高等数学课件：11-6多元函数微分学的应用

1、 第十一十一章 第六节多元函数微分学的应用1.1.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面2. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线过点过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在与切线垂直的平面称为曲线在极限位置极限位置. T空间光滑曲线空间光滑曲线 在点在点 M 处的处的切线切线为此点处割线的为此点处割线的该点的该点的法平面法平面.1.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 M(1) 曲线方程为参数方程的情形曲线方程为参数方程的情形)( )()()(: ttztytx ,)(, )(, )(0可可导导都都在在当当tttt) )(, )(, )()(0000ttttr 上点上点 处的切线的

2、方向向量处的切线的方向向量 ),(000zyxM).(, )(, )(000000tztytx 其中其中 MT000zzyyxx )(0t )(0t )(0t 上点上点 处的切线方程处的切线方程 ),(000zyxM)(, )(, )(000ttt 称为称为曲线曲线的切向量的切向量不全为不全为0, )(, )(, )(tttT )(00 xxt )( )(00yyt 0)(00 zzt法平面方程法平面方程 o)(trTM注注. )()(xzxy若光滑曲线若光滑曲线表示为：表示为： )()(xzxyxx切线方程：切线方程：000zzyyxx 1)(0 x )(0 x 法平面方程：法平面方程：)(

3、0 xx )( )(00yyx 0)(00 zzx )(),(, 100 xxT ： 0),(0),(zyxGzyxF )()(xzxyxx 有有由由,0)(),(,(0)(),(,( xxxGxxxF 0)()(0)()(xGxGGxFxFFzyxzyx (2) 曲线方程为一般方程的情形曲线方程为一般方程的情形)0),(),( zyGFJ若若 )(),(, 100 xxT xzyxzyGxGxGFxFxF-)()(-)()(MxyxyzxzxGGFFJGGFFJ1,1, 1,1MyxyxxzxzzyzyGGFFGGFFGGFFJ .zyzyGGFFJ 000zzyyxx 切线方程：切线方程：

4、MzyGF),(),( MxzGF),(),( MyxGF),(),( 或或 MMMyxGFxzGFzyGFT),(),(,),(),(,),(),(xyz法平面方程为：法平面方程为：. 0)()()(000 zzGGFFyyGGFFxxGGFFMyxyxMxzxzMzyzy求曲线求曲线: tuuduex0cos tysin2 tcos , tez31 在在0 t处的切线和法平面方程处的切线和法平面方程. 解解当当0 t时，时， , 2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty ,33tez )3, 2, 1( 切线方程切线方程:,322110 zyx法平面方程法平面方程:,

5、 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即)2, 1, 0(M切切点点：0),( tzyxT切切向向量量：例例1求空间曲线的切线（或求空间曲线的切线（或法平面）：法平面）：一求切点；二求切向量一求切点；二求切向量.切线方程切线方程:,322110 zyx法平面方程法平面方程:, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即解解例例2., 42,32求求出出此此切切线线方方程程此此点点的的切切线线平平行行于于平平面面使使上上求求一一点点在在曲曲线线 zyxtztytx, ,1,1 ,2,1,03122112 tt,2t23t,nT ,0 nT T曲曲线线切切向向量量 n平平面面的

6、的法法线线向向量量解解得得,1 t)1,1 ,1( 对对应应的的点点为为切切向向量量分分别别为为3,2,1 故故切切线线方方程程为为111 zyx,31 t).271,91,31( 及及,31,32,1 及及2719131 zyx及及3 2 1 31 32 1 ,1 T,2 t23t, tx ,2ty .3tz 例例3 求曲线求曲线0,6222 zyxzyx在点在点M ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程处的切线方程与法平面方程. MzyGF),(),( 解法解法1,222zyxGzyxF 令令则则切向量切向量;0),(),( MxzGFMzy1122 Mzy)(2 ;6 6),(),

7、( MyxGF)6,0, 6( xyz MMMyxGFxzGFzyGFT),(),(,),(),(,),(),(点点 M ( 1,2, 1)， 切向量：切向量：)6,0, 6( T切线方程切线方程121 zyx即即. 02 y066 , 02zx法平面方程法平面方程0)1(6)2(0)1(6 zyx即即0 zx(1) 形如形如 F(x, y, z)=0 的曲面的切平面与法线的曲面的切平面与法线若光滑曲面若光滑曲面 ： , 0),( zyxF ),(000zyxM可以证明：可以证明： 上通过点上通过点M0, 且且在点在点M0处有切线的处有切线的任一曲线任一曲线在在该点的该点的切线切线都在都在同一

