函数与极限内容提要与典型例实用教案

1、一、主要(zhyo)内容（一）函数(hnsh)的定义（二）极限(jxin)的概念（三）连续的概念第1页/共28页第一页，共29页。函 数的定义(dngy)函 数的性质(xngzh)单值与多值奇偶性单调性有界性周期性反函数隐函数(hnsh)反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数双曲函数与反双曲函数（一）函数第2页/共28页第二页，共29页。数列极限函 数 极 限axnn limAxfx )(limAxfxx )(lim0左右(zuyu)极限极限(jxin)存在的充要条件无穷大 )(limxf两者的关系(gun x)无穷小的性质极限的性质求极限的常用方法无穷小0)(lim xf判定极

2、限存在的准则两个重要极限无穷小的比较等价无穷小及其性质唯一性（二）极限第3页/共28页第三页，共29页。（三）连续(linx)左右(zuyu)连续连续(linx)的充要条件间断点定义 振荡间断点 无穷间断点 跳跃间断点 可去间断点第一类 第二类在区间a,b上连续连续函数的运算性质初等函数的连续性连续函数的 性 质第4页/共28页第四页，共29页。二、典型(dinxng)例题例1 求下列(xili)极限)11()311)(211(lim222nn )1|(|),1()1)(1)(1(lim242 xxxxxnn第5页/共28页第五页，共29页。解答(jid)11()311)(211(lim222

3、nn nnnnn1134322321lim 原式原式nnn1lim21 21 )1|(|),1()1)(1)(1(lim242 xxxxxnnxxxxxnn 1)1()1)(1)(1(lim22原式原式xxnn 11lim12x 11第6页/共28页第六页，共29页。例2 证明(zhngmng)：1lim nna证1 a先设先设1 na则则01 nnnhah记记得得由由nnha 1 2! 2)1(1)1(nnnnhnnnhhannh （整体(zhngt)和大于部分和）nahn 0由夹逼定理(dngl)知0lim nnh1lim nnabaa11 ，记，记若若1 b则则nnnnba1limlim

4、 1 1,lim1nnaa若则显然成立；第7页/共28页第七页，共29页。 .)321 (lim 1nnnn求 132313)321 (11nnnnnn , 3132311 nn而 , 33)321 (3 11nnnn故 , 3)33(lim 1nn又 . 3)321 (lim , 1nnnn得由夹逼定理例3.解第8页/共28页第八页，共29页。 例4. 求1402lim1xxxee解:1402lim1xxxee34402lim1xxxxeee01402lim1xxxee1402lim1xxxee2左右极限不相等(xingdng)，故原函数极限不存在。 第9页/共28页第九页，共29页。例5.

5、 确定(qudng)常数 a , b , 使0)1(lim33bxaxx解:原式0)1(lim313xbxxax0)1(lim313xbxxa故,01a于是(ysh),1a而)1(lim33xxbx2333231)1 (1limxxxxx0第10页/共28页第十页，共29页。解例6.121 cos0 lim(1 sin) . xxx求1221 cos00ln(1 sin) lim(1 sin)exp lim1 cosxxxxxx , )0( 2cos1 , )1ln( 2得由xxxxx2202 sinexp limxxx22200sinexp lim2lim . xxxex第11页/共28页第

6、十一页，共29页。例7.)sin1tan1(lim310 xxxx 求求310)1sin1tan1(1limxxxx 原式原式310sin1sintan1limxxxxx 301sin1sintanlimxxxxx 301cos)sin1()cos1(sinlimxxxxxx xxxxxxxcos)sin1(1cos1sinlim20 21.21e 原式原式第12页/共28页第十二页，共29页。解例8. .coslncoslim 20 xxexx求)1(cos1ln(cos1)1(cos1ln(1lim20 xxxexx原式)1(cos1ln(cos1lim0 xxx)1(cos1ln(1li

7、m20 xexx1coslim20 xxx1coscos1lim0 xxx3第13页/共28页第十三页，共29页。解例9. ).(lim 2112sin)(1 lim , )(lim 0 300 xfexxfxfxxxx求且存在已知 . 0 )( , )(lim 0时有界当故函数存在由于xxfxfx 02sin)(lim 0得由xxfx )0( 2sin)(2112sin)(1 xxxfxxf 从而 ,3)(lim32sin)(21lim112sin)(1 lim20030 xfxxxfexxfxxxx . 6)(lim 0 xfx故.2111 , 0 xxx 时第14页/共28页第十四页，共

