高考数学一轮复习第2章 第5节 幂函数与二次函数 (2)

1、1 / 14 幂函数与二次函数 考试要求 1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数 yx，yx2，yx3，yx ，y1x的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题 1幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如 yx(r)的函数称为幂函数，其中 x 是自变量， 是常数 (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 yx yx2 yx3 yx yx1 图象 性质 定义域 r r r x|x0 x|x0 值域 r y|y0 r y|y0 y|y0 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 函数 奇函数 单调性 在 r 上单 调递增 在(

2、，0 上单调递减； 在(0，) 上单调递增 在 r 上单 调递增 在0，) 上单调递增 在(，0)和(0，) 上单调递减 公共点 (1,1) 2二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)； (2)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)； (3)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0) 2 / 14 3二次函数的图象和性质 解析式 f(x)ax2bxc(a0) f(x)ax2bxc(a0) 图象 定义域 r r 值域 4acb24a， ，4acb24a 单调性 在 x，b2a上单调递减； 在 xb2a， 上单调递增 在 x，b2a上单调递增； 在 xb2a， 上单

3、调递减 对称性 函数的图象关于直线 xb2a对称 提醒：二次函数 yax2bxc(a0)的系数特征 (1)二次项系数 a的正负决定图象的开口方向 (2)b2a的值决定图象对称轴的位置 (3)c 的取值决定图象与 y 轴的交点 (4)b24ac 的正负决定图象与 x 轴的交点个数 常用结论 1幂函数 yx在(0，)上的三个重要结论 (1)当 0时，函数在(0，)上单调递增 (2)当 0时，函数在(0，)上单调递减 (3)当 x(0,1)时，越大，函数值越小，当 x(1，)时， 越大，函数值越大 2根与系数的关系 二次函数 f(x)ax2bxc(a0)，当 b24ac0时，其图象与 x 轴有两个交

4、点 m1(x1,0)，m2(x2,0)，这里的 x1，x2是方程 f(x)0的两个根，且3 / 14 x1x2ba，x1 x2ca，|m1m2|x1x2|a|. 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)函数 y2x 是幂函数( ) (2)当 n0时，幂函数 yxn在(0，)上是增函数( ) (3)二次函数 yax2bxc(xr)不可能是偶函数( ) (4)二次函数 yax2bxc(xa，b)的最值一定是4acb24a.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1已知幂函数 yf(x)经过点(3， 3)，则 f(x)( ) a是偶函数，且在(0，)上是增函数

5、b是偶函数，且在(0，)上是减函数 c是奇函数，且在(0，)上是减函数 d是非奇非偶函数，且在(0，)上是增函数 d 设幂函数的解析式为 yx，将点(3， 3)的坐标代入解析式得 33，解得 12，yx ，故选 d. 2若幂函数 yf(x)的图象过点(4,2)，则幂函数 yf(x)的图象是( ) a b c d 4 / 14 c 令 f(x)x，则 42，解得 12， f(x)x ，则 f(x)的图象如选项 c中所示 3已知函数 f(x)x24ax 在区间(，6)内单调递减，则 a的取值范围是( ) aa3 ba3 ca3 da3 d 函数 f(x)x24ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称

6、轴是 x2a，由函数在区间(，6)内单调递减可知，区间(，6)应在直线 x2a的左侧，所以2a6，解得 a3，故选 d. 4函数 g(x)x22x(x0,3)的值域是_ 1,3 g(x)x22x(x1)21，x0,3， 当 x1时，g(x)ming(1)1， 又 g(0)0，g(3)963， g(x)max3， 即 g(x)的值域为1,3 考点一 幂函数的图象及其性质 与幂函数有关问题的解题思路 (1)若幂函数 yx(z)是偶函数，则 必为偶数当 是分数时，一般将其先化为根式，再判断 (2)若幂函数 yx在(0，)上单调递增，则 0；若在(0，)上单调递减，则 0. (3)在比较幂值的大小时，

7、必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较 1(多选)已知 1,1,2,3，则使函数 yx的值域为 r，且为奇函数的所有 的值为( ) a1 b1 c3 d2 5 / 14 ac 当 1时，yx11x，为奇函数，但值域为x|x0，不满足条件 当 1时，yx 为奇函数，值域为 r，满足条件 当 2时，yx2为偶函数，值域为x|x0，不满足条件 当 3时，yx3为奇函数，值域为 r，满足条件故选 ac. 2当 x(0，)时，幂函数 y(m2m1)x5m3为减函数，则实数 m的值为( ) a2 b1 c1或2 dm1 52 b 因为函数 y(m2m1)x5m3既是幂函数又是(0，)上的

