浅谈极值点偏移问题

1、    浅谈极值点偏移问题    陈俊艺g633.6 a 2095-3089（2018）27-0131-02在翻阅近几年的高考试卷中，发现以极值点偏移为背景的试题，时有出现。通过阅读一些参考文献，笔者深受启发，这里给出处理此类问题的一种突破策略。1.知识准备极值点偏移：若可导函数在处取得极值，且函数与直线交于，两点，则的中点为，若则称极值点左偏，若则称极值点右偏。2.真题再现（2016年全国i卷）已知函数有两个零点.（1）求的取值范围；（2）设是的两个零点，证明：.分析：（1）求函数的导数，并对参数进行分类讨论，分别研究函数的单调性、极值、最值，根据有两

2、个零点，从而得到参数的取值范围.（2）证明：要证明即要证明，是极值点右偏的问题，现给出本题的解答.解：不妨设，由（1）知，在上单调递增令，则，在上递增所以，即，所以，故，即.点评：要证明等价于，即.所以想到构造函数3.突破策略通过上面的解答，下面给出解决极值点偏移问题的一种策略：（1）求出函数的极值点；（2）构造函数；（3）研究函数的单调性；（4）结合判断的符号，从而确定与的大小关系.下面再结合一些题目，加深对这种策略的理解。4.牛刀小试例1（2013湖南文）已知函数，证明：当时，解：易求出在上单调递增，在上单调递减.当时，不妨设，由函数单调性知。构造函数令，当时，单调递减，从而，又所以即。而

3、，所以，又，从而.由于，且在上单调递增，所以，即证点评：这边构造函数主要目的是通过，判断的符号，从而较与的大小。又所以只需要考虑的符号。例2.（2010天津理）已知函数 ，如果，且 ，证明：解：，所以在上单调递增，在上单调递减，函数在处取得极大值，且，如图所示.由，不妨设，则必有，构造函数则，所以在上单调递增， 故由，则，所以所以，即例3. （2015年苏锡常镇（二模）已知函数，其导数记为（为自然对数的底数）（1）求函数的极大值；（2）解方程；（3）若存在实数使得，求证：解：（1）函数的定义域为，当时，单调递增，当时，单调递减。则（2）.若，显然满足上式.若，方程等价于，故，显然当时，令，故在

4、上单调递增，而，故当时原方程有唯一根.综上，原方程的解为x=0或x=1（3）证明：不妨设，由（1）知，在上单调递减令，则，在上递增所以，即，又当时单调递减所以，故，即点评：（3）问欲证，只需证明，也就是极值点左偏的问题。例4.（苏州市2017届高三调研数学试卷）已知函数.（）若，且，证明：.分析：令，则要证明转化为证明，也就是极值点右偏问题解：令，则，要证明只需证把代入得 ，当时，单调递减，当时，单调递增则令，则，在上递增所以，即，又当时单调递增所以，故，即点评：本题是在原有的两个变量的基礎上，运用换元法，从而转化成极值点偏移问题去解决.5.解题感悟这类以极值点偏移为背景的题目，很好地考查了学生的方程与函数，数形结合，转化和化归思想。对学生的能力要求比较高。通过对相关题目的解答方法的探究，归纳总结出解决问题的通性通法。可以帮助学生加深对题目本质的理解，提高解题能力。参考文献：1刑友宝.极值点偏移问题的处理策略j.中学数学教学参考（上