2006年江苏高考数学试卷及答案

1、高 考 数 学 （ 7）1 绝密启用前006 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学参考公式: 一组数据的方差)()()(1222212xxxxxxnsn? 其中为这组数据的平均数一、选择题：本大题共10 小题 ,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的。（1）已知ra,函数rxaxxf|,|sin)(为奇函数，则a= ? （a)0 ? （ )1 （c)1?()1 （2）圆1)3() 1(22yx的切线方程中有一个是(a)y0 （b）x+y=0? (c)x0 ? (d) y=0 （3)某人次上班途中所花的时间(单位：分钟）分别为，y,1， 11,

2、9。已知这组数据的平均数为10，方差为 2，则 |x y的值为()1?(b)2 ?(c）3 ?(d)(4)为了得到函数rxxy),63sin(2的图像，只需把函数rxxy,sin2的图像上所有的点（a)向左平移6个单位长度 ,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变）? (）向右平移6个单位长度 ,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变）(c）向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3 倍（纵坐标不变）(d)向右平移6个单位长度 ,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3 倍（纵坐标不变) (5)10)31(xx的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是（） 0 ?(

3、）? (c)4 ? (d)6 （6)已知两点(-2,0） 、n(， 0)，点 p 为坐标平面内的动点,满足mpmnmpmn|0,则动点p(x，）的轨迹方程为(a ）xy82? （）xy82(c）xy42(d)xy42（7）若、 b、c 为三个集合 ,cbba，则一定有（a）ca?(）ac(c)ca? （d) a(）设、是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立的是?（a)|cbcaba（ )aaaa1122(c）21|baba(d)aaaa213（ 9)两相同的正四棱锥组成如图1 所示的几何体，可放棱长为1 的正方体内，使正四棱锥的底面abcd 与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上

4、,则这样的几何体体积的可能值有（a)1 个(b) 个(） 3 个（d)无穷多个(10）右图中有一个信号源和五个接收器。接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号 ,否则就不能接收到信号。若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接,则这五个接收器能同时接收到信号的概率是(a)454（b）361?(c）154? （）158二、填空题 :本大题共6 小题 ,每小题分，共30 分。不需要写出解答过程,请把答案直接填空在答题卡相应位置上。（ 11)在 abc 中,已知 bc=1 ,a=60 ,b4，则ac= （ 1

5、2）设变量x、y 满足约束条件1122yxyxyx,则yxz32的最大值为（ 3)今有 2 个红球、 3 个黄球、 4 个白球 ,同色球不加以区分,将这 9 个球排成一列有种不同的方法（用数字作答）。(14)40cos270tan10sin310cos20cot= (）对正整数n，设曲线)1(xxyn在2 处的切线与y 轴交点的纵坐标为，则数列1nan的前 n 项和的公式是（ 16）不等式3)61(log2xx的解集为a b c d 信号源图 1 高 考 数 学 （ 7）2 三、解答题 :本大题共 5 小题 ,共 70 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .

6、 (17）(本小题满分1分，第一小问满分5 分，第二小问满分分）已知三点 p（5,2)、 （ ,0)、(6，0） 。（ )求以、为焦点且过点p 的椭圆的标准方程; ()设点 p、 、关于直线yx 的对称点分别为、 、,求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。(8)（本小题满分14 分）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为m 的正六棱柱 ,上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥 (如右图所示） 。试问当帐篷的顶点o 到底面中心的距离为多少时,帐篷的体积最大? (1 )(本小题满分 4 分，第一小问满分4 分，第二小问满分5 分,第三小问满分5 分) 在正三角形abc 中， e、f、分别是ab 、 c

7、、bc 边上的点 ,满足 ae: = :fac:p 1:2(如图 1） 。将 ef 沿 ef 折起到efa1的位置 ,使二面角a1ef-b 成直二面角，o1o 高 考 数 学 （ 7）3 连结 a1、 ap(如图）(）求证： a1e平面 bp；（ )求直线 a1与平面abp 所成角的大小；()求二面角ba1pf 的大小 (用反三角函数表示) (20)（本小题满分6 分,第一小问4 分，第二小问满分6 分,第三小问满分6 分) 设 a 为实数 ,设函数xxxaxf111)(2的最大值为g(a） 。（ )设 t=xx11,求 t 的取值范围 ,并把（ x）表示为t 的函数(t) （ )求 g（a)

8、 ()试求满足)1()(agag的所有实数(1)(本小题满分14 分) apfecba1efcpb图 1 图 2 高 考 数 学 （ 7）4 设数列na、nb、nc满足 :2nnnaab，2132nnnnaaac(n1,， 3， ), 证明na为等差数列的充分必要条件是nc为等差数列且1nnbb（ n=1， ,3， ) 高 考 数 学 （ 7）5 数学试题参考答案(1)（2)c ()d （4）c ( )（ )b (7)a (8）c (9）d( 0)d （11)64(12)18 (3) 260 (14）2 （15）2n+1(6）1)223,223(7) 解:（ ) 所以所求椭圆的标准方程为.19

