高考数学一轮复习第3节　基本不等式

1、1 / 14 第 3节 基本不等式： abab2 知 识 梳 理 1.基本不等式： abab2 (1)基本不等式成立的条件：a0，b0. (2)等号成立的条件：当且仅当 ab时取等号. (3)其中ab2称为正数 a，b的算术平均数， ab称为正数 a，b 的几何平均数. 2.几个重要的不等式 (1)a2b22ab(a，br)，当且仅当 ab时取等号. (2)abab22(a，br)，当且仅当 ab时取等号. (3)a2b22ab22(a，br)，当且仅当 ab 时取等号. (4)baab2(a，b 同号)，当且仅当 ab时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知 x0，y0 则 (1)如果积

2、xy 是定值 p，那么当且仅当 xy时，xy有最小值是 2 p(简记：积定和最小). (2)如果和 xy 是定值 s，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值是s24(简记：和定积最大). 1.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：abab22a2b22， abab2a2b22(a0，b0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件. 2 / 14 2.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可. 3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致. 4.基本不等式的一般形式：1n(a1a2a3an)na1a2an(

3、其中 a1，a2，a3，an(0，)，当且仅当 a1a2a3an时等号成立). 诊 断 自 测 1.判断下列说法的正误. (1)当 a0，b0时，ab2 ab.( ) (2)两个不等式 a2b22ab与ab2 ab成立的条件是相同的.( ) (3)函数 yx1x的最小值是 2.( ) (4)函数 f(x)sin x4sin x的最小值为 4.( ) (5)x0 且 y0是xyyx2的充要条件.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 解析 (2)不等式 a2b22ab 成立的条件是 a，br； 不等式ab2 ab成立的条件是 a0，b0. (3)函数 yx1x值域是(，22，)，没

4、有最小值. (4)函数 f(x)sin x4sin x无最小值. (5)xy0 是xyyx2 的充分必要条件. 2.设 x0，y0，且 xy18，则 xy 的最大值为( ) a.80 b.77 c.81 d.82 答案 c 解析 xyxy2281，当且仅当 xy9时取等号. 3.(2021 衢州、湖州、丽水质检)若 a0，b0，则“ab4”是“abab1”的( ) 3 / 14 a.充分不必要条件 b.必要不充分条件 c.充分必要条件 d.既不充分也不必要条件 答案 a 解析 因为 a0，b0，ab4，所以ababab2 abab2421，当且仅当 ab时，等号成立，所以充分性成立；取 a20

5、，b12，则abab1，此时 ab104，所以必要性不成立.综上，“ab4”是“abab1”的充分不必要条件，故选 a. 4.(2020 新高考海南卷改编)已知 a0，b0，且 ab1，则下列错误的是( ) a.a2b212 b.2ab12 c.log2alog2b2 d. a b 2 答案 c 解析 因为 a0，b0，ab1，所以 ab2 ab，当且仅当 ab12时，等号成立，即有 ab14. 对于 a，a2b2(ab)22ab12ab121412，故 a正确； 对于 b，2ab22a11222a， 因为 a0，所以 22a1，即 2ab12，故 b正确； 对于 c，log2alog2blo

6、g2ablog2142，故 c错误； 对于 d，由( a b)2ab2 ab12 ab2，得 a b 2，故 d正确. 5.(必修 5p100a2 改编)一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m，则这个矩形的长为_m，宽为_m 时菜园面积最大. 答案 15 152 解析 设矩形的长为 x m，宽为 y m.则 x2y30， 所以 sxy12x (2y)12x2y222252，当且仅当 x2y，即 x15，y152时取等4 / 14 号. 6.已知正数 x，y 满足 xy1，则 xy 的取值范围为_，1xxy的最小值为_. 答案 (1，1) 3 解析 正数 x，y 满

7、足 xy1， y1x，0 x1， y1x， xy2x1，又 0 x1， 02x2，12x10，则 a82a1的最小值为_. (3)设 0m12，若1m212mk22k 恒成立，则实数 k 的取值范围是_. 答案 (1)1 (2)72 (3)2，4 解析 (1)因为 x54，所以 54x0， 则 f(x)4x214x554x154x3 2（54x）154x3231. 当且仅当 54x154x，即 x1时，等号成立. 故 f(x)4x214x5的最大值为 1. 5 / 14 (2)由题意可知 a82a1a124a12122a124a121272，当且仅当 a124a12，即 a32时等号成立.所以

