完全平方公式的几何背景专题训练试题精选附答案讲课稿

1、精品文档完全平方公式的几何背景专题训练试题精选一选择题（共6 小题）1（ 2010?丹东）图是一个边长为（m+n）的正方形，小颖将图中的阴影部分拼成图的形状，由图和图能验证的式子是（）A （ m+n） 2（ m n） 2=4mn B （ m+n ） 2（ m2+n2） =2mn C （ m n）2+2mn=m 2+n 2 D （ m+n）（ m n）=m 2 n22利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（ a+b）222）=a +2ab+b你根据图乙能得到的数学公式是（A （ a+b）（ a b） =a2 b2 B （ a b） 2=a2 2

2、ab+b2C a（ a+b） =a2+abD a（a b） =a2 ab3如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（）A a2 b2=（ a+b）（ a b） B （ a+b）2=a2+2ab+b2C （ a b）2 =a2 2ab+b2D a（a+b） =a2+ab4如图（ 1），是一个长为2a 宽为 2b（ a b）的矩形，用剪刀沿矩形的两条对角轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图（2）拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积是（）A abB （ a+b）2C （ a b）2D a2b25如图的图形面积由以下哪个公式表示（）精品文档精品文档A a2 b2=a（ a b）+b （ a B

3、 （ a b） 2=a2 2ab+b2C （ a+b） 2=a2+2ab+b2D a2b2=（ a+b）（ a b） b）6如果关于 x 的二次三项式x2 mx+16 是一个完全平方式，那么m 的值是（）A8或8B 8C8D 无法确定二填空题（共7 小题）7（2014?玄武区二模）如图，在一个矩形中，有两个面积分别为a2、b2（ a 0，b 0）的正方形这个矩形的面积为 _ （用含 a、 b 的代数式表示）8如图，边长为（m+2）的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为2，则另一边长是_（用含 m 的代数式表示）9有两个正方形A

4、 ， B，现将 B乙中阴影部分的面积分别为1 和放在 A 的内部得图甲，将 A ， B 并列放置后构造新的正方形得图乙若图甲和图12，则正方形 A ， B 的面积之和为 _ 10如图 1 和图 2，有多个长方形和正方形的卡片，图1 是选取了 2 块不同的卡片，拼成的一个图形，借助图中阴影部分面积的不同表示可以用来验证等式a（ a+b）=a2+ab 成立根据图 2，利用面积的不同表示方法，写出一个代数恒等式 _ 精品文档精品文档11如图，正方形广场的边长为a 米，中央有一个正方形的水池，水池四周有一条宽度为的环形小路，那么水池的面积用含a、 b 的代数式可表示为_平方米12如图，请写出三个代数式

5、（a+b） 2、（a b） 2、 ab 之间的等量关系是_13如图， 长为 a，宽为 b 的四个小长方形拼成一个大正方形，且大正方形的面积为64，中间小正方形的面积为16，则 a= _ ， b= _ 三解答题（共10 小题）14阅读学习：1，它表示（ m+2n ）（ m+n） =m2+3mn+2n 2，数学中有很多等式可以用图形的面积来表示如图（ 1）观察图2，请你写出（ a+b） 2，（ a b） 2， ab 之间的关系_（ 2）小明用 8 个一样大的长方形， （长为 a，宽为 b），拼成了如图甲乙两种图案，图案甲是一个正方形，图案甲中间留下了一个边长为 2 的正方形；图形乙是一个长方形 a

6、2 4ab+4b2=_ab=_精品文档精品文档15【学习回顾】我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，说明如下：如图 1，正方形 ABCD 的面积 =正方形 EBNH 的面积 +（长方形 AEHM 的面积 +长方形 HNCF 的面积）+正方形 MHFD的面积即：（ a+b） 2=a2+2ab+b2【思考问题】还有一些等式也可以用上述方式加以说明，请你尝试完成如图 2，长方形 ABNM 的面积 =长方形 EBCF 的面积 +长方形 AEFD 的面积长方形HNCF 的面积 _的面积，即：（ 2a b）（ a+b） = _ 【尝试实践】计算（ 2a+b）（ a+b） = _ 仿照上

7、述方法，画图并说明16阅读下列文字，我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图221 可以得到（ a+2b）（ a+b） =a +3ab+2b 请解答下列问题：（ 1）写出图 2 中所表示的数学等式_ ；（ 2）利用（ 1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11， ab+bc+ac=38，求 a2+b2+c2 的值；（ 3）图 3 中给出了若干个边长为a 和边长为 b 的小正方形纸片若干个长为a 和宽为 b 的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积能得到数学公式：2a2+5ab+2b2=（ 2a+b）（ a+2b）精品

