高中数学选修一全书综合测评

1、1 / 21 全书综合测评 (满分:150 分;时间:120 分钟) 一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.直线3x-y-2 018=0 的倾斜角等于( ) a.6 b.3 c.4 d.不存在 2.已知向量 a=(0,1,1),b=(1,-2,1).若向量 a+b 与向量 c=(-2,m,-4)平行,则实数m 的值是( ) a.2 b.-2 c.10 d.-10 3.若 p,q 分别为直线 3x+4y-12=0 与 6x+8y+5=0 上任意一点,则|pq|的最小值为( ) a.95 b.185 c.2910

2、 d.295 4.已知点 a(2,-1,2)在平面 内,n=(3,1,2)是平面 的一个法向量,则下列各点在平面 内的是( ) a.(1,-1,1) b.(1,3,32) c.(1,-3,32) d.(-1,3,-32) 2 / 21 5.已知椭圆 c 的中心在原点,焦点 f1,f2在 x 轴上,c 上的点到左焦点 f1的距离的最大值为 6,过 f1的直线交 c 于 a,b 两点,且abf2的周长为 16,则椭圆 c 的方程为( ) a.216+212=1 b.216+24=1 c.212+24=1 d.24+22=1 6.已知圆 c:(x+2)2+(y+2)2=10,若直线 l:y=kx-2

3、 与圆交于 p、q 两点,则弦长|pq|的最小值是( ) a.5 b.4 c.25 d.26 7.已知抛物线 c:y2=8x,圆 f:(x-2)2+y2=4(点 f 为其圆心),直线 l:y=k(x-2)(k0)自上而下顺次与上述两曲线交于 m1,m2,m3,m4四点,则下列各式结果为定值的是( ) a.|m1m3|m2m4| b.|fm1|fm4| c.|m1m2|m3m4| d.|fm1|m1m2| 8.如图,已知 f1,f2是椭圆 t:22+22=1(ab0)的左、右焦点,p 是椭圆 t 上一点,且不与 x 轴重合,过 f2作f1pf2的外角的平分线的垂线,垂足为 q,则点 q 在 上运

4、动.( ) a.直线 b.圆 c.椭圆 d.抛物线 3 / 21 二、多项选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0分) 9.在正方体 abcd-a1b1c1d1中,e,f 分别是 a1d1,c1d1的中点,则下列结论正确的是( ) a.a1c1平面 cef b.b1d平面 cef c. =12 +1 - d.点 d 与点 b1到平面 cef 的距离相等 10.对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下:若两直线中至少有一条与圆相切,则称该位置关系为“平行相切”;若两直线都与圆相

5、离,则称该位置关系为“平行相离”;否则称为“平行相交”.已知直线 l1:ax+3y+6=0,l2:2x+(a+1)y+6=0 与圆c:x2+y2+2x=b2-1(b0)的位置关系是“平行相交”,则实数 b 的取值可以是( ) a.1 b.2 c.3 d.4 11.已知 p 是椭圆 e:28+24=1 上一点,f1,f2为其左、右焦点,且f1pf2的面积为 3,则下列说法正确的是( ) a.点 p 的纵坐标为 3 b.f1pf22 4 / 21 c.f1pf2的周长为 4(2+1) d.f1pf2的内切圆半径为32(2-1) 12.在平面直角坐标系中,有两个圆 c1:(x+2)2+y2=12和

6、c2:(x-2)2+y2=22,其中常数r1,r2为正数,满足 r1+r20,b0),若矩形 abcd 的四个顶点在 e 上,ab,cd 的中点分别为 e 的两个焦点,且 2|ab|=3|bc|,则 e 的离心率是 . 16.九章算术中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑 p-abc 中,pa平面 abc,acb=90,ac=4,pa=2,d 为 ab 的中点,e 为pac内的动点(含边界),且 pcde.当 e 在 ac 上时,ae= ,点 e 的轨迹的长度为 .(本题第一空 2 分,第二空 3 分) 5 / 21 四、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写

