高考数学一轮复习2 第2讲　函数的单调性与最值

1、1 / 19 第 2讲 函数的单调性与最值 最新考纲 考向预测 1.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义. 2.会运用基本初等函数图象分析函数的单调性. 命题 趋势 以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择、填空题，又有解答题. 核心 素养 逻辑推理、数学抽象、数学运算 1函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数 f(x)的定义域为 i，如果对于定义域 i 内某个区间d上的任意两个自变量的值 x1，x2 当 x1x2时，都有

2、 f(x1)f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 d上是增函数 当 x1f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 d上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数 yf(x)在区间 d 上是增函数或减函数，那么就说函数 yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 d叫做函数 yf(x)的单调区间 2函数的最值 2 / 19 前提 一般地，设函数 yf(x)的定义域为 i，如果存在实数 m 满足 条件 (1)对于任意 xi，都有f(x)m； (2)存在 x0i，使得 f(x0)m (1)对于任意 xi，都有f(x)m； (2)存在

3、x0i，使得 f(x0)m 结论 m 为最大值 m 为最小值 常用结论 1函数单调性的两个等价结论 设x1，x2d(x1x2)，则 (1)f（x1）f（x2）x1x20(或(x1x2)f(x1)f(x2)0)f(x)在 d上单调递增 (2)f（x1）f（x2）x1x20(或(x1x2)f(x1)f(x2)0)f(x)在 d上单调递减 2函数最值存在的两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到 (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值 常见误区 1求函数的单调区间，应先确定函数的定义域，忽略定义域研究函数的单调性是常见的错误 2有多个

4、单调区间应分开写，不能用符号“”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结 1判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)若定义在 r 上的函数 f(x)，有 f(1)f(3)，则函数 f(x)在 r 上为增函数( ) (2)函数 yf(x)在1，)上是增函数，则函数 f(x)的单调递增区间是1，)( ) (3)函数 y1x的单调递减区间是(，0)(0，)( ) 3 / 19 (4)所有的单调函数都有最值( ) (5)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到( ) 答案：(1) (2) (3) (4) (5) 2下列函数中，在区间(0，)上单调递减的是( ) ay1xx by

5、x2x cyln xx dyex 解析：选 a.对于 a，y11x在区间(0，)上是减函数，y2x 在区间(0，)上是增函数，则 y1xx 在区间(0，)上是减函数；b，c 选项中的函数在区间(0，)上均不单调；选项 d 中，yex在区间(0，)上是增函数 3(易错题)已知函数 f(x) x22x3，则该函数的单调递增区间为( ) a(，1 b3，) c(，1 d1，) 解析：选 b.设 tx22x3，由 t0，即 x22x30，解得 x1 或x3.所以函数 f(x)的定义域为(，13，)因为函数 tx22x3的图象的对称轴为 x1，所以函数 t 在区间(，1上单调递减，在区间3，)上单调递增

6、所以函数 f(x)的单调递增区间为3，) 4已知函数 f(x)2x1，x2，6，则 f(x)的最大值为_，最小值为_ 解析：可判断函数 f(x)2x1在区间2，6上为减函数，所以 f(x)maxf(2)2，f(x)minf(6)25. 答案：2 25 5若函数 y(2k1)xb 在 r 上是减函数，则 k 的取值范围是_ 解析：因为函数 y(2k1)xb 在 r 上是减函数，所以 2k10，即 k12. 4 / 19 答案：，12 确定函数的单调性(区间) 角度一 判断或证明函数的单调性 试讨论函数 f(x)axx1(a0)在(1，1)上的单调性 【解】 方法一：设1x1x21， f(x)ax

7、11x1a11x1， f(x1)f(x2)a11x11a11x21 a（x2x1）（x11）（x21），因为1x1x20，x110，x210 时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，函数 f(x)在(1，1)上单调递减； 当 a0时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)0时，f(x)0，函数 f(x)在(1，1)上单调递减； 当 a0，函数 f(x)在(1，1)上单调递增 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤 5 / 19 注意 判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等 角度二 求函数的单调区间 求函数 f(x)x22|x|1的单调区间 【解】 f(x)x22x1，x0，x

8、22x1，x0 （x1）22，x0，（x1）22，x0. 画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(，1和(0，1，单调递减区间为(1，0和(1，) 【引申探究】 (变条件)若本例函数变为 f(x)|x22x1|，如何求解？ 解：函数 y|x22x1|的图象如图所示由图象可知，函数 y|x22x1|的单调递增区间为1 2，1和1 2，)；单调递减区间为(，1 2和1，1 2 确定函数的单调区间的方法 6 / 19 1函数 y|x|(1x)在区间 a上是增函数，那么区间 a可能是( ) a(，0) b.0，12 c0，) d.12， 解析：选 b.y|x|(1x) x（1x），x0 x（1x），

