高考数学二轮复习专题45 直线与圆（知识梳理）（文）（原卷版）

1、1 / 7 专题专题 45 直线与圆直线与圆（知识梳理）（知识梳理） 一、直线一、直线的的方程方程 1、直线的倾斜角、斜率与两直线的位置关系、直线的倾斜角、斜率与两直线的位置关系 (1)直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角。直线l倾斜角的范围是)0，。 (2)斜率公式：定义式：直线l的倾斜角为2，则斜率= tank。 两点式：)(111yxp，、)(222yxp，在直线l上，且21xx ，则l的斜率1212xxyyk=。 对于上面的斜率公式要注意下面四点： (1)当21xx =时公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角90=

2、，直线与x轴垂直； (2)k与1p、2p的顺序无关，即1y、2y和1x、2x在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换； (3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得； (4)当21yy =时，斜率0=k，直线的倾斜角0=，直线与x轴平行或重合。 (3)两条直线平行的判定 对于两条不重合的直线1l、2l，若其斜率分别为1k、2k，则有21/ll21kk =。 当直线1l、2l不重合且斜率都不存在时，21/ll。 (4)两条直线垂直的判定 如果两条直线1l、2l的斜率存在，设为1k、2k，则有21ll 121=kk。 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，2

3、1ll 。 (5)直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下： 斜率k 0tan=k 0=k 0tan=k 不存在 倾斜角 锐角 0 钝角 90 在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数= tank的单调性，如图所示： 当)20，时，由0增大到2(2)时，k由0增大并趋向于正无穷大； 当)2(，时，由2(2)增大到()时，k由负无穷大增大并趋近于0。 解决此类问题，常采用数形结合思想。 例 1-1直线02sin=+yx的倾斜角的取值范围是( )。 a、)0， b、)4340， 2 / 7 c、40， d、)240， 例 1-2若直线l过点)21(，m，且与以) 131(，p、

4、)03( ，q为端点的线段恒相交，则直线l的斜率的范围是( )。 a、)321(+， b、 121()211， c、31， d、2121， 2、直线方程的五种形式、直线方程的五种形式 形式 几何条件 方程 适用范围及使用情况 一般式 0=+cbyax (022+ ba) 平面直角坐标系内所有直线； 写答案用公式； 点斜式 过一点)(00yx ，斜率k )(00 xxkyy= 与x轴不垂直的直线； 给一点及斜率； 与圆或圆锥曲线有关； 斜截式 纵截距b，斜率k bkxy+= 与y轴不垂直的直线； 给与y轴的交点及斜率； 两点式 过两点)(11yx，)(22yx ， 121121xxxxyyyy=

5、 与x轴、y轴均不垂直的直线； 给两点； 截距式 横截距a，纵截距b 1=+byax 不含垂直于坐标轴和过原点的直线； 给与x、y轴的交点； 例 1-3求满足下列条件的直线方程 (1)斜率为2，经过点)43( ，； (2)斜率为3，在y轴上的截距是2； (3)经过两点) 12( ，和)51(，； (4)经过两点)04(，和)20( ，。 3 / 7 3、直线的交点、距离与对称问题、直线的交点、距离与对称问题 (1)两条直线的交点 (2)三种距离 类型 条件 距离公式 两点间距离 点)(111yxp，、)(222yxp，之间的距离 21221221)()(|yyxxpp+= 点到直线距离 点)(

6、000yxp，到直线l：0=+cbyax的距离 2200bacbyaxd+= 两平行直线间距离 两平行线1l：01=+cbyax 与2l：02=+cbyax间距离 2221baccd+= 例 1-4已知直线012=+ ayx与直线02)2(=+ayxa平行，则a的值是( )。 a、32 b、32或0 c、0或23 d、23 例 1-5若p、q分别为直线01243=+yx与0586=+ yx上任意一点，则| pq的最小值为( )。 a、59 b、1029 c、518 d、529 例 1-6已知)34(，a，) 12(，b和直线l：0234=+ yx，若在坐标平面内存在一点p，使|pbpa =，且

7、点p到直线l的距离为2，则p点坐标为( )。 a、)3132(，或)41 ( ， b、)41 ( ，或)561 ( ， c、)41 ( ，或)78727(， 4 / 7 d、)561 ( ，或)78727(， 4、中心对称问题的两种类型及求解方法：中心对称问题的两种类型及求解方法： (1)点关于点对称：若点)(111yxp，及点)(222yxp，关于点)(000yxp，对称， 则由中点坐标公式得=1122ybyxax，进而求解。 (2)直线关于点对称，主要求解方法是： 在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 求出一个对称点，再利用两对称直

