千题百炼——高考数学100个热点问题(二)：第34炼-向量的模长问题几何法

1、第五章第 34 炼 向量的模长问题几何法向量第 34 炼 向量的模长问题几何法一、基础知识 : 1、向量和差的几何意义：已知向量,a b，则有：（1）若,a b共起点 , 则利用平行四边形法则求ab, 可得ab是以,a b为邻边的平行四边形的对角线（2）若,a b首尾相接 , 则利用三角形法则求出ab, 可得ab，,a b围成一个三角形2、向量数乘的几何意义: 对于a(1）共线 (平行 ) 特点 :a与a为共线向量，其中0时，a与a同向 ;0时，a与a反向（2）模长关系：aa3、与向量模长问题相关的定理: （1）三角形中的相关定理：设abc三个内角,a b c所对的边为, ,a b c 正弦定

2、理 :sinsinsinabcabc 余弦定理：2222cosabcbca（2）菱形 : 对角线垂直平分, 且为内角的角平分线特别的，对于底角60的菱形，其中一条对角线将此菱形分割为两个全等的等边三角形。（3）矩形：若四边形abcd的平行四边形, 则对角线相等是该四边形为矩形的充要条件4、利用几何法求模长的条件: 条件中的向量运算可构成特殊的几何图形，且所求向量与几何图形中的某条线段相关，则可考虑利用条件中的几何知识处理模长二、典型例题：例 1： （2015 届北京市重点中学高三8 月开学测试数学试卷）已知向量,a b的夹角为45, 且1, 210aab，则b( ）a. 2 b。2 c. 2

3、2 d. 3 2思 路 ： 本 题 利 用 几 何 图 形 可 解 ， 运 用 向 量 加 减 运 算 作 出 如 下 图 形 ： 可 知第五章第 34 炼 向量的模长问题几何法向量2,104abbac, 只需利用余弦定理求出bc即可。解：如图可得：bbc，在abc中 ,有：2222cosacabbcab bcb即：21042 2cos4bcbc22 260bcbc解 得3 2bc或2bc（舍）所以3 2b，答案：选d例 2: 若平面向量, ,a b c两两所成的角相等, 且1,3abc，则abc等于（）a. 2 b. 5 c. 2或5 d。2或5思路 : 首先由, ,a b c两两所成的角相

4、等可判断出存在两种情况：一是, ,a b c同向（如图1, 此时夹角均为0） ，则abc为5，另一种情况为两两夹角23 ( 如图 2） ，以1ab为突破口， 由平行四边形法则作图得到ab与,a b夹角相等 ,1aba( 底角为60的菱形性质） ,且与c反向，进而由图得到2abc，选 c 答案 :c 例 3：已知向量,a b，且1,2ab，则2ba的取值范围是( ）a. 1,3 b. 2,4 c. 3,5 d. 4,6思路：先作出a，即有向线段ab，考虑2ba，将2b的起点与a重合，终点c绕a旋转且24acb，则2ba即为bc的长度， 通过观察可得c与,a b共线时2ba达到最值 . 所以max

5、min25, 23baba，且2ba连续变化， 所以2ba的取值范围第五章第 34 炼 向量的模长问题几何法向量是3,5答案 :c例 4: 设,a b是两个非零向量, 且2abab，则ab_ 思路：可知, ,a b ab为平行四边形的一组邻边和一条对角线, 由2abab可知满足条件的只能是底角为60，边长2a的菱形， 从而可求出另一条对角线的长度为32 3a答案：2 3例 5： 已知,a b为平面向量， 若ab与a的夹角为3,ab与b的夹角为4， 则ab（）a。33 b。64 c。53 d. 63思路 : 可知, ,ab a b为平行四边形的一组邻边及对角线，通过 作 图 和 平 行 四 边