8、平面同一平面上，上， 该平面称为该平面称为M0处的处的切平面。切平面。nT0MM0t02.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线过过 M0点且与切平面垂直的直点且与切平面垂直的直线称为曲面在该点的线称为曲面在该点的法线法线.nT0MM0t0),(),(),(000tttT 曲线在曲线在M0 处的切向量：处的切向量：在曲面在曲面 上任取一条通过点上任取一条通过点M0 的曲线的曲线,)()()(: tztytx 证证.)()()(000000tzztyytxx 上上在在曲曲线线 0)()(),(0 MtttF，0)(),()(),()(),(000000000000 tzyxFtzyxFtzyxFz

9、yx0 Tn处处任任意意切切线线向向量量垂垂直直，与与固固定定向向量量0Mn),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx ),(),(),(000tttT M0处处任一曲线任一曲线在该点的在该点的切线切线都在都在同一平面同一平面上上.为切平面的法向量。为切平面的法向量。向量向量n)( ),(0000 xxzyxFx 法线方程法线方程 000zzyyxx )( ),(0000yyzyxFy 0)(,(0000 zzzyxFz切平面方程切平面方程),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFznM ),(, ),(, ),(000000000zyxFzyx

10、FzyxFnzyx 曲面曲面F(x, y, z)= 0在点在点M0的的法向量法向量例例4 求椭球面求椭球面3632222 zyx在点在点(1 , 2 , 3)处的切平面及法线方程处的切平面及法线方程. 解解3632),(222 zyxzyxF所以在球面上点所以在球面上点 (1 , 2 , 3) 处有处有:切平面方程切平面方程 )1( x03694 zyx即即法线方程法线方程321 zyx)2(4 y0)3(9 z149法向量法向量令令)6,4,2(zyxn )18,8,2()3, 2, 1( n)9,4,1(2 例例5证证上上任任何何点点试试证证曲曲面面)0( aazyx,),(000为为曲曲

11、面面上上任任意意一一点点设设zyx则则该该点点处处的的法法向向量量. ,10 x切切平平面面方方程程为为)(100 xxx 在在曲曲面面上上，注注意意到到点点),(000zyx.a上上的的截截距距之之和和等等于于处处的的切切平平面面在在各各坐坐标标轴轴 n,10y01z).( 000000zyxzzyyxx 即即)(100yyy . 0)(100 zzz故故.000azyx 于于是是切切平平面面方方程程为为,000azzyyxx 即即. 1000 azzayyaxx截截距距之之和和为为切切平平面面在在各各坐坐标标轴轴上上的的)(000zyxa 000azayax.aaa 例例6的的切切平平面面

12、，使使求求曲曲面面xzyx 222. 220 zyxzyx和和它它垂垂直直于于平平面面解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,),(000zyx则切平面的法向量：则切平面的法向量：)2,2,12(000zyxn 1221111 kjin)0, 1, 1( 1/nn依依题题意意，0212112000zyx 0,21000 zxy故故得得，得得切切点点：代代入入xzyx 222及及)0,42,2142( .)0,42,2142( 所所求求切切平平面面方方程程为为：. 02120221 yxyx和和(2) 形如形如 z = f (x, y) 的曲面的切平面与法线的曲面的切平面与法线若光滑曲面若光滑曲

13、面 ： ),(yxfz ),(000zyxM0 zyxf),(: ), ),(, ),(10000yxfyxfnyx曲面曲面z=f (x,y)在点在点M0的法向量的法向量)( ),(000 xxyxfx )( ),(000yyyxfy 0)(0 zz :切切平平面面方方程程法线方程法线方程:1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx一求切点一求切点, 二求二求曲面的法向量曲面的法向量.例例7解解.)3 , 1 , 1(222方方程程处处的的切切平平面面方方程程及及法法线线在在点点求求椭椭圆圆抛抛物物面面yxz ,2),(22yxyxf 记记 ),(yxfx ),(yxfy,)1

14、 ,1(处处在在点点,4)1 , 1( xf,2)1 ,1( yf n故故法法向向量量).1,2,4( 0)3()1(2)1(4 zyx,4x,2 y. 0324 zyx:法法线线方方程程.132141 zyx:切切平平面面方方程程),1 , 1(xf),1 ,1(yf)1 解解例例80322,22 zyxyxz切切平平面面平平行行于于平平面面使使该该点点处处的的上上求求一一点点在在曲曲面面曲曲面面法法向向量量即即,122 yx, 1 x,22yxz 代代入入, 0 z得得).0 , 1 , 1(所所求求点点为为 n),1, 2, 2( 1n平平面面的的法法线线向向量量应应有有,/1nn1 2