7、出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知直线 l 的斜率为-34,且直线 l 经过直线 kx-y+2k+5=0 所过的定点 p. (1)求直线 l 的方程; (2)若直线 m 平行于直线 l,且点 p 到直线 m 的距离为 3,求直线 m 的方程. 6 / 21 18.(本小题满分 12 分)求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程: (1)短轴长等于 23,离心率等于12的椭圆; (2)与椭圆216+225=1 共焦点,且过点(4,5)的双曲线. 7 / 21 19.(本小题满分 12 分)已知圆 c:(x-6)2+y2=20,直线 l:y=kx 与圆 c 交于不同的两

8、点 a,b. (1)求实数 k 的取值范围; (2)若 =2 ,求直线 l 的方程. 8 / 21 20.(本小题满分 12 分)如图所示,在长方体 abcd-a1b1c1d1中,e,f 分别是 ab,a1c 的中点,ad=aa1=2,ab=2. (1)求证:ef平面 add1a1; (2)求平面 efd 与平面 dec 的夹角的余弦值; (3)在线段 a1d1上是否存在点 m,使得 bm平面 efd?若存在,求出1m11的值;若不存在,请说明理由. 9 / 21 21.(本小题满分 12 分)已知抛物线 c:x2=2py(0pb0)的右顶点为 a,上顶点为 b,离心率 e=32,o 为坐标原

9、点,圆 o:x2+y2=45与直线 ab 相切. (1)求椭圆 c 的标准方程; (2)已知四边形 abcd 内接于椭圆 e,abdc.记直线 ac,bd 的斜率分别为 k1,k2,试问 k1k2是不是定值?证明你的结论. 11 / 21 答案全解全析答案全解全析 一、单项选择题 1.b 直线3x-y-2 018=0 化为 y=3x-2 018,则直线的斜率为3,所以直线的倾斜角等于3.故选 b. 2.a a+b=(1,-1,2), 由(a+b)c得-21=-1=-42,解得 m=2,故选 a. 3.c 因为直线 3x+4y-12=0 与直线 6x+8y+5=0 平行,所以|pq|的最小值就是

10、两直线间的距离,即 d=|-24-5|62+82=2910,故选 c. 4.b 设平面 内的一点为 p(x,y,z)(不与点 a 重合),则 =(x-2,y+1,z-2),n是平面 的一个法向量, n,3(x-2)+(y+1)+2(z-2)=0,即 3x+y+2z=9. 将选项代入检验知 b 正确,故选 b. 5.a 设椭圆的标准方程为22+22=1(ab0).依题意得,a+c=6,且 4a=16,a=4,c=2,b2=a2-c2=16-4=12,故选 a. 6.d 由题意得,直线 y=kx-2 过定点(0,-2),设为 a,要想弦长|pq|最短,则点 a 应为弦 pq 的中点,易知圆 c:(

11、x+2)2+(y+2)2=10 的圆心坐标为(-2,-2),半径 r=10, 则点 a 到圆心的距离 d=(0 + 2)2+ (-2 + 2)2=2, 由圆的弦长公式,可得|pq|=22-2=210-22=26,即弦长|pq|的最小值为 26,故选 d. 7.c 设 m1,m2,m3,m4四点的横坐标分别为 x1,x2,x3,x4, 12 / 21 由题意知 y2=8x 的焦点坐标与圆 f 的圆心(2,0)相同,准线 l0:x=-2. 由定义得|m1f|=x1+2, 又|m1f|=|m1m2|+2, |m1m2|=x1,同理,|m3m4|=x4, 将 y=k(x-2)代入抛物线方程,得 k2x