9、x0 x2x，x0 x2x，x0 x12214，x0，x12214，x0”的是( ) ay1x byx cyx2 dy|x1| 解析：选 abc.由(x1x2) f(x1)f(x2)0 可知，f(x)在 (0，)上是增函数对于 a 项，y1x在(0，)上单调递增，所以 a 项符合题意；对于 b项，yx 在(0，)上单调递增，所以 b 项符合题意；对于 c 项，yx2在(0，)上单调递增，所以 c 项符合题意；对于 d 项，y|x1|在(0，)上不单调，故选 abc. 3若函数 f(x)（2b1）xb1，x0，x2（2b）x，x0在 r 上为增函数，则实数 b7 / 19 的取值范围为( ) a

10、.12， b1，2 c.12，2 d.12，2 解析：选 b.要使此分段函数为 r 上的增函数，必须使函数 g(x)(2b1)xb1 在(0，)上单调递增，函数 h(x)x2(2b)x 在(，0上单调递增 ， 且 满 足 h(0) g(0) ， 根 据 一 次 函 数 和 二 次 函 数 的 单 调 性 可 得2b10，2b2（1）0，0b1，解得 1b2，即实数 b的取值范围是1，2 函数的最值(值域) (1)函数 y1x21x2的值域是_ (2)函数 yx x1的最小值为_ (3)(2020 福建漳州质检)已知函数 f(x)2xa，x0，x4x，x0有最小值，则实数 a的取值范围是_ 【解

11、析】 (1)(分离常数法)因为 y1x21x2121x2，又因为 1x21，所以 021x22，所以10 时，函数 f(x)x4x2x4x4，当且仅当 x2 时取等号；当 x0 时，f(x)2xa(a，1a，因此要使 f(x)有最小值，则必须有 a4. 【答案】 (1)(1，1 (2)1 (3)4，) 求函数最值的五种常用方法 注意 导数法求最值下章讲解，数形结合求最值见本节方法素养 1已知 1x5，则下列函数中，最小值为 4的是( ) ay4x1x byx4x1 cyx22x3 dy51x 解析：选 d.易知函数 y4x1x在1，5上单调递增，所以 4x1x5，a 不符合题意； 因为 x1，

12、所以 yx4x1x14x11413(当且仅当 x1 时取等号)，故其最小值不为 4，b不符合题意； yx22x3(x1)24，其最大值为 4(当 x1 时取得)，最小值是f(5)12，c不符合题意； 因为函数 y51x在(0，)上单调递增，所以在区间1，5上也是增函9 / 19 数，其最小值为 f(1)5114，符合题意故选 d. 2(2020 深圳模拟)函数 yx24x25的最大值为_ 解析：令 x24t，则 t2， 所以 x2t24，所以 ytt211t1t， 设 h(t)t1t，则 h(t)在2，)上为增函数， 所以 h(t)minh(2)52，所以 y15225(x0时取等号)即 y

13、最大值为25. 答案：25 函数单调性的应用 角度一 比较函数值的大小 已知函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称，当 x2x11 时，f(x2)f(x1)(x2x1)ab bcba cacb dbac 【解析】 因为 f(x)的图象关于直线 x1 对称由此可得 f12f52.当x2x11 时， f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立， 知 f(x)在(1，)上单调递减 因为 1252f52f(e)， 所以 bac. 【答案】 d 10 / 19 利用函数的单调性比较函数值大小的方法 比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上

14、进行比较，对于选择题、填空题通常选用数形结合的方法进行求解 角度二 解函数不等式 已知函数 f(x)ln x2x，若 f(x24)2，则实数 x 的取值范围是_ 【解析】 因为函数 f(x)ln x2x在定义域(0，)上单调递增，且 f(1)ln 122，所以由 f(x24)2得，f(x24)f(1)，所以 0 x241，解得 5x2 或 2x 5. 【答案】 ( 5，2)(2， 5) 在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将符号“f”脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域 角度三 求参数的值(范围) 已知 f(x)（3a1）x4a，x1，logax，x1

15、是(，)上的减函数，则实数 a 的取值范围是( ) a(0，1) b0，13 c17，13 d17，1 【解析】 由 f(x)是减函数，得3a10，0a1，（3a1）14aloga1， 解得17a13，所以实数 a 的取值范围是17，13. 【答案】 c 利用单调性求参数的策略 (1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区11 / 19 间，与已知单调区间比较求参数； (2)若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的 注意 求分段函数的单调性时，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值 1已知函数 f(x)是定义在区间0，)上的函数，且在该区间

16、上单调递增，则满足 f(2x1)f13的 x 的取值范围是( ) a.13，23 b.13，23 c.12，23 d.12，23 解析：选 d.因为函数 f(x)是定义在区间0，)上的增函数，满足 f(2x1)f13.所以 02x113，解得12x23.故选 d. 2函数 y|2xa|在1，)上单调递增，则实数 a 的取值范围是( ) a(，1 b(，2 c(，1 d(，2 解析：选 b.因为函数 y|2xa|的单调增区间是a2， ，且函数 y|2xa|在1，)上单调递增，所以1，)a2， ，所以a21，解得 a2.故选 b. 思想方法系列 3 数形结合法求函数的值域或最值 (1)若函数 f(