8、 a82a1的最小值为72. (3)因为 0m12，则 02m1)的最小值为_. (2)当 x0时，xax1(a0)的最小值为 3，则实数 a的值为_. 答案 (1)2 32 (2)4 解析 (1)yx22x1（x22x1）（2x2）3x1 （x1）22（x1）3x1 (x1)3x122 32. 当且仅当 x13x1，即 x 31时，等号成立. (2)因为当 x0，a0 时，xax1x1ax112 a1，当且仅当 x1ax1时，等号成立，又 xax1(a0)的最小值为 3，所以 2 a13，解得 a4. 考点二 常数代换法、消元法求最值 6 / 14 【例 2】 (1)(2021 浙江“超级全

9、能生”联考)已知正数 x，y 满足 xy1，则11x112y的最小值是( ) a.3328 b.76 c.32 25 d.65 (2)已知正实数 x，y 满足 xy2x3y42，则 xy5x4y 的最小值为_. 答案 (1)c (2)55 解析 (1)xy1，2x22y15，11x112y15(2x22y1)222x112y15324y22x22x12y32 25，当且仅当 2x24y24x4y10 时等号成立，故选 c. (2)因为正实数 x，y 满足 xy2x3y42，所以 y422x3x0 且 x0，解得0 x0，y0，且1x11y12，则 xy 的最小值为( ) a.3 b.5 c.7

10、 d.9 (2)若 a，b，c 都是正数，且 abc2，则4a11bc的最小值是( ) a.2 b.3 c.4 d.6 答案 (1)c (2)3 解析 (1)x0，y0，且1x11y12，x1y21x11y(x1y)7 / 14 211yx1x1y222yx1x1y8，当且仅当yx1x1y，即 x3，y4 时取等号，xy7，故 xy 的最小值为 7. (2)由题意可得 bc2a0，所以 0a0)，则由题意得 t22 2x 2y2t，即 2 2x 2yt22t.因为 02 2x 2y22x2y22，即 0t22tt22，当且仅当 2x2y，即 xy1 时等号成立，解得 20，b0，且1a1b a

11、b，则 a2b2的最小值为( ) a.2 b.2 2 c.4 d.4 2 (2)(2021 金华一中月考)已知正实数 a，b 满足 ab1，则2aa2bbab2的最大值是( ) a.2 b.1 2 c.12 33 d.13 22 答案 (1)c (2)c 解析 (1)因为ab1a1b21a1b，且 a0，b0，解得 ab2，则 a2b22ab4，当且仅当 ab 2时等号成立，所以 a2b2的最小值为 4，故选c. (2)因为正实数 a，b满足 ab1， 所以2aa2bbab22aa21a1aa（1a）2a1a2a1. 令 ta1(1，2)，则原式tt23t31t3t312 3332 3312

12、33. 当且仅当 t3t，即 t 3a1，a 31，b2 3时取等号，故选 c. 基础巩固题组 一、选择题 1.下列不等式一定成立的是( ) a.lgx214lg x(x0) b.sin x1sin x2(xk，kz) c.x212|x| 9 / 14 d.1x211 答案 c 解析 当 x0 时，x2142 x12x，所以 lgx214lg x(x0)，故 a 不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，当 xk，kz 时， sin x 的正负不定，故 b 不正确；显然 c 正确；当 x0 时，有1x211，d 不正确. 2.若 a0，b0，且 ab4，则下列不等式恒成立的是(

13、 ) a.1ab14 b.1a1b1 c. ab2 d.a2b28 答案 d 解析 4ab2 ab(当且仅当 ab 时，等号成立)，即 ab2，ab4，1ab14，a，c 不成立；1a1babab4ab1，b 不成立；a2b2(ab)22ab162ab8，d成立. 3.(2020 诸暨期末)已知 a2b1(a0，b0)，则2ba1b的最小值为( ) a.4 b.2 22 c.52 d.2 21 答案 b 解析 由题意得2ba1b2baa2bb2baab222baab22 22，当且仅当 a 2b 21时，等号成立，所以2ba1b的最小值为 2 22，故选 b. 4.若正数 x，y 满足 4x2

14、9y23xy30，则 xy 的最大值是( ) a.43 b.53 c.2 d.54 答案 c 解析 由 x0，y0，得 4x29y23xy2 (2x) (3y)3xy(当且仅当 2x3y 时等号成立)，12xy3xy30，即 xy2，当且仅当 x 3，y2 33时取等号，xy 的最大值为 2. 10 / 14 5.已知 a0，b0，ab1a1b，则1a2b的最小值为( ) a.4 b.2 2 c.8 d.16 答案 b 解析 由 a0，b0，ab1a1babab，得 ab1， 则1a2b21a2b2 2.当且仅当1a2b， 即 a22，b 2时等号成立.故选 b. 6.若实数 a，b 满足1a