9、4522yx()所以所求双曲线的标准方程为.1162022xy(8） 解:设 oo为 x m,则41x设题设可得正六棱锥底面边长为（单位:m）22228)1(3xxx).1216(231)1(31)28(232)(32xxxxxxv求导数 ,得).312(23)(2xxv令0)(xv,解得2x(不合题意 ,舍去） ,x=2 当)(,0)(,21xvxvx时为增函数 ; 当)(,0)(,42xvxvx时为减函数。所以当 x=2 时,)(xv最大 . (9）()在图 2 中， a1e 不垂直于a1，e 是平面1bp 的斜线 . 又 a1e平面 p, a1ebp, 从而 p 垂直于1e 在平面 a1

10、bp 内的射影（三垂线定理的逆定理). 设 a1e 在平面 a1p内的射影为a1,且 a1交 bp 于点 q,则ea1q 就是 a1e 与平面1bp 所成的角，且 bp1q. 在 ebp 中, ebp=2， bp=0， ebp 是等边三角形 , b p 又 a1e平面 bp, b=a1p， q 为 bp 的中点 ,且3eq又 a1e=,在 rta1e中 ,3tan11eaeqqea a1q 0（ )在图 3 中,过 f 作 fmp于 m，连结 qm ，qf。 f= =1， c 0, fcp 是正三角形 , pf1。又121bppq, pf=pq. a1平面 b , ,3efeqa=a1q; f

11、p1qp 从而pf=a1pq 由及mp 为公共边知 fmp qmp ， qmp= p90，且 m mq, 从而 fmq 为二面角 bap的平面角。在 rtq中，1qa1f=2,pq1, 51pa。mq , 552,55211mfpapqqamq在 fc中 ,fc1， c=2， c=0,由余弦定理得f=。在 fmq 中,872222mqmfqfmqmffmq（ 20）解：(),11xxt要使 t 有意义， 必须11,0101xxx即且0,4,212222txt t 的取值范围是2,2由得121122tx2 ,2,21)121()(22tatatttatm()由题意知)(ag即为函数2,2,21)

12、(2tatattm的最大值注意到直线at1是抛物线atattm221)(的对称轴，分以下几种情况讨论。（1)当 a,函数2,2),(ttmy的图像是开口向上的抛物线的一段，由2,2)(01在知tmat上单调递增 .2)2()(amag（2）当0 时, (t)=t,2,2t, 2)(ag(3）当时，函数y=m( ） ,2,2t的图像是开口向下的抛物线的一段。若.2)2()(,22,2,0(1magaat则即若.21)1()(,21,22(,2,2(1aaamagaat则即若.2)2()(),0 ,21(),2(1amagaat则即综上有2222122,2121,2)(aaaaaaag()解法一

13、:情形 1:当. 21)1(,2)(,211,2aagagaa此时时由212a解得2,221aa与矛盾。情形 :当,22时a21122a,此时2)(ag, 高 考 数 学 （ 7）6 2,2212,21)1(aaaaaaag与解得由矛盾。情形 3：当2212,-222aa时，此时)1(2)(agag所以222a情形：当21,-22122aa时，此时aaag21)(22,22221,2)1(aaaaag与解得由矛盾。情形 5：当21,021aa时，此时2)1(, 2)(agaag由21,2222aaa与解得矛盾。情形 6:当 a0 时 ,01a,此时21)1(,2)(aagaag由10, 121

14、2aaaaa知由解得综上知 ,满足)1()(agag的所有实数为：1222aa或解法二 :当,21时a2232)(aag当 1 ,22(21),22,21,2122aaa时,所以,21aa2)21()(221)(aaaaag。因此 ,当,22时a2)(ag当01,0aa时,由1212)1()(aaaagag解得知当,0时a2)1(2)(, 111, 11agagaaaa或从而或因此要使)1()(agag，必须有.222,221,22aaa即此时)1(2)(agag。综上知 ,满足)1()(agag的所有实数a 为：1222aa或(2 )证明：必要性 . 设na是公差为d的等差数列，则0)()(

15、)()(112312311ddaaaaaaaabbnnnnnnnnnn所以,3 ,2, 1(1nbbnn)成立。又)(3)(2)(231211nnnnnnnnaaaaaacc1111632dddd(常数） (n=1,2，3,),所以数列nc为等差数列 . 充分性 ,设数列nc是公差 d2的等差数列 ,且1bbn(n=,2,3，） 。证法一：-得)(3)(2)(423122nnnnnnnnaaaaaacc,3221nnnbbb, 221122)()(dccccccnnnnnn221232dbbbnnn, 从而有.2322321dbbbnnn得.0)(3)(2)(23121nnnnnnbbbbbb0,0,023121nnnnnnbbbbbb，由得).,3 ,2, 1(01nbbnn由此不妨设323),3 ,2, 1(daandbnnn则(常数 ). 由此312132432daaaaacnnnnnn, 从而313211524324daadaacnnnnn，两式相减得3112)(2daacannnn，因此),3 ,2, 1)(21)(2132311ndddccaannnn常数, 所以数列na是等差数列。证法二 :令由,1nnnaaa,3121nnnnnnaaaabb知从而)., 3,2, 1(,2231naaaaaannnnnn即由32112132,32nnnnnnnna