15、 2 , 1 y).1,2,2( yx注注. 0),(0),(:zyxGzyxF求光滑曲线求光滑曲线切向量的切向量的第二种第二种方法：方法：),(, ),(, ),(0000000001zyxFzyxFzyxFnzyx ),(, ),(, ),(0000000002zyxGzyxGzyxGnzyx 21nnT ,1nT 2nT 1 T1n2n 0M2 处的切向量：处的切向量：在在曲线曲线0M )/(210nnGGGFFFkjiMzyxzyx 例例3 0,6222 zyxzyx在点在点M ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程处的切线方程与法平面方程. 切线方程切线方程121 zyx解法解

16、法206222 zyxzyx与与即即02 y曲线的切向量：曲线的切向量：066 求曲线求曲线的法向量分别为：的法向量分别为：),1 , 2, 1(2 MMzyxn)2 ,2 ,2(1 ),1 , 1 , 1(2 Mn)6,0, 6( )1 , 1 , 1()1 , 2, 1( MT法平面方程法平面方程, 0)1(6)2(0)1(6 zyx即即. 0 zx , 02zx1. 空间曲线的切向量空间曲线的切向量（1）参数式情况）参数式情况. )()()(:tztytx空间光滑曲线空间光滑曲线切向量切向量内容小结内容小结)(, )(, )(000tttT 空间光滑曲线空间光滑曲线 0),(0),(:z

17、yxGzyxF切向量切向量 （2）一般式情况）一般式情况.,),(),(MzyGF ,),(),(MxzGF MyxGF),(),( T),(, ),(, ),(0000000001zyxFzyxFzyxFnzyx ),(, ),(, ),(0000000002zyxGzyxGzyxGnzyx 21nnT 2. 曲面的法向量曲面的法向量（1） 曲面方程为隐式曲面方程为隐式, 0),( zyxF其其法向量法向量),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx （2） 曲面方程为显式曲面方程为显式),(yxfz 其其法向量法向量),(1yxffn其其中中思考与练习思考与

18、练习1. 如果平面如果平面01633 zyx与椭球面与椭球面相切相切,提示提示: : 设切点为设切点为, ),(000zyxM则则223yx .求求000226zyx 33 01633000 zyx163202020 zyx2 162 z(二法向量平行二法向量平行) (切点在平面上切点在平面上)(切点在椭球面上切点在椭球面上)证明证明 曲面曲面)(xyfxz 上任一点处的上任一点处的切平面都通过原点切平面都通过原点.提示提示: : 在曲面上任意取一点在曲面上任意取一点, ),(000zyxM则通过此则通过此0)(0 zz)(0 xxxzM )(0yyyzM 2. 设设 f ( u ) 可微可微

19、,证明原点坐标满足上述方程证明原点坐标满足上述方程 .点的切平面为点的切平面为备用题备用题0),( ynzymxF与定向量平行与定向量平行,.),(可微可微其中其中vuF分析分析 只须证曲面上任一点处的法向量与只须证曲面上任一点处的法向量与 定向量垂直定向量垂直.,1F , )()(21nFmF )2F 取定向量为取定向量为,m,1)n则则故结论成立故结论成立 .的所有切平面恒的所有切平面恒1. 证明曲面证明曲面( n( l,0 nl问题问题 观察一下观察一下,定向量是什么定向量是什么?证证 曲面上任一点的法向量曲面上任一点的法向量例例1 1解解在在点点求求曲曲线线2sin4,cos1,sin

20、tztyttx tM处处对对应应的的参参数数点点22 , 1 , 12,2 处处的的点点M,cos1tx ,2时时当当t ,1 x .2,1 ,1.22 , 1 , 12方方程程处处的的切切线线方方程程和和法法平平面面 M,sin ty ,2cos2tz , 1 y,2 z TM处处的的切切向向量量故故点点:切切向向量量 22 , 1 , 12M:于于是是切切线线方方程程:法法平平面面方方程程.22112 zyx)12( x即即.0422 zyx.2 1 1)1( y ,0222 z 2,1 ,1 T求空间曲线的切线（或法平面）：求空间曲线的切线（或法平面）：一求切点；二求切向量一求切点；二求切向量.2. 求曲线求曲