克拉默Cramer法则实用教案

1、一一 克莱姆法则克莱姆法则(fz)如果(rgu)线性方程组)1(22112222212111212111 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数(xsh)行列式不等于零，即nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 0 第1页/共18页第一页，共19页。.DDx,DDx,DDx,DDxnn 232211其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即jDDjnnnj ,nnj ,nnnj ,j ,jaabaaaabaaD11111111111 那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解可以表为 1第2页/共18页第二

2、页，共19页。证明证明(zhngmng) njnnjnnnnnjjnnjjnnAbAxaxaxaAbAxaxaxaAbAxaxaxa221122222221211111212111 得得个个方方程程的的依依次次乘乘方方程程组组列列元元素素的的代代数数余余子子式式中中第第用用,1,21nAAAjDnjjj在把 个方程依次相加，得n第3页/共18页第三页，共19页。,111111 nkkjknnkkjknjnkkjkjnkkjkAbxAaxAaxAa由代数余子式的性质(xngzh)可知, ., 2 , 1njDDxjj .DDx,DDx,DDx,DDxnn 232211,Dxj的系数等于的系数等于

3、上式中上式中 ; 0的系数均为的系数均为而其余而其余jixi .jD又等式右端为又等式右端为于是(ysh) 2当 时,方程组 有唯一的一个解0 D 2第4页/共18页第四页，共19页。由于方程组 (2)与方程组(1) 等价,.DDx,DDx,DDx,DDxnn 232211也是方程组的 解. 1第5页/共18页第五页，共19页。二二 重要重要(zhngyo)(zhngyo)定理定理定理定理 如果线性方程组如果线性方程组 的系数行列式的系数行列式 则则 一定有解一定有解, ,且解是唯一的且解是唯一的 . . 1 1, 0 D定理定理 如果线性方程组如果线性方程组 无解或有两个不同的无解或有两个不

4、同的解，则它的系数行列式必为零解，则它的系数行列式必为零. . 1第6页/共18页第六页，共19页。齐次线性方程组的相关齐次线性方程组的相关(xinggun)定理定理 2000221122221211212111 nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa定理定理 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 的系数行列式的系数行列式 则齐次线性方程组则齐次线性方程组 没有非零解没有非零解. .0 D 2 2第7页/共18页第七页，共19页。定理定理 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 2有非零解有非零解, ,则它则它的系数行列式必为零的系数行列式必为零. . 0002211222212

5、11212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa有非零解有非零解. .系数系数(xsh)(xsh)行列式行列式0 D第8页/共18页第八页，共19页。例如例如(lr) 用克拉默则解方程组用克拉默则解方程组 . 0674, 522, 963, 85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解解6741212060311512 D212rr 24rr 127702120603113570 第9页/共18页第九页，共19页。12772121357 212cc 232cc 277010353 2733 ,27 67402125603915181 D,81 6701

6、2150609115822 D,108 第10页/共18页第十页，共19页。60412520693118123 D,27 07415120903185124 D,27 , 3278111 DDx, 42710822 DDx, 1272733 DDx. 1272744 DDx第11页/共18页第十一页，共19页。例如例如(lr) (lr) 用克拉默法则解方程组用克拉默法则解方程组 .6523,611, 443, 325343214321424321xxxxxxxxxxxxxx解解2311111140301253 D67 , 0 第12页/共18页第十二页，共19页。231651116114034

7、12531 D,367 23651116111404012332 D, 0 26511161111443013533 D,267 65311611111403032534 D,67 第13页/共18页第十三页，共19页。,DDx316736711 ,DDx067022 ,DDx216726733 . 1676744 DDx第14页/共18页第十四页，共19页。例如例如 问 取何值时，齐次方程组 , 01, 032, 0421321321321xxxxxxxxx 有非零解？ 第15页/共18页第十五页，共19页。解解 111132421D 101112431 31214313 312123 齐次

8、方程组有非零解，则0 D所以 或 时齐次方程组有非零解.20 ,3 第16页/共18页第十六页，共19页。1. 1. 用克莱姆法则解方程组的两个用克莱姆法则解方程组的两个(lin )(lin )条件条件(1)(1)方程(fngchng)(fngchng)个数等于未知量个数; ;(2)(2)系数(xsh)(xsh)行列式不等于零. .2. 2. 克莱姆法则建立了线性方程组的解和已知的系克莱姆法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系数与常数项之间的关系. .它主要适用于理论推导它主要适用于理论推导. .三三 总结总结第17页/共18页第十七页，共19页。谢谢您的观看(gunkn)！第18页/共18页第十八页，共19页。NoImage内容(nirng)总结一 克莱姆法则。一 克莱姆法则。组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即。定理 如果齐次线性方程组 的系数行列式。则齐次线性方程组