8、减函数， 所以 m2m11，5m30，解得 m1. 3若 a12，b15，c12，则 a，b，c 的大小关系是( ) aabc bcab cbca dbac d 因为 yx 在第一象限内是增函数，所以 a12b15，因为 y12x是减函数， 所以 a12c12，所以 bac. 4若(a1) (32a) ，则实数 a 的取值范围是_ 1，23 易知函数 yx 的定义域为0，)，在定义域内为增函数， 所以 a10，32a0，a132a，解得1a23. 点评：比较大小时，若底数相同，可考虑指数函数的单调性若指数相同，可考虑幂函数的单调性，有时需要通过化简，使底数(指数)相同如本例6 / 14 t3，

9、也可化简为 a14，b125，c12，再通过 yx 的单调性比较大小 考点二 求二次函数的解析式 求二次函数解析式的策略 典例 1 已知二次函数 f(x)满足 f(2)1，f(1)1，且 f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数的解析式 解 法一：(利用二次函数的一般式) 设 f(x)ax2bxc(a0) 由题意得 4a2bc1，abc1，4acb24a8，解得 a4，b4，c7. 故所求二次函数为 f(x)4x24x7. 法二：(利用二次函数的顶点式) 设 f(x)a(xm)2n(a0) f(2)f(1)，抛物线对称轴为 x2(1)212. m12，又根据题意函数有最大值 8，n8， yf(

10、x)ax1228. f(2)1，a212281，解得 a4， f(x)4x12284x24x7. 法三：(利用零点式) 由已知 f(x)10 的两根为 x12，x21， 故可设 f(x)1a(x2)(x1)， 7 / 14 即 f(x)ax2ax2a1. 又函数有最大值 ymax8，即4a(2a1)a24a8. 解得 a4或 a0(舍去)， 故所求函数解析式为 f(x)4x24x7. 点评：求二次函数的解析式常利用待定系数法，但由于条件不同，则所选用的解析式不同，其方法也不同 跟进训练 1已知二次函数 f(x)的图象的顶点坐标是(2，1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为 f(x)_.

11、 19x249x59 法一：(一般式)设所求函数的解析式为 f(x)ax2bxc(a0) 由已知得 b2a2，4acb24a1，abc0，解得 a19，b49，c59， 所以所求解析式为 f(x)19x249x59. 法二：(顶点式)设所求函数的解析式为 f(x)a(xh)2k. 由已知得 f(x)a(x2)21， 将点(1,0)代入，得 a19，所以 f(x)19(x2)21， 即 f(x)19x249x59. 2已知二次函数 f(x)的图象经过点(4,3)，它在 x 轴上截得的线段长为 2，并且对任意 xr，都有 f(2x)f(2x)，则函数的解析式 f(x)_. x24x3 f(2x)f

12、(2x)对 xr 恒成立， f(x)图象的对称轴为 x2. 又f(x)的图象被 x 轴截得的线段长为 2， 8 / 14 f(x)0 的两根为 1和 3. 设 f(x)的解析式为 f(x)a(x1)(x3)(a0) 又f(x)的图象经过点(4,3)， 3a3，a1. 所求 f(x)的解析式为 f(x)(x1)(x3)， 即 f(x)x24x3. 考点三 二次函数的图象与性质 二次函数图象的识别 识别二次函数图象应学会“三看” 典例 21 (1)一次函数 yaxb 与二次函数 yax2bxc 在同一坐标系中的图象大致是( ) a b c d (2)如图所示的是二次函数 yax2bxc 图象的一部

13、分，且过点 a(3,0)，对称轴为直线 x1.给出下面四个结论： b24ac；2ab1；abc0；5ab. 其中正确的是( ) a b c d 9 / 14 (1)c (2)b (1)若 a0，则一次函数 yaxb 为增函数，二次函数 yax2bxc的图象开口向上，故排除 a；若 a0，一次函数 yaxb为减函数，二次函数 yax2bxc 的图象开口向下，故排除 d；对于选项 b，看直线可知 a0，b0，从而b2a0，而图中二次函数图象的对称轴在 y 轴的右侧，故排除 b.故选 c. (2)因为图象与 x 轴交于两点，所以 b24ac0，即 b24ac，正确 因为对称轴为直线 x1，所以b2a

