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1、精选优质文档-倾情为你奉上八年级数学上册复习提纲第11章 数的开方§11.1平方根与立方根一、平方根1、平方根的定义:如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根。(也叫做二次方根)即:若x2=a,则x叫做a的平方根。2、平方根的性质:(1)一个正数有两个平方根。它们互为相反数;(2)零的平方根是零;(3)负数没有平方根。二、算术平方根1、算术平方根的定义:正数a的正的平方根,叫做a的算术平方根。2、算术平方根的性质:(1)一个正数的算术平方根只有一个且为正;(2)零的算术平方根是零;(3)负数没有算术平方根;(4)算术平方根的非负性:0。三、平方根和算术平方根是记号:平方根&#

2、177;(读作:正负根号a);算术平方根(读作根号a)即:“±”表示a的平方根,或者表示求a的平方根;“”表示a的算术平方根,或者表示求a的算术平方根。其中a叫做被开方数。负数没有平方根,被开方数a必须为非负数,即:a0。四、开平方:求一个非负数的平方根的运算,叫做开平方。其实质就是:已知指数和二次幂求底数的运算。五、立方根1、立方根的定义:如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根。(也叫做三次方根)即:若x3=a,则x叫做a的立方根。2、立方根的性质:(1)一个正数的立方根为正;(2)一个负数的立方根为负;(3)零的立方根是零。3、立方根的记号:(读作:三次根号a),a称为

3、被开方数,“3”称为根指数。中的被开方数a的取值范围是:a为全体实数。六、开立方:求一个数的立方根的运算,叫做开立方。其实质就是:已知指数和三次幂求底数的运算。七、注意事项:1、“±”、“”、“”的实质意义:“±”问:哪个数的平方是a;“”问:哪个非负数的平方是a;“”问:哪个数的立方是a。2、注意和中的a的取值范围的应用。如:若有意义,则x取值范围是 。(x-30,x3)(填:x3) 若有意义,则x取值范围是 。(填:全体实数)3、。如:,4、对于几个算数平方根比较大小,被开方数越大,其算数平方根的值也越大。如:等。2和3怎么比较大小?(你知道吗?不知道就问!)5、算数平

4、方根取值范围的确定方法:关键:找邻近的“完全平方数的算数平方根”作参照。如:确定的取值范围。,23。6、几个常见的算数平方根的值:,。八、补充的二次根式的部分内容 1、二次根式的定义:形如(a0)的式子,叫做二次根式。2、二次根式的性质:(1)(a0,b0);(2) (a0,b0);(3) (a0); (4) 3、二次根式的乘除法:(1)乘法:(a0,b0);(2)除法:(a0,b0)§11.2实数与数轴一、无理数1、无理数定义:无限不循环小数叫做无理数。2、常见的无理数:(1)开方开不尽的数。如:,等。(2)“”类的数。如:,等。(3)无限不循环小数。如:2.,-0.4,等二、实数

5、1、实数定义:有理数与无理数统称为实数。2、与实数有关的概念:(1)相反数:实数a的相反数为-a。若实数a、b互为相反数,则a+b=0。(2)倒 数:非零实数a的倒数为(a0)。若实数a、b互为倒数,则ab=1。(3)绝对值:实数a的绝对值为:3、实数的运算:有理数的所有运算法则及运算律均适用于实数的运算。4、实数的分类:(1)按照正负性分为:正实数、零、负实数三类。(2)按照定义分为: 5、几个“非负数”:(1)a20;(2)|a|0;(3)0。6、实数与数轴上的点是一一对应关系。第12章 整式的乘除§12.1幂的运算一、同底数幂的乘法1、法则:am·an·ap

6、·=am+n+p+(m、n、p均为正整数) 文字:同底数幂相乘,底数不变,指数相加。2、注意事项:(1)a可以是实数,也可以是代数式等。如:2·3·4=2+3+4=9;(-2)2·(-2)3=(-2)2+3=(-2)5=-25;()3·()4=()3+4=()7;(a+b)3·(a+b)4·(a+b)= (a+b)3+4+1=(a+b)8(2)一定要“同底数幂”“相乘”时,才能把指数相加。(3)如果是二次根式或者整式作为底数时,要添加括号。二、幂的乘方1、法则:(am)n=amn(m、n均为正整数)。推广:(am)nps=a

7、mn p s 文字:幂的乘方,底数不变,指数相乘。2、注意事项:(1)a可以是实数,也可以是代数式等。如:(2)3=2×3=6;()34=()3×4=()12;(a-b)24= (a-b)2×4=(a-b)8(2)运用时注意符号的变化。(3)注意该法则的逆应用,即:amn= (am)n,如:a15= (a3)5= (a5)3三、积的乘方1、法则:(ab)n=anbn(n为正整数)。推广:(acde)n=ancndnen 文字:积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方,再把所得的幂相乘。2、注意事项:(1)a、b可以是实数,也可以是代数式等。如:(2)3=222=42