8、文档精品文档17如图 1，将一个长为4a，宽为 2b 的长方形，沿图中虚线均匀分成4 个小长方形，然后按图2 形状拼成一个正方形（ 1）图 2 的空白部分的边长是多少？（用含ab 的式子表示）（ 2）若 2a+b=7，且 ab=3，求图 2 中的空白正方形的面积（ 3）观察图 2，用等式表示出（ 2a b）2， ab 和（ 2a+b） 2 的数量关系18动手操作：如图是一个长为 2a，宽为 2b 的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长方形，然后按照图所示拼成一个正方形提出问题：（ 1）观察图，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积；（ 2）请写出三个代数式（ a+b） 2，（ a b）2

9、， ab 之间的一个等量关系问题解决：根据上述（ 2）中得到的等量关系，解决下列问题：已知： x+y=6 ， xy=3 求：（ xy） 2 的值精品文档精品文档19图是一个长为2a，宽为 2b 的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方形（ 1）将图中所得的四块长为a，宽为 b 的小长方形拼成一个正方形（如图）请利用图中阴影部分面积的不同表示方法，直接写出代数式（a+b） 2、（a b） 2、 ab 之间的等量关系是_；（ 2）根据（ 2）题中的等量关系，解决如下问题：已知m+n=8 ，mn=7，则 m n=_；（ 3）将如图所得的四块长为a，宽为 b 的小长方形不重叠地放在长方形ABCD 的

10、内部（如图） ，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示若左下角与右上角的阴影部分的周长之差为4，且小长方形的周长为8，则每一个小长方形的面积为_20把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积（ 1）如图 1，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c 的正方形， 试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么结论，请写出来（ 2）如图 2，是将两个边长分别为a 和 b 的正方形拼在一起，B、 C、G 三点在同一直线上，连接BD 和 BF，若两正方形的边长满足a+b=10， ab=20，你能求出阴影部分的面积吗？

11、精品文档精品文档21阅读材料并填空：我们知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式样也可以用这种形式表示，如：（ 2a+b）（a+b） =2a2+3ab+b2，就可以用图（ 1），或图（ 2）等图形的面积表示请你写出图（ 3）所表示的代数恒等式_请你写出图（ 4）所表示的代数恒等式_精品文档精品文档22图 1 是一个长为2x、宽为 2y 的长方形，沿图中虚线用剪刀剪成四个完全相同的小长方形，然后按图2 所示拼成一个正方形（ 1）你认为图2 中的阴影部分的正方形的边长等于_（ 2）试用两种不同的方法求图2 中阴影部分的面积方法 1：_；方法 2：_（ 3）根据图2

12、你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？22（ 4）根据（ 3）题中的等量关系，解决如下问题：223已知图甲是一个长为 2m，宽为 2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四小块长方形，然后按图乙的形状拼成一个正方形（ 1）你认为图乙中阴影部分的正方形的边长等于多少？_（ 2）请用两种不同的方法求图乙中阴影部分的面积方法一：_；方法二：_（ 3）观察图乙，你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？（ m+n） 2；（ m n）2； mm（ 4）根据（ 3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=8，ab=5，求（ a b） 2 的值精品文档精品文档完全平方公式的几何背景专题训练试题精选参考答案与

13、试题解析一选择题（共6 小题）1（ 2010?丹东）图是一个边长为（m+n）的正方形，小颖将图中的阴影部分拼成图的形状，由图和图能验证的式子是（）222222222A （ m+n）（ m n）=4mn B （ m+n）（ m +n）=2mn C （ m n） +2mn=m +nD （m+n）（ m n） =m n2考点 ： 完全平方公式的几何背景菁优网版权所有专题 ： 计算题；压轴题分析： 根据图示可知，阴影部分的面积是边长为m+n 的正方形减去中间白色的正方形的面积m2+n2，即为对角线分别是 2m， 2n 的菱形的面积据此即可解答222故选 B点评：本题是利用几何图形的面积来验证（ m+n

14、）2（ m2+n2） =2mn ，解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式2利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（ a+b）2=a2+2ab+b 2你根据图乙能得到的数学公式是（）2222222 abA （ a+b）（ a b） =a bB （ a b）=a 2ab+bC a（ a+b） =a +abD a（a b） =a考点 ： 完全平方公式的几何背景菁优网版权所有分析：根据图形，左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面积，然后加上多减去的右下角的小正方形的面积解答：解：大正方形的面积=（ a b）2，还可以表示为a2 2

