小学奥数几何难题

1、1 / 9 小学奥数几何难题类型一：旋转、对称类（2011 年日本算术奥林匹克大赛高小预赛）在abc中,9cmabac,120bac点p在边 bc 上使得6cmcp，点 q在边ac 上使得cpqapb 请求出三角形bpq 的面积qpcba【考点】 图形对称【答案】 13.52cm【分析】 方法一：过a点作 aobc 交 bc 于点 o ， 作p、q 关于 ao 的对称点p、q ,连接p q 、ap、p q ，如下图所示：opqabcpqcpqapb ，又apbap c ，cpqcp a,pqp a,apqp pqss， apcp qcss,又p opo ,cpbp ， cpbp ， bpqp

2、qcapcsss 30c, 4.5ao, 又 6cp， apcs64.5213.5 ，13.5bpqs方法二 :（供参考 )作adbc交bc于点d,作 qebc 交bc于点eedabcpqapbqpc ，abpqcp ,cqpbap，又ad、 qe 分别是abp、qcp的高 ,于是有：bpadcpqe， 即 bpqecpad 而 又2264.5213.5bpqsbpqecpad【总结】 本题没有边之间的比例，只有角度相等，因此尝试做对称来构造出平行线，解决问题如图 ,正方形 pqrs 有三个顶点分别在abc的三条边上 ,bqqc 求正方形 pqrs 的2 / 9 面积srqpcba2cm9cm

3、6cm7cm【考点】 图形旋转【答案】 27.22cm【分析】 如 下 图 所 示 ,连 接pr， 根 据 题 意 有 :79631311143aprabcabcsss，61313213bpqabcabcsss,21111211cqrabcabcsssabcpqrs那么有：pqrabcaprbpqcqrsssss633111431311abcs34143abcs,因此682143pqrspqrabcsss正方形，apsrbpqcqrsss681143abcs75143abcs如下图所示 ,将bpq以p点为中心 ,逆时针旋转90 ， 至ops位置 ,同样的将cqr以r点为中心,顺时针旋转90,至

4、osr位置因为bqcq ，90psorsopqbrqc，所以两个阴影三角形恰好构成完整的四边形spor连接ao，因为90opsapsbpqaps，所以apo为 直 角 三 角 形 , 同 理aro也 是 直 角 三 角 形 有apsrbpqcqrsssapsropsorsaporapoarossssss1176923022,因此752143301435abcs，21436813651435pqrss正方形27.22cm osrqpcba【总结】 正方形中的旋转问题3 / 9 4 / 9 类型二 : 勾股、弦图类（2011 年日本算术奥林匹克大赛高小预赛)abc是 直 角 三 角 形 在 边ab

5、、 bc 、 ca 上 分 别 取 点d、e、f,使 得adaffcec 当def成为等腰直角三角形、3cmbe、1cmdb时，求abc的面积fedcba【考点】 勾股定理【答案】24【分析】 作fgbc 交 bc 于 点 g , 易 知dbe和egf完 全 相 同 （ debfeg90，debefg，又defe，debefg) gabcdef有1egdbcm，3fgebcm，又 fgab，f是 ac 的中点， g 也是 bc 中点 ,即4cgbgcm，5cecfafadcm因此有abcs2bcab862242cm 【总结】 本题其实是弦图的应用：fedcbag图中即构成了一个标准的弦图其实很

6、多时候出现等腰直角三角形就可以考5 / 9 虑构造弦图来解决问题如图，p是正方形abcd 外面的一点，12pb厘米，apb的面积是 90 平方厘米，cpb的面积是 48平方厘米请问：正方形abcd 的面积是多少平方厘米？pdcba【考点】 勾股与弦图【答案】 289 平方厘米【分析】 将bp反向延长如下图所示构造弦图，hgfeabcdp以bp为底，pab的高是af，于是有：pabs2pbaf12290af， 即15af厘米 ,同理有8cg厘米因此22158abcds正方形=289 平方厘米【总结】 本题构造弦图是关键点！（2011 年华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛武汉卷)如图，点p在直角abc内

7、，且 babc ，10pb厘米，abc的面积是 60 平方厘米，bpc的面积是 30 平方厘米 ,求abc的面积pcba【考点】 勾股与弦图【答案】90平方厘米【分析】 如下图所示构造弦图: hgfedabcp以bp为底，abp的高为af，有：2abpsbpaf10260af，即12af厘米，同理有6cg厘米，因此22126180abcds正方形平方厘米，6 / 9 所以180290abcs平方厘米【总结】 本题和上一题本质相同，不过是点p的位置发生了改变（2011 年日本算术奥林匹克大赛高小决赛）下图是一个面积为182cm 、7cdcm的四边形abcd其两条对角线bd和ac在四边形 abcd

8、 的内部相交，当10bdcm， acbc ，90bca时，求acd的面积dcba【考点】 勾股定理【答案】 7.5 平方厘米【分析】 作 debc ，交 bc 延长线于点e，设 acbca， ceb ， dec cbaeabcd根据勾股定理:22249bccd，222100cabbd+，两式想减，结合平方差公式得：2251aab又abcdabcadcsss正方形222aab18，整理得236aab 得：15ab，21527.5acdsab平方厘米【总结】 本题貌似上两题类似，实则不然上面两题告诉我们的是两个小三角形的面积，而此题是整个的面积因为题中出现两个长度，不好构造弦图，因而转化为做垂线利

9、用勾股定理解决问题自abc内部一点p向ab、bc 、ca 作垂线， 垂足依次为f、d、e，以af、fb、bd、 dc 、ce 、ea为边长分别向外作正方形，如下图所示，这六个正方形的面积依次记为1s 、2s 、3s 、4s 、5s 、6s 如果652ss，431ss，那么试求12ss 的值7 / 9 ps5s6s4s3s2s1fedcba【考点】 勾股定理【答案】 3【分析】 连接ap、bp、 cp ,其长度分别记为a、 b 、c， 另记 afm，bfn ， bdp ，cdq ， cer ,aes ，如下图所示：srqpnmcbaabcdefs1s2s3s4s6s5p652ss，即222sr，

10、又222aspe ，222crpe ，两式相减得22222acsr同理有22221cbqp，因而12ss22mn22ab2222accb213【总结】 正方形面积很容易和平方结合起来，而垂线则要想到勾股定理8 / 9 类型三：等积变化类如下图，大正方形被分成了面积相等的五块，若ab长为 3.6 厘米，则大正方形的面积为多少平方厘米？hgfedcba【考点】 等积变化模型【答案】 1134 平方厘米【分析】 连接 cg 、ah、ad，过点 g 作 mnde 交ed于点m，交 fc 于点 n 如下图所示：nma bcdefgh设正方形边长为a，那么每一块的面积都是215a ，即有25gmafa ，所以35gnaca ,有2331955250acgsaaa,又225achgabhgbchsssa，所以222291155050chgsaaa，所以:ghhd:chgcdhss22111:505aa11:10同样的，22313352510gdaacdgacdsssaaaa，所以有：22113111121102170ahgadgssaa，所以有：abhabhgahgsss22111570aa2370a,因此:abhbchab bcss