12、2-(4k2+8)x+4k2=0, x1x4=4,|m1m2|m3m4|=4,故选 c. 8.b 作 f2q 与 f1p 的延长线交于点 m,连接 oq.因为 pq 是f1pf2的外角的平分线,且 pqf2m,所以在pf2m 中,|pf2|=|pm|,且 q 为线段 f2m 的中点.又 o 为线段 f1f2的中点,由三角形的中位线定理,得|oq|=12|f1m|=12(|pf1|+|pf2|).由椭圆的定义,得|pf1|+|pf2|=2a,所以|oq|=a,所以点 q 在以原点为圆心,a 为半径的圆上运动. 二、多项选择题 9.ac 建立空间直角坐标系,如图所示,设 ab=2,平面 cef 的

13、法向量为 n=(x,y,z). e,f分别是 a1d1,c1d1的中点,efa1c1, 又 ef平面 cef,a1c1平面 cef,a1c1平面 cef,故选项 a 正确; c(0,2,0),e(1,0,2),f(0,1,2),b1(2,2,2),d(0,0,0). 13 / 21 1 =(2,2,2), =(-1,1,0), =(0,-1,2), ef = 0,cf = 0,即- + = 0,- + 2 = 0, 令 x=2,则 = 2, = 1,n=(2,2,1), 1 =(2,2,2),1 与 n 不平行, b1d 不垂直于平面 cef,故选项 b 错误; = +1 +1e = +1 +

14、1211 =12 +1 - ,故选项 c 正确; =(0,2,0),设点 d 到平面 cef 的距离为 d1, 则 d1=|dc |=44+4+1=43, 1c =(-2,0,-2),设 b1到平面 cef 的距离为 d2, 则 d2=|b1c |=|-4+0-2|3=243,故选项 d 错误.故选 ac. 10.bcd 由已知得直线 l1:ax+3y+6=0 与 l2:2x+(a+1)y+6=0 平行,a (a+1)=3 2,解得 a=2 或 a=-3, 当 a=2 时,两直线方程相同,两直线重合,不合题意,当 a=-3 时,检验符合题意,a=-3. 此时两直线方程分别为 x-y-2=0,x

15、-y+3=0, 将 x2+y2+2x=b2-1(b0)配方整理得(x+1)2+y2=b2,圆心坐标为(-1,0),半径为 b. 当两条平行直线与圆“平行相切”时,b=|-1-0-2|2=322或 b=|-1-0+3|2=2, 当两条平行直线与圆“平行相离”时,b322且 b2,即 b2且 b322,故选 bcd. 11.cd 由28+24=1 得,a2=8,b2=4,c2=4. 设 p(x,y),则1p2=12|f1f2|y|=124|y|=3,解得|y|=32,选项 a 错误; 设椭圆的上顶点为 b, b=c=2,f1pf2f1bf2=2,选项 b 错误; f1pf2的周长为 2a+2c=4

16、2+4,选项 c 正确; 设f1pf2的内切圆半径为 r, 则1p2=12|f1p|r+12|f2p|r+12|f1f2|r =12(|f1p|+|f2p|+|f1f2|)r=124(2+1)r=3,解得 r=32(2-1),选项 d 正确.故选cd. 12.bc 由题意得,圆 c1的圆心为 c1(-2,0),半径为 r1,圆 c2的圆心为 c2(2,0),半径为 r2,所以|c1c2|=4,设动圆 p 的半径为 r. 当 r1+r24 时,两圆相离,动圆 p 可能与两圆均内切或均外切或一个内切,一个外切. 若均内切,则|pc1|=r-r1,|pc2|=r-r2,此时|pc1|-|pc2|=|

17、r1-r2|, 当 r1r2时,点 p 的轨迹是以 c1,c2为焦点的双曲线, 当 r1=r2时,点 p 在线段 c1c2的垂直平分线上. 若均外切,则|pc1|=r+r1,|pc2|=r+r2,此时|pc1|-|pc2|=|r1-r2|,则点 p 的轨迹与相同. 若一个外切,一个内切,不妨设与圆 c1内切,与圆 c2外切,则|pc1|=r-r1,|pc2|=r+r2,|pc2|-|pc1|=r1+r2.同理,当与圆 c2内切,与圆 c1外切时,|pc1|-|pc2|=r1+r2. 此时点 p 的轨迹是以 c1,c2为焦点的双曲线,与中双曲线不一样.故选 bc. 15 / 21 三、填空题 1