8、;(×)2=()2×()2=2×3=6;(-2abc)3=(-2)3a3b3c3=-8a3b3c3;(a+b)(a-b)2=(a+b)2(a-b)2(2)运用时注意符号的变化。(3)注意该法则的逆应用,即:anbn =(ab)n;如:23×33= (2×3)3=63,(x+y)2(x-y)2=(x+y)(x-y)2四、同底数幂的除法1、法则:am÷an=am-n(m、n均为正整数,mn,a0) 文字:同底数幂相除,底数不变,指数相减。2、注意事项:(1)a可以是实数,也可以是代数式等。如:4÷3=4-3=;(-2)5

9、7;(-2)3=(-2)5-3=(-2)2=4;()6÷()4=()6-4=()2=2;(a+b)16÷(a+b)14= (a+b)16-14=(a+b)2=a2+2ab +b2(2)注意a0这个条件。(3)注意该法则的逆应用,即:am-n = am÷an;如:a x-y= ax÷ay,(x+y)2a-3=(x+y)2a÷(x+y)3§12.2 整式的乘法一、单项式与单项式相乘法则:单项式与单项式相乘,只要将它们的系数与系数相乘,相同字母的幂相乘,多余的字母照搬到最后结果中。如:(-5a2b2)·(-4 b2c)·

10、(-ab)=(-5)×(-4)×(-)·(a2·a)·(b2·b2)·c =-30a3b4c二、单项式与多项式相乘法则:(乘法分配律)只要将单项式分别去乘以多项式的每一项,再将所得的积相加。如:(-3x2)·(-x2)+(-3x2)·2 x一(-3x2)·1=三、多项式与多项式相乘法则:(1)将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再将所得的积相加。如:(m+n)(a+b)= ma+mb+na+nb (2)把其中一个多项式看成一个整体(单项式),去乘以另一个多项式的每一项,再按照单项

11、式与多项式相乘的法则继续相乘,最后将所得的积相加。如:(m+n)(a+b)= (m+ n)a+( m +n)b= ma+ na+mb+nb§12.3 乘法公式一、两数和乘以这两数的差1、公式:(a+b)(a-b)=a2-b2;名称:平方差公式。2、注意事项:(1)a、b可以是实数,也可以是代数式等。如:(10+9)(10-9)=102-92=100-81=19;(2xy+a)(2xy-a)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2;(a+b+)( a+b -)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2;(2)注意公式中的第一项、第二项各自相同,中间是“异号”的情况,才能用平方差公式。(3

12、)注意公式的来源还是“多项式×多项式”。二、完全平方公式1、公式:(a±b)2=a2±2a b+b2;名称:完全平方公式。2、注意事项:(1)a、b可以是实数,也可以是代数式等。如:(+3)2=()2+2××3+32=2+6+9=11+6;(mn-a) 2=(mn)2-2mn·a+ a2= m2n2-2mna+ a2;( a+b -)2=( a+b)2-2( a+b)+2= a2+2a b+b2-2a-b +2;(2)注意公式运用时的对位“套用”;(3)注意公式中“中间的乘积项的符号”。3、补充公式:(a+ b+ c)2=a2+c2+

13、b2+2a b+2bc+2ca特别提醒:利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序”是:“一看二套三计算”。§12.4 整式的除法一、单项式除以单项式法则:单项式相除,只要将它们的系数与系数相除,相同字母的幂相除,只在被除式中出现的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式。如:-21a2b3c÷3ab=(-21÷3)·a2-1·b3-1·c =-7ab2c(2x2y)3·(-7xy2)÷14x4y3 =8x6y3·(-7xy2)÷14x4y3=8×(-7)·x6+1y3+2&

14、#247;14x4y3 =(-56÷14)·x7-4·y5-3=-4x3y25(2a+b)4÷(2a+b)2=(5÷1)(2a+b)4-2=5(2a+bz2=5(4a2+4ab+b2)=20a2+20ab+5b2二、多项式除以单项式法则:(乘法分配律)只要将多项式的每一项分别去除以单项式,再将所得的商相加。如:(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y)=21x4y3÷(-7x2y)-35x3y2÷(-7x2y)+ 7x2y2÷(-7x2y)=-3x2y2+5xy-y4y(2x-y)-2x(

15、2x-y)÷(2x-y)= 4y(2x-y)÷(2x-y)-2x(2x-y)÷(2x-y)=4y-2x整式的运算顺序:先乘方(开方),再乘除,最后加减,括号优先。§12.5 因式分解一、因式分解的定义:把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做因式分解。(分解因式)因式分解与整式乘法互为逆运算二、提取公因式法:把一个多项式的公因式提取出来,使多项式化为两个因式的积,这种分解因式的方法叫做提公因式法。公因式定义:多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因式。具体步骤:(1)“看”。观察各项是否有公因式;(2)“隔”。把每项的公因式“隔离”出来;(3)“提”。按