14、1，即 2ab0，错误 结合图象，当 x1时，y0，即 abc0，错误 由对称轴为直线 x1 知，b2a.又函数图象开口向下，所以 a0，所以5a2a，即 5ab，正确 点评：对于判断两个函数的图象在同一坐标系中的题目，可假设一个图象正确，然后判断另一个图象是否正确如本例 t(1) 二次函数的单调性 二次函数单调性问题的求解策略 (1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解 (2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较 典例 22 (1)函数 f(x)ax2(a3)x1在区间

15、1，)上是递减的，则实数 a的取值范围是( ) a3,0) b(，3 c2,0 d3,0 (2)二次函数 f(x)ax2bxc(xr)的最小值为 f(1)，则 f( 2)，f 32，f( 3)的大小关系是( ) af( 2)f 32f( 3) bf 32f( 2)f(3) 10 / 14 cf( 3)f( 2)f 32 df( 2)f( 3)f 32 (1)d (2)d (1)当 a0 时，f(x)3x1在1，)上递减，满足题意 当 a0时，f(x)图象的对称轴为 x3a2a， 由 f(x)在1，)上递减知 a0，3a2a1，解得3a0. 综上，a的取值范围为3,0 (2)二次函数 f(x)a

16、x2bxc(xr)的最小值为 f(1)， 函数的图象开口方向朝上，对称轴为直线 x1. 321 | 31| 21|， f( 2)f( 3)f32，故选 d. 母题变迁 将本例(1)改为“若函数 f(x)ax2(a3)x1的单调减区间是1，)”，则实数 a_. 3 由题意知 a0，3a2a1，解得 a3. 二次函数的最值问题 二次函数最值问题的类型及解题思路 (1)类型： 对称轴、区间都是给定的； 对称轴动、区间固定； 对称轴定、区间变动 (2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，“三点”是指区间11 / 14 两个端点和中点，“一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨

17、论的思想解决问题 典例 23 求函数 f(x)x22ax1 在区间1,2上的最值 解 f(x)(xa)21a2. 当a1，即 a1 时，函数 f(x)在区间1,2上是增函数， f(x)minf(1)22a，f(x)maxf(2)4a5. 当1a12，即12a1时，函数 f(x)在区间1,2上先减后增，f(x)minf(a)1a2，f(x)maxf(2)4a5. 当12a2，即2a12时，函数 f(x)在区间1,2上先减后增，f(x)minf(a)1a2，f(x)maxf(1)22a. 当a2，即 a2 时，函数 f(x)在区间1,2上是减函数， f(x)minf(2)4a5，f(x)maxf(

18、1)22a. 综上知，f(x)min 22a，a1，1a2，2a1，4a5，a2， f(x)max 4a5，a12，22a，a12. 点评：对称轴分区间讨论，书写结论时要注意合并区间 与二次函数有关的恒成立问题 1由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 (1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数 (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离这两个思路的依据是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min. 2ax2bxc0(a0)在区间m，n上恒成立的条件设 f(x)ax2bx12 / 14 c，则 f(m)0，f(n)

19、0. 典例 24 (1)已知函数 f(x)x2mx1，若对于任意 xm，m1，都有 f(x)0 成立，则实数 m的取值范围是_ (2)已知函数 f(x)x22x1，f(x)xk 在区间3，1上恒成立，则 k的取值范围为_ (1)22，0 (2)(，1) (1)作出二次函数 f(x)的草图如图所示，对于任意 xm，m1，都有 f(x)0， 则有 f(m)0，f(m1)0， 即 m2m210，(m1)2m(m1)10， 解得22m0. (2)由题意得 x2x1k 在区间3，1上恒成立 设 g(x)x2x1，x3，1， 则 g(x)在3，1上递减 g(x)ming(1)1. k1.故 k 的取值范围为(，1) 跟进训练 1已知 abc0，则二次函数 f(x)ax2bxc 的图象可能是( ) a b c d d a项，因为 a0，b2a0，所以 b0.又因为 abc0，所以 c0，而 f(0)c0，故 a错b项，因为 a0，b2a0，所以 b0.又因为 abc13 / 14 0，所以