8、29页。 2sin4,02202(1)01ln11xxxxf xxxxxx ， ， ， xf例10研究(ynji)在其定义域内的连续性设第15页/共28页第十五页，共29页。 20 f 2lim0 xfx 2lim0 xfx)(xf0 x 01 f 11)1(1lnlim1lnlimlim111xxxxxfxxx 0lim1xfx所以(suy)在点连续(linx)；1x xf1x所以(suy)是跳跃间断点；函数除外，处处连续 xf), 1 ( 1 .(即的连续区间为解：第16页/共28页第十六页，共29页。例11.1,2cos1,1)(的连续性的连续性讨论讨论 xxxxxf 解改写成改写成将将

9、)(xf 1, 111,2cos1,1)(xxxxxxxf.), 1(),1 , 1(),1,()(内连续内连续在在显然显然 xf第17页/共28页第十七页，共29页。,1时时当当 x )(lim1xfx )1(lim1xx. 2 )(lim1xfx 2coslim1xx. 0)(lim)(lim11xfxfxx .1)(间断间断在在故故 xxf,1时时当当 x )(lim1xfx 2coslim1xx. 0 )(lim1xfx )1(lim1xx. 0.1)(连续连续在在故故 xxf.), 1()1,()(连续连续在在 xf第18页/共28页第十八页，共29页。)1)()( xaxbexfx

10、有无穷(wqing)间断点0 x及可去间断(jindun)点,1 x为无穷(wqing)间断点,0 x )1)(lim0 xaxbexx所以bexaxxx )1)(lim00 1,0 ba为可去间断点,1 x)1(lim1 xxbexx极限存在0)(lim1 bexxeebxx 1lim 设函数试确定常数a 及 b.ba 1例12解第19页/共28页第十九页，共29页。例13).()21( 1 , 0),1()0(, 1 , 0)( ffffxf 使得使得证明必有一点证明必有一点且且上连续上连续在闭区间在闭区间设设证),()21()(xfxfxF .21, 0)(上连续上连续在在则则xF),0

11、()21()0(ffF ),21()1()21(ffF 讨论(toln), 0)0( F若若, 0 则则);0()210(ff , 0)21( F若若,21 则则);21()2121(ff 令第20页/共28页第二十页，共29页。则则若若, 0)21(, 0)0( FF )21()0(FF2)0()21(ff . 0 由零点(ln din)定理知,),21, 0( .)()21(成立成立即即 ff 综上,.)()21(成立成立使使 ff )0()21()0(ffF )21()1()21(ffF . 0)( F使使,1 , 0 21, 0 必有一点(y din)第21页/共28页第二十一页，共2

12、9页。思考(sko)与练习1., 3)11(lim2 baxxxx已知已知. ba、求求常常数数2.ccxcxxx，求，求设设4lim 3.,1lim)(212为连续函数为连续函数设设 nnnxbaxxxf. ba、求求求的间断(jindun)点,)1)(1(sin)1()( xxxxxxf4.并判别(pnbi)其类型.01 1)1)(1(sin)1()( xxxxxxf第22页/共28页第二十二页，共29页。1., 3)11(lim2 baxxxx已知已知. ba、求求常常数数解原极限(jxin)=11)()1(lim2 xbxabxax3 01 a3 ab 1 a4 b第23页/共28页第

13、二十三页，共29页。2ccxcxxx，求，求设设4lim 解一xxxxcxccxcx 21limlim ccccxxcxccxc2121lim22ce2 4 2ln22 c2ln c得得解二xxxxxxcxccxcx 11limlimccee ce2 第24页/共28页第二十四页，共29页。3,1lim)(212为连续函数为连续函数设设 nnnxbaxxxf. ba、求求解 )(xf 1| x1| x1 x1 xbax x1)1(21ba )1(21ba ,)(连续连续xf)01( f)01( f)1( f即1 ba )1(21ba ,1时时 x第25页/共28页第二十五页，共29页。 )(x

14、f 1| x1| x1 x1 xbax x1)1(21ba )1(21ba ,)(连续连续xf)01( f)01( f)1(f 即1 ba )1(21ba ,1时时 x1 ba )1(21ba 得, 0 b1 a第26页/共28页第二十六页，共29页。求的间断(jindun)点,)1)(1(sin)1()( xxxxxxf)1)(1(sin)1(lim1 xxxxxx, 1sin21 x = 1为第一类可去间断(jindun)点,)(lim1 xfxx = 1为第二类无穷(wqing)间断点,1)(lim0 xfxx = 0为第一类跳跃间断点4解并判别其类型.0, 1, 1 xxx是间断点, 1 x0 x, 1 x01 1)1)(1(sin)1()( xxxxxxf,1)(lim0 xfx第27页