15、2b ab，则 ab 的最小值为( ) a. 2 b.2 c.2 2 d.4 答案 c 解析 依题意知 a0，b0，则1a2b22ab2 2ab，当且仅当1a2b，即 b2a时，“”成立.因为1a2b ab，所以 ab2 2ab，即 ab2 2(当且仅当 a214，b254时等号成立)，所以 ab的最小值为 2 2，故选 c. 7.(2020 台州期末评估)已知实数 a，b满足 a2b24，则 ab的取值范围是( ) a.0，2 b.2，0 c.(，22，) d.2，2 答案 d 解析 a2b24，根据基本不等式得 4a2b22|ab|，|ab|2， 2ab2，ab 的取值范围是2，2，故选

16、d. 8.已知 xy1x4y8(x，y0)，则 xy 的最小值为( ) a.5 3 b.9 c.4 26 d.10 答案 b 解析 由 xy1x4y8 得 xy81x4y，则(xy8)(xy)1x4y(xy)511 / 14 yx4xy52yx4xy9，当且仅当yx4xy，即 y2x 时，等号成立，令 txy，所以(t8) t9，解得 t1或 t9，因为 xy0，所以 xy9，所以 xy 的最小值为 9，故选 b. 9.已知 a，b，c，d0，)，abcd2，则(a2c2)(b2d2)的最大值是( ) a.4 b.8 c.16 d.32 答案 c 解析 （a2c2）（b2d2）a2c2b2d2

17、2（ab）2（cd）224， (a2c2)(b2d2)16，当 ad2，bc0 或 bc2，ad0 时取到等号，故选 c. 二、填空题 10.(2019 天津卷)设 x0，y0，x2y5，则（x1）（2y1）xy的最小值为_. 答案 4 3 解析 x0，y0， xy0. x2y5，（x1）（2y1）xy2xyx2y1xy 2xy6xy2 xy6xy2 124 3， 当且仅当 2 xy6xy，即 x3，y1 或 x2，y32时取等号. （x1）（2y1）xy的最小值为 4 3. 11.(2021 镇海中学模拟)已知 a，b 为正数且 a2b3，则1a2b的最小值是_. 答案 3 解析 因为 a，

18、b0，且 a2b3，所以1a2b1a2b a32b3134323abba12 / 14 53232abba53433，当且仅当abba，即 ab1时取等号. 12.(2018 江苏卷)在abc 中，角 a，b，c 所对的边分别为 a，b，c，abc120 ，abc的平分线交 ac于点 d，且 bd1，则 4ac 的最小值为_. 答案 9 解析 因为abc120 ，abc 的平分线交 ac 于点 d，所以abdcbd60 ，由三角形的面积公式可得12acsin 120 12a1sin 60 12c1sin 60 ，化简得 acac，又 a0，c0，所以1a1c1，则 4ac(4ac)1a1c5c

19、a4ac52ca4ac9，当且仅当 c2a时取等号，故 4ac 的最小值为 9. 13.若正数 a，b 满足1a1b1，则1a19b1的最小值为_. 答案 6 解析 正数 a，b 满足1a1b1， abab，1a11b0，1b11a0， b1，a1， 则1a19b129（a1）（b1）29ab（ab）16(当且仅当 a43，b4 时等号成立)， 1a19b1的最小值为 6. 14.若实数 x，y，z 满足 x2y3z1，x24y29z21，则 z 的最小值是_. 答案 19 解析 法一 因为 19z2(x2y)22 x 2y(x2y)22x2y22，又 x2y13z，则 19z212(13z)

20、2，解得19z13，即 z 的最小值为19. 法二 由 x2(2y)219z2，设 x 19z2cos ，2y 19z2sin ，则 13z19z2(cos sin )2（19z2）sin4，由三角函数的有界性，得|113 / 14 3z| 2（19z2），解得19z13，即 z 的最小值为19. 能力提升题组 15.设正实数 x，y，z满足 x23xy4y2z0，则当xyz取得最大值时，2x1y2z的最大值为( ) a.0 b.1 c.94 d.3 答案 b 解析 由已知得 zx23xy4y2，(*) 则xyzxyx23xy4y21xy4yx31，当且仅当 x2y 时取等号，把 x2y 代入(*)式，得 z2y2，所以2x1y2z1y1y1y21y1211. 16.(一题多解)(2017 北京卷改编)已知 x0，y0，且 xy1，则 x2y2的最小值为_，最大值为_. 答案 12 1 解析 法一 x0，y0且