 35(4)0 xmxm由2210034 165(4)0mm，解得8m,或8m(步骤 7) 从图中可以看出,当8m时，直线与的公共点到的距离最近,此时直线的方程为38,yx与之间的距离为|148 |313d(步骤 8）又直线到和的最短距离6 56,5d而3d,所以考察区域边界到冰川边界线的最短距离为3设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为年，则由题设及等比数列求和公式，得0.2(21)321n,所以4n故冰川边界线移动到考察区域所需的时间为4 年。 (步骤 9）2 .(本小题满分13 分 )已知函数2( )(

23、 ,),f xxbxc b cr对任意的xr，恒有( )fx( )f x。（）证明 :当0 x时，2( )()f xxc；（ )若对满足题设条件的任意,c,不等式22( )( )()f cf bm cb恒成立，求m 的最小值 . 【测量目标】函数的最值与不等式证明。【考查方式】给出函数解析式证明函数的最值范围与不等式成立的条件。【难易程度】较难【试题解析】 （ )易知( )2fxxb由题设 ,对任意的xr,22,xbxbxc即2(2)0 xbxcb恒成立 , （步骤） 所以2(2)4()0bcb,从而214bc (步骤 ) 于是1c,且221 | |4bcb，因此2()0cbccb.(步骤3)

24、故当0 x时,有2()( )(2)(1)0 xcf xcb xc c.即当0 x时，2( )()f xxc.(步骤 4) (）由 (）知 ,|cb.当|cb时，有2222222( )( )2.f cf bcbbcbcbmcbcbbc(步骤）令btc，则11t，2121cbbct.而函数1( )2( 11)1g ttt的值域是3(,)2因此 ,当|cb时,m 的取值集合为3(,).2(步骤 6）当|cb时,由（）知 ,2,2.bc此时( )( )8f cf b或 0,220cb, 从而223( )( )()2f cf bcb恒成立综上所述，的最小值为32(步骤 7) 1.(本小题满分1分 )数列

25、*()nann中，11,naa a是函数322211( )(3)332nnnfxxanxn a x的极小值点。(）当0a时,求通项 ; ()是否存在 ,使数列na是等比数列 ?若存在 ,求的取值范围；若不存在,请说明理由。【测量目标】数列的通项与等比数列的性质。【考查方式】给出数列的函数形式运用数列的通项与等比数列的性质求解未知数【难易程度】较难【试题解析】 (）易知2222( )(3)3(3)()nnnnfxxanxn axaxn令( )0nfx,得2123,.nxaxn（步骤 1）(1)若23,nan则当3nxa时，( )0,nfx( )nfx单调递增 ; 当23naxn时,( )0,nfx( )nfx单调递减；当2xn时 ,( )0,nfx( )nfx单调递增 .(步骤）故( )nfx在2xn取得极小值 .(步骤 3) (2）若23,nan仿（）可得 ,( )nfx在3nxa取得极小值 .(步骤 4) （3）若23,nan则( )0,nfx( )nfx无极值 (步骤）当0a时，10,a则2131.a由（）知，2211.a因22332 ,a则由 (1）知，2324.a因为233123 ,a