17、x)2x，x1，log2x，x1，则函数 f(x)的值域是( ) a(，2) b(，2 c0，) d(，0)(0，2) (2)已知函数 f(x)是定义在 r 上的增函数，函数 yf(x1)的图象关于点(1，0)对称，若对任意的 x，yr，不等式 f(x26x21)f(y28y)3 时，x2y2的取值范围是( ) a(3，7) b(9，25) c(13，49) d(9，49) 【解析】 (1)分别画出 y2x(x1)和 ylog2x(x1)的图象，如图由图象可知，函数的值域为(，2) (2)由函数 yf(x1)的图象关于点(1，0)对称，可知函数 yf(x)的图象关于原点(0，0)对称， 即函数

18、 yf(x)为奇函数，由 f(x26x21)f(y28y)0，得 f(x26x21)f(y28y)，所以 x26x21y28y， 整理得(x3)2(y4)23 时，(x3)2(y4)20 时，f(x)3x 为减函数； 当 x0，32时，f(x)x23x为减函数， 当 x32， 时，f(x)x23x为增函数； 当 x(0，)时，f(x)1x1为增函数； 当 x(0，)时，f(x)|x|为减函数 2函数 f(x)x1x在2，13上的最大值是( ) a32 b83 c2 d2 解析：选 a.函数 f(x)x1x的导数为 f(x)11x2，则 f(x)0，则有( ) af(a)f(b)f(a)f(b)

19、 bf(a)f(b)f(a)f(b) df(a)f(b)0，所以 ab，ba.所以 f(a)f(b)，f(b)f(a)，结合选项，可知选 a. 5(多选)已知 f(x)是定义在0，)上的函数，根据下列条件，可以断定f(x)是增函数的是( ) a对任意 x0，都有 f(x1)f(x) b对任意 x1，x20，)，且 x1x2，都有 f(x1)f(x2) c对任意 x1，x20，)，且 x1x20，都有 f(x1)f(x2)0 解析：选 cd.根据题意，依次分析选项：对于选项 a，对任意 x0，都有f(x1)f(x)，不满足函数单调性的定义，不符合题意；对于选项 b，当 f(x)为常数函数时，对任

20、意 x1，x20，)，都有 f(x1)f(x2)，不是增函数，不符合题意；对于选项 c，对任意 x1，x20，)，且 x1x20，都有 f(x1)f(x2)x2，若f（x1）f（x2）x1x20，必有 f(x1)f(x2)0，则函数在0，)上为增函数，符合15 / 19 题意 6函数 f(x)|x2|x的单调递减区间是_ 解析：由于 f(x)|x2|xx22x，x2，x22x，x2.结合图象(图略)可知函数的单调递减区间是1，2 答案：1，2 7如果函数 f(x)ax22x3 在区间(，4)上单调递增，则实数 a 的取值范围是_ 解析：当 a0 时，f(x)2x3在定义域 r 上是单调递增的，

21、故在(，4)上单调递增；当 a0 时，二次函数 f(x)的对称轴为 x1a，因为 f(x)在(，4)上单调递增，所以 a0，且1a4，解得14a0. 综上，实数 a的取值范围是14，0 . 答案：14，0 8已知 yf(x)在定义域(1，1)上是减函数，且 f(1a)f(2a1)，则实数a 的取值范围为_ 解析：因为 f(x)在定义域(1，1)上是减函数，且 f(1a)f(2a1)， 所以11a1，12a12a1，解得 0a23. 答案：0，23 9求下列函数的值域 (1)f(x)x2x1，x1； (2)yx x. 解：(1)当 x1 时，01x1.因此函数f(x)的值域是(0，) 16 /

22、19 (2)yx xx1221414，所以函数 y 的值域为14， . 10已知函数 f(x)x2x. (1)写出函数 f(x)的定义域和值域； (2)证明：函数 f(x)在(0，)上为单调递减函数，并求 f(x)在 x2，8上的最大值和最小值 解：(1)函数 f(x)的定义域为x|x0又 f(x)12x，所以值域为y|y1 (2)由题意可设 0 x1x2，则 f(x1)f(x2)12x112x22x12x22（x2x1）x1x2.又 0 x10，x2x10，所以 f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数 f(x)在(0，)上为单调递减函数在 x2，8上，f(x)的最大值为 f(2)2，最小值为 f(8)54. b级 综合练 11已知符号函数 sgn x1，x0，0，x0，1，x0.f(x)是 r 上的增函数，g(x)f(x)f(ax)(a1)，则( ) asgng(x)sgn x bsgng(x)sgn x csgng(x)sgnf(x) dsgng(x)sgnf(x) 解析：选 b.因为 f(x)是 r 上的增函数，且 a1，所以当 x0时，f(x)f(ax)，即 g(x)0；当 x0 时，f(x)f(ax)，即 g(x)0；当 xf(ax)，即g(x)0.由符