6、形 性 质 得 ： 在abd中 ，,34abaadbabdadb，由正弦定理可得：sinsin64sin3sin3abadbadabd，即63ab答案： d 例 6：已知,a b是单位向量 , 且,a b的夹角为3，若向量c满足|2| 2cab，则|c的最大值为 ( ）a.23 b.23 c。72 d。72思 路 ： 本 题 已 知,a b模 长 且 夹 角 特 殊 ， 通 过 作 图 可 得2ba为 模 长 为3， 设第五章第 34 炼 向量的模长问题几何法向量2mcba, 则可得2m且2cmba, 而m可视为以2ba共起点，终点在以起点为圆心，2 为半径的圆上。通过数形结合可得c的最大值为

7、23（此时m的终点位于a点）答案 :a 例 7：在abc中,3 3,66babbc, 设d是ab的中点 ,o是abc所在平面 内 的 一 点 ， 且320oaoboc, 则do的 值 是（）a. 12 b. 1 c. 3 d。2思路： 本题的关键在于确定o点的位置， 从而将do与已知线段找到联系，将320oaoboc考虑变形为323oaobocoaoboboccb, 即13oaobcb，设oeoaob，则,o d e三点共线 , 且oebc，所以由平行四边形性质可得：11126odoecb答案 :b 例 8：已知向量,1ae e，对任意的tr，恒有ateae, 则eae的值为_ 思路：本题以a

8、teae作为突破口 , 通过作图设,aba ace，d为直线l上一点，则有adte。从而可得,aebcatebd，即bdbc，所以c点为直线l上到b距离最短的线段，由平面几何知识可得最短的线段为b到l的垂线段。所以bcl, 即eae，所以有0eae答案： 0 小炼有话说：本题若用图形解决，找到,ate ae在图上的位置和两个向量的联系是关键第五章第 34 炼 向量的模长问题几何法向量例 9: 已知平面向量, ,a b c满足1,2ab，且1a b，若向量,ac bc的夹角为60，则c的最大值是 _ 思 路 ： 由,a b条 件 可 得,a b夹 角的 余 弦 值1cos1202a ba b，若

9、用代数方法处理夹角60的 条 件 , 则 运 算 量 较 大 。 所 以 考 虑 利 用 图 形 ， 设,aba adb acc，则,cdbc cbac,即60dcb，从而180dcb, 可判定,a b c d四点共圆，则ac的最大值为四边形abcd外接圆的直径,即abd的直径.在abd中，由余弦定理可得：2222cos7bdabadad ab， 所 以7bd， 由 正 弦 定 理 可 得 ：2212sin3bddrbad,即max2 213c答案：2 213小炼有话说 : 若条件中向量的夹角为特殊角且很难用数量积，模长进行计算时，可考虑寻找几何图形进行求解. 例 10： （ 2010 年，浙

10、江， 16）已知平面向量,0,满足=1 , 且与的夹角为120,则的取值范围是 _ 思路：本题很难找到与数量积相关的条件，那么考虑利用图形辅助求解. 从图中可观察到,构成bcd,60c， 从而可利用正余弦定理求出即cd的取值范围解：在bcd中,由正弦定理 可得：sinsinsinsinbdcdcdbccdbccdba第五章第 34 炼 向量的模长问题几何法向量12sinsinsinsin332dbcdbcdbcc而20,3dbcsin0,1dbc22 3sin0,33dbc答案 :的取值范围是2 30,3小炼有话说 ：例题中的部分问题也可采用模长平方的方式，从而转化成为数量积求解。具体解法如下

11、：例 1：解：222224444cos,10abaa bbba bb22 260bb, 解得3 2b例 2: 解：2222222abcabca bb ca c, ,a b c夹角相同当, ,a b c同向时 , 可得225abc, 所以5abc当, ,a b c两两夹角23时，可得133,222a bb ca c24abc，所以2abc综上所述：2abc或5例 3：解：222244174cos,178cos,baba baa ba ba b因为cos,1,1a b229,25ba即23,5ba例 4: 解:2abab可得22224ababa b代入2ab得2a b222212ababa b2 3ab第五章第 34 炼 向量的模长问题几何法向量例 8： 解：以b为原点，bc为x轴建立直角坐标系. 所以9 3 36,0 ,22ca， 设,o x y,则93 3,6,22oaxyo