8、线平行，由点斜式得到所求直线方程。 5、轴对称问题的两种类型及求解方法：轴对称问题的两种类型及求解方法： (1)点关于直线对称：若点)(111yxp，与点)(222yxp，关于直线l：0=+cbyax对称， 则由=+1)(0)2()2(12122121baxxyycyybxxa得1p关于l对称的2p坐标)(22yx ，(0b，21xx )。 (2)直线关于直线的对称： 若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解。 若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解。 例 1-7点)23( ，p关于点)41 ( ，q的

9、对称点m为( )。 a、)61 ( ， b、) 16( ， c、)61 ( ， d、)61(， 例 1-8直线032=+ yx关于直线02 =+ yx对称的直线方程是( )。 a、032=+yx b、032=yx c、012=+yx d、012=+yx 例 1-9已知入射光线经过点)43(，m，被直线l：03=+ yx反射，反射光线经过点)62( ，n，则反射光线所在直线的方程为 。 5 / 7 二、圆的方程二、圆的方程 1、圆的定义及方程、圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程 222)()(rbyax=+(0r) 圆心)(ba，半径r 一般方程 022=

10、+feydxyx (0422+fed) 圆心)22(fd，半径2422fedr+= 2、点与圆的位置关系、点与圆的位置关系 点)(00yxm，圆的标准方程222)()(rbyax=+。 理论依据 点与圆心的距离与半径的大小关系 三种情况 22020)()(rbyax=+点在圆上 22020)()(rbyax+点在圆外 22020)()(rbyax+点在圆内 3、与圆有关的对称问、与圆有关的对称问题题 (1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称。 (2)圆关于点对称：求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置； 两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点。 (3)圆关于直线对称：求已

11、知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置； 两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线。 例 2-1已知圆1c：1) 1() 1(22=+yx，圆2c与圆1c关于直线01= yx对称，则圆2c的方程为( )。 a、1)2()2(22=+yx b、1)2()2(22=+yx c、1)2()2(22=+yx d、1)2()2(22=+yx 4、直线与、直线与圆的位置关系圆的位置关系 (1)直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离。 (2)两种研究方法： 5、弦长问题、弦长问题 圆的弦长问题在高考中多次出现，考查角度主要有两个：已知直线与圆的方程求圆的弦长；已知圆的弦长求解直

12、线或圆的方程中的参数等。 解决圆的弦长问题的方法： 几何法 如图所示，设直线150+ k被圆c截得的弦为ab， 圆的半径为r，圆心到直线的距离为d， 则有关系式：222|drab= 6 / 7 代数法 若斜率为k的直线与圆相交于)(11yxa，、)(22yxb，两点， 则|114)(1|212212212yykxxxxkab+=+=(其中0k)。 特别地，当0=k时，|21xxab=；当斜率不存在时，|21yyab=。 当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的adcrt)，在解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用。 例 2-2若2222cba=+(0c)，则直

13、线0=+cbyax被圆122=+ yx所截得的弦长为( )。 a、21 b、22 c、1 d、2 例 2-3已知直线023=+ yx及直线0103= yx截圆c所得的弦长均为8，则圆c的面积是 。 6、切线问题、切线问题 求过圆上一点)(00yx ，的切线方程的方法：先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为0yy =；若0=k，则结合图形可直接写出切线方程为0 xx =；若k存在且0k，则由垂直关系知切线的斜率为k1，由点斜式可写出切线方程。 求过圆外一点)(00yx ，的圆的切线方程的方法 几何法 当斜率存在时设为k，则切线方程为)(00 xxkyy=，即000

14、=+kxyykx。 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程 代数法 当斜率存在时设为k，则切线方程为)(00 xxkyy=，即00ykxkxy+=，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由0=，求得k，切线方程即可求出。 7、圆与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 (1)设圆1c：212121)()(rbyax=+(01r)，圆2c：222222)()(rbyax=+(02r)， 方法 位置关系 几何法： 圆心距d与1r、2r的关系 代数法： 两圆方程联立组成方程组的解的情况 外离 21rrd+ 无解 外切 21rrd+= 一组实数解 相交 2121|rrdrr+ 两组不同的实数解 内切 |21rrd=(21rr ) 一组实数解 内含 |021rrd(21rr ) 无解 7 / 7 (2)圆与圆位置关系的应用 设圆1c：011122=+fyexdyx，；圆2c：022222=+fyexdyx， 若两圆相交，则有一条公共弦，由-，得0)()()(212121=+ffyeexdd， 方程表示圆1c与2c的公共弦所在直线的方程。 (1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不