全等三角形经典例题

1、全等三角形经典例题（全等三角形的概念和性质）类型一、全等形和全等三角形的概念1、全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设abc和a1b1c1是全等 (合同）三角形，点a与点 a1对应，点 b与点 b1对应，点 c与点 c1对应，当沿周界 abc a，及 a1b1c1a1环绕时 , 若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形（如图1） ，若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形(如图 2）, 两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合， 两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180, 下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（）

2、（答案） b；提示：抓住关键语句 , 两个镜面合同三角形要重合, 则必须将其中一个翻转180，b答案中的两个三角形经过翻转180就可以重合，故选b；其它三个选项都需要通过平移或旋转使它们重合 . 类型二、全等三角形的对应边，对应角类型三、全等三角形性质3、 如图, 将长方形 abcd沿 ae 折叠，使d点落在 bc 边上的f点处，如果60baf， 那么dae等于（ )a。60 b。45 c。30 d.15（答案） d ； （解析）因为 afe是由 ade折叠形成的，所以 afe ade, 所以 faedae ，又因为60baf，所以fae dae 9060215. （点评）折叠所形成的三角形与

3、原三角形是全等的关系, 抓住全等三角形对应角相等来解题. 举一反三： （变式 ) 如图，在长方形 abcd 中，将bcd沿其对角线 bd翻折得到 bed ，若135，则 2_。（答案） 35；提示：将 bcd 沿其对角线 bd翻折得到 bed,所以 2cbd ，又因为 ad bc ，所以 1cbd ，所以 235. 4、 如图，abe和adc 是abc分别沿着 ab ，ac翻折 180形成的 , 若1232853，的度数是 _. （答案） 80(解析）1232853， 设128x,25x，33x, 28x5x3x36x180，x5即1140， 225，315abe和adc 是abc分别沿着 a

4、b ，ac翻折 180形成的，abe adc abc2abe ，3acd ebc bcd 2223503080（点评）此题涉及到了三角形内角和, 外角和定理，并且要运用全等三角形对应角相等的性质来解决问题。见“比例”设未知数x 是比较常用的解题思路 . 举一反三： ( 变式) 如图, 在abc中，a： abc:bca 3:5:10 ，又mnc abc ，则bcm ：bcn等于( ）a1：2 b1:3c2:3 d1：4 （答案)d；提示：设a3x, abc 5x, bca 10 x，则 3x5x10 x18x180,x10. 又因为mnc abc ，所以 nb50，cn cb ，所以 ncbn

5、50, acb mcn 100， bcn 180 50 50 80, 所以bcm ：b cn 20:80 1：4. (全等三角形判定一（ sss ，sas)）类型一、全等三角形的判定1- “边边边”1、如图，在 abc和ade中,abac ，ad ae ，bd ce ，求证 : bad cae 。（答案与解析）证明：在 abd和ace 中,abacadaebdceabd ace(sss) bad cae （全等三角形对应角相等 ). （点评）把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的判定和性质 . 要证 bad cae ，先找出这两个角所在的三角形分

6、别是bda和cae,然后证这两个三角形全等。举一反三：（变式) 已知: 如图， ad bc,ac bd 。试证明 : cad dbc. （答案）证明 : 连接 dc ，在acd与bdc 中adbcacbdcddc 公共边acd bdc(sss ）cad dbc( 全等三角形对应角相等）类型二、全等三角形的判定2“边角边”2、3、举一反三 : （变式) 已知, 如图, 在四边形 abcd 中，ac平分bad ，ce ab于 e，并且ae 12（ab ad ） ，求证： bd180。(答案）证明：在线段ae上，截取 ef eb ，连接 fc ，ce ab ， ceb cef 90在 cbe 和cf

7、e中，cebcefec =ecebef cbe 和cfe(sas ） bcfe ae12（ab ad)，2ae abad ad 2ae ab aeaf ef，ad 2（af ef）ab 2af 2ef ab af af ef eb ab af ab ab ，即 ad af 在 afc和adc中(afadfacdacacac角平分线定义） afc adc(sas ） afc d afc cfe 180，bcfe.afc b180，bd 180. 类型三、全等三角形判定的实际应用4、如图，公园里有一条“ z字形道路 abcd, 其中 ab cd ，在 ab ，bc ，cd三段路旁各有一个小石凳e，

8、m ，f，且 be cf ，m在 bc的中点。试判断三个石凳e，m ，f是否恰好在一条直线上？ why? （答案与解析）三个小石凳在一条直线上证明： ab平行 cd （已知） bc(两直线平行 , 内错角相等）m在 bc的中点（已知） bm cm( 中点定义 ) 在bme 和cmf 中becfbdbmmcbme cmf （sas ） emb fmc （全等三角形的对应角相等）emf emb bmf fmc bmf bmc 180（等式的性质） e，m ，f 在同一直线上（点评）对于实际应用问题，首先要能将它化成数学模型, 再根据数学知识去解决 . 由已知易证 bme cmf, 可得 emb f