15、ab+b2，222（ a b） =a 2ab+b 故选 B点评：正确列出正方形面积的两种表示是得出公式的关键，也考查了对完全平方公式的理解能力3如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（）精品文档精品文档A a2 b2=（ a+b）（ a b） B （ a+b）2=a2+2ab+b2C （ a b）2 =a2 2ab+b2D a（a+b） =a2+ab考点 ： 完全平方公式的几何背景菁优网版权所有分析： 根据图形得出阴影部分的面积是（a b）2 和 b2，剩余的矩形面积是（ a b）b 和（ a b）b，即大阴影部分的面积是（ a b） 2，即可得出选项解答： 解：从图中可知：阴影部分的面积是（

16、a b） 2 和 b2，剩余的矩形面积是（ ab） b 和（ a b） b，即大阴影部分的面积是（ab） 2，（ a b）2=a2 2ab+b2，故选 C点评：本题考查了完全平方公式的应用，主要考查学生的阅读能力和转化能力，题目比较好，有一定的难度4如图（ 1），是一个长为2a 宽为 2b（ a b）的矩形，用剪刀沿矩形的两条对角轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图（2）拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积是（）A abB （ a+b）2C （ a b）2D a2b2考点 ： 完全平方公式的几何背景菁优网版权所有分析：先求出正方形的边长，继而得出面积， 然后根据空白部分的面积=正方形

17、的面积矩形的面积即可得出答案解答：解：由题意可得，正方形的边长为（a+b），2又原矩形的面积为4ab，22中间空的部分的面积=（ a+b） 4ab=（ a b） 点评：此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键，难度一般5如图的图形面积由以下哪个公式表示（A a2 b2=a（ a b）+b （ a B （ a b） 2 b）22=a 2ab+b22222C （ a+b） =a +2ab+bD a b =（ a+b）（ a b）考点 ： 完全平方公式的几何背景菁优网版权所有分析：通过图中几个图形的面积的关系来进行推导精品文档精品文档解答：解：根据图形可得出：大正方形面积为

18、： （ a+b）2 ，大正方形面积 =4 个小图形的面积和 =a2+b2+ab+ab， 2 2 2故选： C点评：本题考查了完全平方公式的推导过程，运用图形的面积表示是解题的关键6如果关于 x 的二次三项式 x2 mx+16是一个完全平方式，那么m 的值是（）A8或8B 8C8D 无法确定考点 ： 完全平方公式的几何背景菁优网版权所有分析：根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项列式求解即可解答：解： x2mx+16 是一个完全平方式， mx=±2×4?x，解得 m=±8故选 A点评：本题是完全平方公式的考查，两数的平方和，再加上或减去它们积的2 倍，就构成了

19、一个完全平方式注意积的 2 倍的符号，避免漏解二填空题（共7 小题）7（2014?玄武区二模）如图，在一个矩形中，有两个面积分别为 a2、b2（ a 0，b 0）的正方形这个矩形的面积为 （ a+b）2 （用含 a、 b 的代数式表示）考点 ： 完全平方公式的几何背景菁优网版权所有分析： 求出大正方形的边长为a+b，再利用正方形的面积公式求解解答： 解；两个小矩形的长为a，宽为 b，正方形的边长为：a+b它的面积为： （ a+b） 2故答案为：（ a+b） 2点评：本题主要考查完全平方公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键8如图，边长为（m+2）的正方形纸片剪出一个边长为m

20、的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为2，则另一边长是2m+2（用含 m 的代数式表示）考点 ： 完全平方公式的几何背景专题 ： 几何图形问题菁优网版权所有分析： 由于边长为（ m+2）的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而矩形一边长为2，利用矩形的面积公式即可求出另一边长解答： 解：依题意得剩余部分为（ m+2） 2 m2=m2+4m+4 m2=4m+4 ，而拼成的矩形一边长为2，精品文档精品文档另一边长是（4m+4 ） ÷2=2m+2 故答案为

21、： 2m+2 点评：本题主要考查了多项式除以单项式，解题关键是熟悉除法法则9有两个正方形 A ， B，现将 B 放在 A 的内部得图甲，将 A ， B 并列放置后构造新的正方形得图乙若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为 1 和 12，则正方形 A ， B 的面积之和为 13 考点 ： 完全平方公式的几何背景菁优网版权所有分析：设正方形A 的边长为a，正方形B 的边长为b，由图形得出关系式求解即可解答：解：设正方形 A 的边长为 a，正方形 B 的边长为 b，由图甲得 a2b2 2（a b） =1 即 a2+b 2 2ab=1，由图乙得（ a+b） 2 a2 b2=12 ， 2ab=12，所以 a