16、照乘法分配律的逆运用把公因式提出来,使多项式化为两个因式的积。(a-b) 2n=(b-a) 2n(n为正整数);(a-b) 2n+1=-(b-a) 2n+1(n为正整数);如:8a2b-4ab+2a=2a·4ab-2a·2b+2a·1=2a(4ab-2b+1);-5 a2+25 a=-5 a·a+5a·5=-5 a(a+5)(注意:凡给出的多项式的“首项为负”时,要连同“-”号与公因式一并提出来。)三、公式法:利用乘法公式进行因式分解的方法,叫做公式法。1、平方差公式: a2-b2=(a+b)(a-b);名称:平方差公式。注意事项:(1)a、b

17、可以是实数,也可以是代数式等。如:102-92 =(10+9)(10-9)=19×1=19;4 x2y2-a2=(2xy)2-a2=(2xy+a)(2xy-a);(2)注意公式中的第一项、第二项各自相同,中间是“异号”的情况,才能用平方差公式。(3)注意公式的结构好形式,运用时一定要判断准确。2、完全平方公式:(a±b)2=a2±2a b+b2;名称:完全平方公式。注意事项:(1)a、b可以是实数,也可以是代数式等。如:m2n2-2mna+ a2=(mn)2-2mn·a+ a2=(mn-a)2;x2+4xy+y2=x2+2·x·2y+

18、(2y)2=( x+2 y)2(2)注意公式运用时的对位“套用”;(3)注意公式中“中间的乘积项的符号”。四、补充分解法:1、公式:x2+(a+b)x+ab=(x+a)( x+b)。如:x2+5x+6= x2+(2+3)x+2×3=(x+2)( x+3);x2+5x-6=x2+6+(-1)x+6×(-1)=(x+6)( x-1)2、“十字相乘法”如:=(x+2)( x+7) =(x+2)( x-4) 1 2 1 2 1 7 1 -4 2 + 7=9 2 + (-4)=-2五、综合1、注意利用乘法公式进行因式分解时注意“思维顺序”是:“一看二套三分解”。2、遇到因式分解的题目

19、时,其整体的思维顺序是:(1)看首项是否为“一”,若为“一”,就要注意提负号;(2)看各项是否有公因式,若有公因式,应该首先把公因式提取出来再说;(3)没有公因式时,就要考虑用乘法公式进行因式分解或者“十字相乘法”。3、注意事项:(1)注意(a-b)与(b-a)的关系是互为相反数;(2)因式分解要彻底,不要只提出公因式就完,还要看剩下的因式是否可以继续分解;(3)现阶段的因式分解的题目,一般都要求在有理数范围内分解,所以不能出现带根号的数;(4)注意“十字相乘法”只适用于“二次三项式型”因式分解,不要乱用此法。第13章全等三角形 命题 定义:可以判断真假的陈述句叫命题,正确的命题叫真命题,错误

20、的命题叫假命题;一个命题分题设和结论两部分。 公理:有些命题的正确性是人们在长期实践过程中总结出来的,并把他作为判断其他命题真假的原始依据,这样的真命题叫公理。 定理:从公理或其他真命题出发,用逻辑推理的方法证明它们是正确的,并可以作为判断其他命题真假的依据,这样的命题叫定理。 互逆命题:两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题结论是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个命题就叫做逆命题。 互逆定理:如果一个定理的逆命题也是定理,那么这两个定理叫做互逆定理,其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。 五种基本尺规作图1.等腰三角形的

21、判定: 如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形所对的边也相等; 如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和,那么这个三角形是直角三角形。 性质:角平分线上的点到角两边的距离相等2.角平分线:判定:到一个角两边距离相等的点在角平分线上 3.垂直平分线: 性质:线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 判定:到线段两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。 1.全等形: 能够完全重合的两个图形叫做全等形。 2.全等三角形: 定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 表示方法: ABC DEF 全等三角形的性质: 全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等 3.三角形全

22、等的判定:No.1 边边边 (SAS) :三边对应相等的两个三角形全等。No.2 边脚边(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。No.3 角边角(ASA):两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等。No.4 角角边(AAS):两个角和其中的一个叫的对边对应相等的两个三角形全等。No.5 斜边,直角边 (HL):斜边和直角边对应相等的两个三角形全等。 第14章 勾股定理§14.1勾股定理一、直角三角形三边的关系ACBcab1、勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。几何语言:如图,在RtABC中,C=90o,A、B、C所对的边分别是a、b、c则有:a2+b2=c2。2、勾股定理的证明反映了一种常用数学思想:“面积拼图法”。3、注意事项:(1)勾股定理必须在Rt使用,若遇到非Rt,则可引垂线段“造”Rt。(2)注意Rt中告诉的“直角”是哪个,以便准确确定“斜边”。(3)在运用勾股定理求边长时,要用到“开平方”运算,一定要指明“边长为正”的条件,求的是边长的算数平方根。二、Rt的判定1、直角三角形的定义:有一个角为直角的三角形叫做直角三角形。2、有两个锐角互余的三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理:若ABC的三边a、b、c满足a2+b2=c2,则C=90o。“勾股数”:指三

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