9、mc, 再由 emf emb bmf fmc bmf bmc 180得到 e， m ，f 在同一直线上 .（全等三角形判定二（ asa，aas） ）类型一、全等三角形的判定3“角边角”1、如图， g是线段 ab上一点 ,ac 和 dg相交于点 e。请先作出 abc的平分线 bf，交 ac于点 f；然后证明：当 ad bc,ad bc ，abc 2adg时，de bf。(答案与解析）证明: ad bc,dac cbf平分abcabc 2cbfabc 2adgcbf adg在dae与bcf中cdacbcadcbfadgdae bcf （ asa)de bf （点评） 利用全等三角形证明线段（角)相

10、等的一般方法和步骤如下： (1)找到以待证角 ( 线段) 为内角 (边)的两个三角形； (2）证明这两个三角形全等；（3）由全等三角形的性质得出所要证的角( 线段)相等(变式）已知：如图，在mpn 中，h是高 mq 和 nr的交点，且 mq nq 求证： hn pm 。(答案）证明： mq 和 nr是mpn 的高， mqn mrn 90，又 132490, 34 12 在mpq 和nhq 中，12mqnqmqpnqhmpq nhq （asa) pm hn 类型二、全等三角形的判定4-“角角边”2、已知：如图，90acb,acbc，cd是经过点c的一条直线，过点a、b 分别作aecd、bfcd,

11、 垂足为 e、f,求证：cebf. （答案与解析 ) 证明：cdae,cdbf90bfcaec90bbcf,90acb90acfbcfbacf在bcf 和cae 中bcacbacebfcaecbcf cae （ aas) bfce(点评) 要证bfce，只需证含有这两个线段的bcf cae. 同角的余角相等是找角等的好方法. 3、平面内有一等腰直角三角板 （acb 90）和一直线 mn 过点 c作 ce mn 于点 e,过点 b作 bfmn 于点 f当点 e与点 a重合时（如图 1） ，易证:afbf 2ce 当三角板绕点 a顺时针旋转至图 2 的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证

12、明；若不成立，线段af 、bf 、ce之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明（答案与解析） 解：图 2，af bf 2ce仍成立，证明：过 b作 bh ce于点 h, cbh bch ace bch 90 cbh ace 在ace与cbh 中，90achcbhaecchbacbcace cbh （aas) ch ae ，bf he ，ce ef ，af bfae ef bfch ef he ce ef2ec （点评) 过 b作 bh ce与点 h ，易证 ach cbh ，根据全等三角形的对应边相等，即可证得af bf 2ce 正确作出垂线，构造全等三角形是解决本题的关键。举一反

13、三：(变式） 错误!未找到引用源。 已知 rtabc中,acbc ，c 90,d 为 ab边的中点 , edf 90，edf绕 d点旋转，它的两边分别交ac 、cb于 e、f当 edf绕 d点旋转到 de ac于 e时( 如图 1)，易证12defcefabcsss； 当edf绕 d点旋转到 de和 ac不垂直时，在图 2 情况下 , 上述结论是否成立 ?若成立，请给予证明 ; 若不成立 , 请写出你的猜想，不需证明. （答案）解: 图 2 成立; 证明图 2：过点 d 作 dmacdnbc，则90dmednfmdn在amd 和dnb中，amd=dnb=90abadbdamd dnb(aas

14、）dm dn mde edn ndf edn 90， mde ndf 在dme 与dnf中，90emdfdndmdnmdendfdme dnf （asa)dmednfssdefcefdmcndecfs=s=ss.四边形四边形可知abcdmcn1s=s2四边形，12defcefabcsss类型三、全等三角形判定的实际应用4、在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为了炸掉敌军的碉堡，要知道碉堡与我军阵地的距离。在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一名战士想出了这样一个办法：他面向碉堡站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部. 然后，他转身向后，保持刚才的姿态，这时视线落在了自

15、己这岸的某一点上。接着，他用步测的办法量出了自己与该点的距离, 这个距离就是他与碉堡的距离。这名战士的方法有道理吗?请画图并结合图形说明理由. （答案与解析 )设战士的身高为 ab ，点 c是碉堡的底部 , 点 d是被观测到的我军阵地岸上的点，由在观察过程中视线与帽檐的夹角不变 , 可知 bad bac ，abd abc 90。在abd和abc 中，abdabcababbadbacabd和abc （asa ）bd bc.这名战士的方法有道理。(点评） 解决本题的关键是结合图形说明那名战士测出的距离就是阵地与碉堡的距离，可以先画出示意图, 然后利用全等三角形进行说明。解决本题的关键是建立数学模型

16、，将实际问题转化为数学问题并运用数学知识来分析和解决。直角三角形全等判定类型一、直角三角形全等的判定- “hl ”1、 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“”，全等的注明理由：(1 ）一个锐角和这个角的对边对应相等; （）(2 ）一个锐角和斜边对应相等; ( ）(3) 两直角边对应相等 ; （）（4）一条直角边和斜边对应相等（）（答案） (1) 全等， “aas ； （2）全等 , “aas ” ；(3 ）全等， “sas ”; （4）全等, “hl”. （解析） 理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断. （点评） 直角三角形全等可用的判定方法有5 种:sas、asa

