高考数学二轮复习专题六 第9讲抛物线的焦点弦问题

1、 第第 9 讲讲 抛物线的焦点弦问题抛物线的焦点弦问题 直线与抛物线相交的问题，若直线过抛物线的焦点，可使用焦点弦长公式求弦长，利用焦点弦的特殊结论求解题目 例 1 (1)(2020 石家庄模拟)已知 f 是抛物线 y22px(p0)的焦点，过 f 的直线与抛物线交于a，b 两点，ab 的中点为 c，过 c 作抛物线准线的垂线交准线于 c，若 cc的中点为m(1,4)，则 p等于( ) a4 b8 c4 2 d8 2 答案 b 解析 如图，设 a(x1，y1)，b(x2，y2)， m(1,4)，y1y28， 又 c2p2，4 ，fp2，0 ， kab2， 直线 ab：y2xp2， 代入 y22

2、px， 得 y2pyp20， y1y2p8. (2)过抛物线 y24x 的焦点 f 的直线 l 与抛物线交于 a，b 两点，若|af|2|bf|，则|ab|等于( ) a4 b.92 c5 d6 答案 b 解析 不妨设点 a 在 x 轴的上方，如图，设 a，b 在准线上的射影分别为 d，c，作bead于点 e， 设|bf|m，直线 l的倾斜角为 ， 则|af|2m，|ab|3m， 由抛物线的定义知 |ad|af|2m，|bc|bf|m， 所以 cos |ae|ab|13，所以 tan 2 2. 则 sin28cos2，所以 sin289. 由 y24x，知 2p4，故利用弦长公式得|ab|2p

3、sin292. 例 2 已知抛物线 c：y28x，p 为 c 上位于第一象限的任一点，直线 l 与 c 相切于点 p，连接 pf并延长交 c于点 m，过 p 点作 l的垂线交 c于另一点 n，求pmn的面积 s的最小值 解 由题意知 f(2,0)，设 p(x0，y0)(y00)，my218，y1， ny228，y2，切线 l的方程为 xx0t(yy0)， 则fmy2182，y1，fpy2082，y0， 由 m，f，p三点共线，可知fmfp， 即y2182 y0y2082 y10， 因为 y0y1，所以化简可得 y0y116. 由 xx0t(yy0)，y28x，可得 y28ty8ty08x00，

4、 因为直线 l与抛物线相切，故 64t232ty04y200，故 ty04. 所以直线 pn 的方程为 yy0y04(xx0)， 即 y0 x4y4y0y3080， 所以点 m到直线 pn的距离为 dy21y084y14y0y308y2016， 将 y116y0代入可得 d32y04y0y308y2016(y2016)28|y0| y2016， 联立 y0 x4y4y0y3080，y28x，消去 x 可得， y0y232yy3032y00， 所以 y0y232y0，y232y0y0， |pn|116y20|y0y2|116y202y032y02(y2016) y2016y20， 故 s12d|

5、pn| 12(y2016)28|y0| y20162(y2016) y2016y20 18y2016y0318y016y03 182y016y0364， 当且仅当 y04时，“”成立， 此时，pmn 的面积 s 取得最小值，为 64. 设 ab是抛物线 y22px(p0)的一条焦点弦，焦点为 f，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 (1)x1x2p24，y1y2p2. (2)1|af|1|bf|2p. (3)|ab|2psin2( 为弦 ab所在直线的倾斜角) 1设 f 为抛物线 c：y23x 的焦点，过 f 且倾斜角为 30 的直线交 c 于 a，b 两点，o 为坐标原点，则oab 的面

6、积为( ) a.3 34 b.9 38 c.6332 d.94 答案 d 解析 由已知得焦点为 f34，0 ，因此直线 ab的方程为 y33x34，即 4x4 3y30. 方法一 联立直线方程与抛物线方程， 化简得 4y212 3y90， 故|yayb| (yayb)24yayb6. 因此 soab12|of|yayb|1234694. 方法二 联立直线方程与抛物线方程得 x2212x9160，故 xaxb212. 根据抛物线的定义有|ab|xaxbp2123212， 同时原点到直线 ab的距离为 d|3|42(4 3)238， 因此 soab12|ab| d94. 2过抛物线 y22px(p

7、0)的焦点 f 且倾斜角为 120 的直线 l 与抛物线在第一、四象限分别交于 a，b两点，则|af|bf|的值等于( ) a.13 b.23 c.34 d.43 答案 a 解析 记抛物线 y22px的准线为 l，如图，作 aa1l，bb1l，acbb1，垂足分别是 a1，b1，c，则 cosabb1|bc|ab|bb1|aa1|af|bf| |bf|af|af|bf|， 即 cos 60 |bf|af|af|bf|12， 得|af|bf|13. 3已知抛物线 c：y28x 的焦点为 f，点 m(2,2)，过点 f 且斜率为 k 的直线与 c 交于a，b 两点，若amb90 ，则 k 等于(

8、) a. 2 b.22 c.12 d2 答案 d 解析 抛物线 c：y28x的焦点为 f(2,0)， 由题意可知直线 ab的斜率一定存在， 所以设直线方程为 yk(x2)(k0)， 代入抛物线方程可得 k2x2(4k28)x4k20， 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)， 则 x1x248k2，x1x24， 所以 y1y28k，y1y216， 因为amb90 ，所以 ma mb(x12，y12) (x22，y22)16k216k40， 解得 k2，故选 d. 4.如图，已知点 f(1,0)为抛物线 y22px(p0)的焦点，过点 f 的直线交抛物线于 a，b两点，点 c 在抛物线上，使得a

9、bc 的重心 g 在 x 轴上，直线 ac 交 x 轴于点 q，且 q 在点 f 右侧，记afg，cqg 的面积为 s1，s2. (1)求 p的值及抛物线的准线方程； (2)求s1s2的最小值及此时点 g的坐标 解 (1)由题意可得p21，则 p2,2p4， 抛物线方程为 y24x，准线方程为 x1. (2)设 a(x1，y1)，b(x2，y2)， 直线 ab 的方程为 yk(x1)，k0， 与抛物线方程 y24x联立可得， k2x2(2k24)xk20， 故 x1x224k2，x1x21， y1y2k(x1x22)4k， y1y2 4x1 4x24， 设 c(x3，y3)，由重心坐标公式可得

10、， xgx1x2x331324k2x3， ygy1y2y33134ky3， 令 yg0 可得，y34k，则 x3y2344k2， 即 xg1324k24k21328k2， 由斜率公式可得，kacy1y3x1x3y1y3y214y2344y1y3， 直线 ac 的方程为 yy34y1y3(xx3)， 令 y0，可得 xqx3y3(y1y3)4y234y3(y1y3)4y1y34， 故 s112(xgxf)y1121328k21 y1y1283k213， 且 s212(xqxg)(y3) y32y1y341328k2， 由 y34k，代入上式可得 s22ky1k2383k2， 由 y1y24k，y1y24 可得 y14y14k，则 k4y1y214， 则s1s2