22、2+b2=13，故答案为： 13点评：本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关系10如图 1 和图 2，有多个长方形和正方形的卡片，图1 是选取了 2 块不同的卡片，拼成的一个图形，借助图中阴影部分面积的不同表示可以用来验证等式a（ a+b）=a2+ab 成立根据图 2，利用面积的不同表示方法，写出一个代数恒等式22（ a+b）（ a+2b） =a+2b +3ab考点 ： 完全平方公式的几何背景专题 ： 计算题菁优网版权所有分析： 表示阴影部分的面积有两种方法：大长方形的面积=（ a+b）（ a+2b），3 个正方形的面积加上3 个矩形的面积 a2+ab+ab+ab

23、+b2+b2，推出即可22222解答： 解：由图 2 可知：阴影部分的面积是：（a+b）（ a+2b）， a+ab+ab+ab+b +b =a +2b +3ab，（ a+b）（a+2b） =a2+2b2+3ab，故答案为：（ a+b）（ a+2b） =a2+2b 2+3ab点评：本题考查了完全平方公式的几何背景的应用，关键是检查学生能否正确表示图形中阴影部分的面积，题目具有一定的代表性，考查了学生的理解能力、观察图形的能力等11如图，正方形广场的边长为a 米，中央有一个正方形的水池，水池四周有一条宽度为的环形小路，那么水池的面积用含a、 b 的代数式可表示为a2 4ab+4b2 或（ a 2b

24、） 2平方米精品文档a 2b）（ a 2b） =a24ab+4b 2 或（ a 2b）（ a 2b） =（a 2b） 2精品文档考点 ： 完全平方公式的几何背景专题 ： 几何图形问题菁优网版权所有分析：根据图示计算出中央正方形的水池的边长，然后根据正方形的面积公式来计算水池的面积解答：解：水池的边长是：a 2b，所以，正方形水池的面积是（故答案是： a2 4ab+4b2 或（ a 2b） 2点评：本题考查对完全平方公式几何意义的理解解题时，主要围绕图形面积展开分析12如图，请写出三个代数式（a+b） 2、（a b） 2、 ab 之间的等量关系是a+b） 2=（a b） 2+4ab考点 ： 完全

25、平方公式的几何背景菁优网版权所有分析：通过观察图形知： （ a+b） 2，（ ab） 2， ab 分别表示的是大正方形、空白部分的正方形及小长方形的面积解答：解：由图可以看出，大正方形面积=阴影部分的正方形的面积+四个小长方形的面积，即：（ a+b）2=（ a b）2+4ab，故答案为：（ a+b） 2=（a b） 2+4ab点评：此题考查了学生观察、分析图形解答问题的综合能力，关键是通过观察图形找出各图形之间的关系13如图， 长为 a，宽为 b 的四个小长方形拼成一个大正方形，且大正方形的面积为64，中间小正方形的面积为16，则 a= 6 ，b= 2 考点 ： 完全平方公式的几何背景分析：先

26、求出大正方形的边长为：解答：解：大正方形的边长为：菁优网版权所有a+b，小正方形的边长为：a b，再列出方程组求解a+b，小正方形的边长为：a b即：解得故答案为： 6， 2精品文档精品文档点评：本题的关键是求出大正方形的边长和小正方形的边长列出方程组三解答题（共10 小题）14阅读学习：数学中有很多等式可以用图形的面积来表示如图1，它表示（ m+2n ）（ m+n） =m2+3mn+2n 2，（ 1）观察图2，请你写出（ a+b） 2，（ a b） 2， ab 之间的关系（ a+b）2（ a b） 2=4ab（ 2）小明用 8 个一样大的长方形， （长为 a，宽为 b），拼成了如图甲乙两种图

27、案，图案甲是一个正方形，图案甲中间留下了一个边长为 2 的正方形；图形乙是一个长方形 a2 4ab+4b2=4ab=60考点 ： 完全平方公式的几何背景专题 ： 数形结合菁优网版权所有分析：根据图形的面积公式来进行分析即可得到解答：解：（ 1）（ a+b） 2（ a b） 2=4ab；（ 2） 4 ab=60点评：该题目考查了利用图形的面积来得到数学公式，关键是灵活进行数学结合来分析15【学习回顾】我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，说明如下：如图 1，正方形 ABCD的面积 =正方形 EBNH 的面积 +（长方形 AEHM 的面积 +长方形 HNCF 的面积）+正方形