18、3.答案 (-2,1,-2) 解析 依题意设 b=a=(2,-,2)(r),所以 ab=4+4=-9,解得=-1.故 b=(-2,1,-2). 14.答案 2x-4y+3=0 解析 圆的方程可化为(x-1)2+y2=2,可知圆心为 c(1,0). 设 a(12,1),则以 a 为中点的弦所在的直线 l 即为经过点 a 且垂直于 ac 的直线.又知 kac=0-11-12=-2,所以 kl=12,所以直线 l 的方程为 y-1=12(-12),即 2x-4y+3=0. 15.答案 2 解析 由题意不妨设|ab|=3,则|bc|=2.设 ab,cd 的中点分别为 m,n,则在 rtbmn中,|mn

19、|=2c=2,故|bn|=|2+ |mn|2=(32)2+ 22=52.由双曲线的定义可得2a=|bn|-|bm|=52-32=1,所以双曲线 e 的离心率 e=2. 16.答案 2;255 解析 建立空间直角坐标系,如图所示. 设 cb=2m,则 p(0,0,2),c(0,4,0),d(m,2,0). 当 e 在 ac 上时,设 e(0,t,0)(0t4),则 =(-m,t-2,0), 又 =(0,4,-2),所以由 pcde,可得 =0,即 4(t-2)=0,解得 t=2,因此 ae=2,此时 e 为 ac 的中点,可得 e(0,2,0). 16 / 21 当 e 在 ac 的中点时,作

20、eepc 于点 e,由 pcde,pcee,deee=e,得 pc平面 dee,所以点 e 在pac 内的轨迹为线段 ee,因此求出 ee的长度即可. 解法一:设 = =(0,4,-2),则 e(0,4,2-2),所以 =(0,4-2,2-2),由 得,4(4-2)-2(2-2)=0,解得 =35,所以 e(0,125,45),所以|ee|=(125-2)2+ (45)2=255. 解法二:过点 a 作 afpc,则|ee|=12|af|. 又|af|=|=2422+42=455,所以|ee|=255. 四、解答题 17.解析 (1)kx-y+2k+5=0 整理得 k(x+2)+(5-y)=0

21、,所以直线 kx-y+2k+5=0 过定点 p(-2,5),(2 分) 因此 l:y-5=-34(x+2),即 3x+4y-14=0.(5 分) (2)设直线 m 的方程为 y=-34x+b,b72,则 3=|34(-2)+5-b|916+1,解得 b=-14或 b=294.(8 分) 直线 m 的方程为 y=-34x-14或 y=-34x+294.(10 分) 18.解析 (1)由题意可知,短半轴长 b=3,离心率 e=12,(2 分) 因为 a2=b2+c2,所以 a=2.(5 分) 若焦点在 x 轴上,则椭圆的标准方程为24+23=1;(6 分) 若焦点在 y 轴上,则椭圆的标准方程为2

22、4+23=1.(7 分) (2)由椭圆216+225=1 的焦点为(0,3),可设双曲线方程为2-29-=1(0m9),(8 分) 将点(4,5)代入可得25-169-=1(0m0,k的取值范围为-52k52.(4 分) (2) =2 ,a 为线段 ob 的中点,设 a(x1,y1),则 b(2x1,2y1),(x1-6)2+12=20,(2x1-6)2+412=20, 由可得 x1=2,y1=2 或 x1=2,y1=-2, 直线 l 的方程为 y=x.(12 分) 20.解析 (1)证明:连接 ad1,a1d,交于点 o,所以点 o 是 a1d 的中点,连接 fo. 因为 f 是 a1c 的中点, 所以 ofcd,of=12cd. 因为 aecd,ae=12cd, 所以 ofae,of=ae. 所以四边形 aefo 是平行四边形. 所以 efao. 因为 ef平面 add1a1,ao平面 add1a1, 所以 ef