选择性必修第一册第三章 再练一课(范围：§3.1)

1、1 / 6 再练一课再练一课(范围：范围： 3.1) 1若点 a(a，1)在椭圆x24y221的内部，则 a的取值范围是( ) a 2a 2 ba 2 c2a2 d1a1 答案 a 解析 由题意知a24121， 解得 2a 2. 2若椭圆的焦距与短轴长相等，则此椭圆的离心率为( ) a.15 b.55 c.12 d.22 答案 d 解析 依题意，2c2b， 所以 bc，所以 a2b2c22c2， 所以 e212，又 0e1， 所以 e22. 3焦点在 x 轴上，短轴长为 8，离心率为35的椭圆的标准方程是( ) a.x2100y2361 b.x2100y2641 c.x225y2161 d.x

2、225y291 答案 c 解析 由题意，知 2b8，得 b4，所以 b2a2c216.又 eca35， 解得 c3，a5.又焦点在 x 轴上，故椭圆的标准方程为x225y2161. 4已知 f1，f2是椭圆的两个焦点，满足mf1 mf20 的点 m 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( ) 2 / 6 a(0,1) b.0，12 c.0，22 d.22，1 答案 c 解析 mf1 mf20，mf1mf2， 点 m 在以 f1f2为直径的圆上， 又点 m 总在椭圆的内部， cb，c2b2a2c2，即 2c2a2， c2a212，即ca22. 又 0e1，0eb0)的左、右焦点分别为 f1，f

3、2，线段 f1f2被点b2，0 分成 53 的两段，则此椭圆的离心率为( ) a.1617 b.4 1717 c.45 d.2 55 答案 d 解析 依题意得cb2cb253，所以 c2b， 所以 a b2c2 5b， 所以 eca2b5b2 55. 6已知椭圆x2m2y291(m0)的左焦点为 f1(4,0)，则它的离心率为_ 答案 45 解析 由题意，得 m294225，因为 m0，所以 m5，所以椭圆的离心率为45. 7已知椭圆的焦点在 y 轴上，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为 8，焦距为 2 15，则此椭圆的标准方程为_ 答案 y216x21 解析 由题意，知 2a8,2c2 15

4、，所以 a4，c 15，所以 b2a2c216151. 又椭圆的焦点在 y轴上，所以椭圆的标准方程为y216x21. 3 / 6 8在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆 c：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，直线 yx 被椭圆c截得的线段长为4 105，则椭圆 c 的方程为_ 答案 x24y21 解析 由题意知a2b2a32， 可得 a24b2. 椭圆 c的方程可化简为 x24y2a2. 将 yx 代入可得 x5a5， 因此 22 5a54 105，可得 a2. 因此 b1. 所以椭圆 c的方程为x24y21. 9求满足下列条件的椭圆的标准方程 (1)焦点在 y轴上，焦距是 4，且经过

5、点 m(3,2)； (2)离心率为513，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为 26. 解 (1)由焦距是 4 可得 c2，又焦点在 y 轴上，则焦点坐标为(0，2)，(0,2) 由椭圆的定义，知 2a 32(22)2 32(22)28， 所以 a4，所以 b2a2c216412. 所以椭圆的标准方程为y216x2121. (2)由题意，知 2a26，即 a13， 又 eca513，所以 c5， 所以 b2a2c213252144， 因为焦点所在的坐标轴不确定， 所以椭圆的标准方程为x2169y21441或y2169x21441. 10已知椭圆 c：x2a2y2b21(ab0)的离心率 e22，焦

6、距为 2. (1)求椭圆 c 的方程； (2)已知椭圆 c 与直线 xym0 相交于不同的两点 m，n，且线段 mn 的中点不在圆 x2y21内，求实数 m 的取值范围 4 / 6 解 (1)由题意知 eca22，2c2，解得 a 2，c1，又 a2b2c2，所以 a22，b21. 故椭圆的方程为x22y21. (2)联立 xym0，x22y21， 消去 y 可得 3x24mx2m220. 则 16m212(2m22)0 3m 3. 设 m(x1，y1)，n(x2，y2)，则 x1x24m3， 则 y1y22m3. 所以 mn的中点坐标为2m3，m3， 因为 mn的中点不在圆 x2y21 内，

7、 所以2m32m321m3 55或 m3 55， 综上，可知 32，所以 m2n24， 所以点 p(m，n)是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点， 5 / 6 所以点 p(m，n)在椭圆x29y241内， 则过点 p(m，n)的直线与椭圆x29y241 有 2 个交点 故选 a. 13设 f1，f2为椭圆x24y21 的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于 p，q 两点，当四边形 pf1qf2的面积最大时，则pf1 pf2的值等于( ) a0 b2 c4 d2 答案 d 解析 由题意得 c a2b2 3， 又1 2122pf fpfqfss边四形212|f1f2| h(h 为 f1f2边

8、上的高)， 所以当 hb1 时，12pfqfs边四形取最大值，此时f1pf2120 . 所以pf1 pf2|pf1| |pf2| cos 120 22122. 14已知椭圆x24y2b21(0b2)的左、右焦点分别为 f1，f2，过 f1的直线 l 交椭圆于 a，b两点，若|bf2|af2|的最大值为 5，则 b 的值是_ 答案 3 解析 由题意知 a2，所以|bf2|af2|ab|4a8， 因为|bf2|af2|的最大值为 5，所以 ab 的最小值为 3， 当且仅当 abx轴时，取得最小值，此时 ac，32，bc，32， 代入椭圆方程得c2494b21， 又 c2a2b24b2，所以4b24

9、94b21，即 1b2494b21，所以b2494b2，解得 b23， 所以 b 3. 15椭圆 mx2ny21 与直线 y1x 交于 m，n 两点，过原点与线段 mn 中点所在直线的斜率为22，则mn的值是_ 答案 22 解析 由 mx2ny21，y1x消去 y 得， 6 / 6 (mn)x22nxn10. 设 m(x1，y1)，n (x2，y2)，mn的中点为(x0，y0)， 则 x1x22nmn， 所以 x0nmn， 代入 y1x得 y0mmn. 由题意知y0 x022，所以mn22. 16已知椭圆 c：x23y21. (1)求椭圆 c 的离心率； (2)已知定点 e(1,0)，若直线 ykx2(k0)与椭圆交于 a，b 两点，则是否存在实数 k，使得以 ab为直径的圆过点 e？若存在，求出 k的值；若不存在，请说明理由 解 (1)由题意，知 a23，b21，则 a 3，c a2b2 2， 所以椭圆 c的离心率为ca2363. (2)假设存在实数 k 满足条件， 由 ykx2，x23y21得(13k2)x212kx90， 所以 (12k)236(13k2)0，即 k1或 k1. 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 x1x212k13k2，x1 x2913k2， 而 y1 y2