28、MHFD222的面积即：（ a+b） =a +2ab+b【思考问题】还有一些等式也可以用上述方式加以说明，请你尝试完成如图 2，长方形 ABNM 的面积 =长方形 EBCF 的面积 +长方形 AEFD 的面积长方形 HNCF 的面积正方形 MHFD的面积，即：（ 2a b）（ a+b） =2a2 abb2【尝试实践】计算（ 2a+b）（ a+b） =22仿照上述方法，画图并说明2a +3ab+b考点 ： 完全平方公式的几何背景菁优网版权所有分析： （ 1）利用长方形 ABNM的面积 =长方形 EBCF 的面积 +长方形 AEFD 的面积长方形HNCF 的面积正方形 MHFD 的面积计算（ 2）

29、利用长方形 ABCD 的面积 =正方形 GBHF 的面积 +正方形 FHQN 的面积 +长方形 AGFE 的面积 +长方形EFNM 的面积 +长方形 NQCO 的面积 +正方形 MNOD 的面积计算解答： 解：（ 1）长方形 ABNM的面积 =长方形 EBCF 的面积 +长方形 AEFD 的面积长方形HNCF 的面积正方形 MHFD 的面积，即：（ 2a b）（ a+b） =2a2 ab b2故答案为：正方形 MHFD ， 2a2 ab b2（ 2）（ 2a+b）（ a+b）=2a2+3ab+b2精品文档=a2+2ab+b2+2bc+2ac+c2，精品文档如图，故答案为： 2a2 ab b2点

30、评：本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是通过几何图形之间的数量关系对公式做出几何解释16阅读下列文字，我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1 可以得到（ a+2b）（ a+b） =a2+3ab+2b2请解答下列问题：（ 1）写出图 2 中所表示的数学等式（ a+b+c） 2=a2+b 2+c2+2ab+2ac+2bc；（ 2）利用（ 1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知222的值；a+b+c=11， ab+bc+ac=38，求 a +b +c（ 3）图 3 中给出了若干个边长为a 和边长为 b 的小正方形纸片若干个长为a 和宽为

31、b 的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积能得到数学公式：2a2+5ab+2b2=（ 2a+b）（ a+2b）考点 ： 完全平方公式的几何背景菁优网版权所有分析：（ 1）根据数据表示出矩形的长与宽，再根据矩形的面积公式写出等式的左边，再表示出每一小部分的矩形的面积，然后根据面积相等即可写出等式（ 2）根据利用（ 1）中所得到的结论，将 a+b+c=11 ， ab+bc+ac=38 作为整式代入即可求出（ 3）找规律，根据公式画出图形，拼成一个长方形，使它满足所给的条件解答：解：（ 1）根据题意，大矩形的面积为：（a+b+c）（ a+b+c） =（ a+b+c） 2，各小

32、矩形部分的面积之和等式为（ a+b+c） 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc22222ab 2ac2bc（ 2） a +b +c=（ a+b+c）=11 2 2×38=45 （ 3）如图所示精品文档精品文档点评：本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答17如图 1，将一个长为4a，宽为 2b 的长方形，沿图中虚线均匀分成4 个小长方形，然后按图2 形状拼成一个正方形（ 1）图 2 的空白部分的边长是多少？（用含ab 的式子表示）（ 2）若 2a+b=7，且 ab=3，求图 2 中的空白正方形的

33、面积（ 3）观察图 2，用等式表示出（ 2a b）2， ab 和（ 2a+b） 2 的数量关系考点 ： 完全平方公式的几何背景菁优网版权所有分析： （ 1）观察由已知图形，得到四个小长方形的长为2a，宽为 b，那么图 2 中的空白部分的正方形的边长是小长方形的长减去小长方形的宽（ 2）通过观察图形，大正方形的边长为小长方形的长和宽的和图2 中空白部分的正方形的面积为大正方形的面积减去四个小长方形的面积（ 3）通过观察图形知： （ 2a+b） 2 （ 2ab） 2 8ab分别表示的是大正方形、空白部分的正方形及小长方形的面积解答：解：（ 1）图 2 的空白部分的边长是2a b（ 2）由图 21

34、2 可知，小正方形的面积=大正方形的面积4 个小长方形的面积，2又 4 个小长方形的面积之和=大长方形的面积=4a×2b=8ab=8×3=24 ，小正方形的面积 =（ 2a b）2=49 24=25（ 3）由图 2 可以看出，大正方形面积=空白部分的正方形的面积+四个小长方形的面积即：（ 2a+b）2（ 2ab） 2=8ab点评：此题考查了学生观察、分析图形解答问题的综合能力，以及对列代数式、代数式求值的理解与掌握关键是通过观察图形找出各图形之间的关系18动手操作：如图是一个长为 2a，宽为 2b 的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长方形，然后按照图所示拼成一个正

35、方形精品文档精品文档提出问题：（ 1）观察图，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积；（ 2）请写出三个代数式（ a+b） 2，（ a b）2， ab 之间的一个等量关系问题解决：根据上述（ 2）中得到的等量关系，解决下列问题：2考点 ： 完全平方公式的几何背景菁优网版权所有专题 ： 几何图形问题分析： （ 1）第一种方法为：大正方形面积4 个小长方形面积，第二种表示方法为：阴影部分正方形的面积；（ 2）利用（ a+b） 24ab=（ a b） 2 可求解解答：提出问题：解：（ 1）（ a+b） 2 4ab 或（ a b）2（ 2）（ m+n） 24mn=（ m n） 2问题解决：（ 3）（ x

36、 y） 2=（ x+y） 2 4xy x+y=6 ， xy=3 （ x y） 2=36 9=25点评：本题考查了完全平方公式的几何背景解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系本题更需注意要根据所找到的规律做题19图是一个长为2a，宽为 2b 的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方形（ 1）将图中所得的四块长为a，宽为 b 的小长方形拼成一个正方形（如图） 请利用图中阴影部分面积的不同表示方法，直接写出代数式（a+b） 2、（a b） 2、 ab 之间的等量关系是（ a b）2=（ a+b） 24ab ；（ 2）根据（ 2）题中的等量关系，解决如下问题：已知m+n=8 ，mn=7，则

37、 m n= ±6 ；（ 3）将如图所得的四块长为a，宽为 b 的小长方形不重叠地放在长方形ABCD 的内部（如图） ，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示若左下角与右上角的阴影部分的周长之差为4，且小长方形的周长为8，则每一个小长方形的面积为3 考点 ： 完全平方公式的几何背景菁优网版权所有分析： （ 1）利用大正方形的面积减4 个小长方形的面积等于小正方形的面积求解；224mn求解即可；（ 2）利用公式（ m n） =（ m+n）精品文档精品文档（ 3）由左下角与右上角的阴影部分的周长之差为4，得出 8b+4a=4，由小长方形的周长为8，得出 2（ a+b）=8 ，联立得出 a，

38、 b 的值即可求出小长方形的面积解答： 解：（ 1）（ a b） 2=（a+b） 2 4ab故答案为：（ a b）2 =（ a+b） 24ab（ 2） m+n=8 ， mn=7 ，（ m n） 2=（m+n） 2 4mn=6428=36 ， m n=±6故答案为： ±6（ 3）设长方形 BC 为 m，CD 为 n，右上角部分的阴影周长为：2（n a+m a）左下角部分的阴影周长为：2（m 2b+n 2b）左下角与右上角的阴影部分的周长之差为4， 8b+4a=4，又 2（ a+b） =8 ，解得 a=3， b=1 ，每一个小长方形的面积为ab=3×1=3 故答案为：

39、 3点评：本题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是通过几何图形之间的数量关系解决问题20把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积（ 1）如图 1，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c 的正方形， 试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么结论，请写出来（ 2）如图 2，是将两个边长分别为a 和 b 的正方形拼在一起，B、 C、G 三点在同一直线上，连接BD 和 BF，若两正方形的边长满足a+b=10， ab=20，你能求出阴影部分的面积吗？考点 ： 完全平方公式的几何背景菁优网版权所有分析： （ 1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法一种可以是3 个正方形的面积和 6 个矩形的面积，种是大正方形的面积，可得等式2222（ a+b+c） =a +b +c +2ab+2bc+2ac，（ 2）利用 S 阴影 =正方形 ABCD 的面积 +正方形 ECGF 的面积三角形BGF 的面积三角形 ABD 的面积求解解答：2222（ 1）（ a+b+c） =a +b +c +2ab+2bc+2ac（ 2） a+b=10， ab=20， S 阴影 =a2+b 2（ a+b） ?ba2=a2+b2ab=（ a+b）2ab=×102×20=50 30=20 点评：