17、 、aas 、sss 、hl 。举一反三：（变式）下列说法中 ,正确的画“”；错误的画“”，并举出反例画出图形 . (1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（ ) (2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等（ ) （3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等（ ) （答案 ) （1）； （2）；在 abc 和dbc中，ab db ，ae和 df是其中一边上的高， ae df （3）. 在abc和abd中，ab ab ，ad ac ，ah为第三 边上的高，2、已知：如图 ,deac ，bf ac ，ad bc,de bf 。求证： ab dc 。（答案与解析） 证

18、明： de ac ，bf ac ，在 rtade 与 rtcbf中.adbcdebf，rtade rtcbf （hl ） ae cf ，de bf ae ef cf ef，即 af ce 在 rtcde 与 rtabf中,debfdecbfaecfartcde rtabf （sas ） dce baf ab dc. (点评） 从已知条件只能先证出rtade rtcbf ，从结论又需证rtcde rtabf.我们可以从已知和结论向中间推进，证出题目。3、举一反三： （变式）4、如图, abc 中，acb 90，ac bc ，ae是 bc边上的中线，过 c作 cfae ，垂足为 f，过 b作 bd

19、 bc交 cf的延长线于 d.（1)求证:aecd;（2）若 ac 12cm，求 bd的长。（答案与解析）（1）证明： db bc ，cf ae ， dcb ddcb aec 90daec 又dbc eca 90，且 bc ca ， dbc eca （aas ） ae cd （2） 解: 由 （1） 得 ae cd,ac bc,cdb aec(hl ） bd ec 12bc 12ac ，且 ac 12bd 6cm（点评 )三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什

20、么条件。角的平分线的性质知识点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点. 这点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有 4 个. 如图所示： abc的内心为1p，旁心为234,pp p，这四个点到abc 三边所在直线距离相等 .（典型例题 ）类型一、角的平分线的性质及判定1、已知：如图，在abc中,ad 平分 bac ，de ab于 e，df ac于 f。 求证： ae af （答案与解析 ) 证明: ad平分 bac ，de ab

21、于 e,dfac于 f. de df （角平分线上的点到角两边的距离相等）90aedafd( 垂直定义 ) 在rt aed和rt afd中dedfadadrt aedrt afd（hl）aeaf（点评） 先由角平分线的性质得出de df ，再证rt aedrt afd，即可得出 ae af.分析已知，寻找条件，顺次证明举一反三： ( 变式）如图， ad是bac 的平分线， de ab ，交 ab的延长线于点 e，df ac于点 f,且 db dc.求证： be cf 。（答案） 证明： de ae,df ac ，ad是bac 的平分线 , de df ，bed dfc 90在 rtbde 与

22、rtcdf中，dbdcdedf，rtbde rtcdf(hl ） be cf 2、3、如图， ac=db, pac与pbd的面积相等求证 :op平分 aob （答案与解析）证明：作 pm oa于 m,pn ob于 n 12pacsac pm，12pbdsbd pn, 且pacspbds12ac pm12bd pn又ac bd pm pn 又pm oa,pn ob op平分 aob (点评）观察已知条件中提到的三角形pac 与pbd,显然与全等无关，而面积相等、底边相等，于是自然想到可得两三角形的高线相等，联系到角平分线判定定理可得. 跟三角形的高结合的题目，有时候用面积会取得意想不到的效果.

23、4、举一反三：（变式）如图， dc ab ，bad和adc 的平分线相交于e，过 e 的直线分别交 dc 、ab于 c 、b两点。 求证： ad ab dc. （答案）证明: 在线段 ad上取 af ab ，连接 ef ，ae 是 bad的角平分线， 12, af ab aeae ， abe afe ， bafe 由 cd ab又可得 cb180， afe c180，又 dfe afe180， c dfe ，de 是adc的平分线 ,34, 又de de ， cde fde ，df dc ，ad df af，ad abdc 全等三角形全章复习与巩固类型一、巧引辅助线构造全等三角形（1） 倍长中

24、线法：1、已知, 如图, abc中，d是 bc中点，de df,试判断 be cf与 ef的大小关系 , 并证明你的结论 . fedcba(答案与解析） be cf ef；证明：延长 fd到 g ，使 dg df,连结 bg 、eg d 是 bc中点bd cd 又de df在edg 和edf中edededgedfdgdfedg edf(sas ）eg ef 在fdc与gdb 中dgdfbdcd21fdc gdb （sas) cf bg bg be eg be cf ef (点评 ) 因为 d 是 bc 的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段df,使 dg df,证明edg edf ，fdc g

25、db ，这样就把be 、cf与 ef线段转化到了 beg中, 利用两边之和大于第三边可证.有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）。举一反三 : (变式）已知：如图所示， ce 、cb分别是 abc 与adc 的中线，且 acb abc 求证： cd 2ce (答案） 证明： 延长 ce至 f使 ef ce ，连接 bf ec 为中线， ae be 在aec与bef中，,aebeaecbefceefaec bef （sas) acbf ，afbe （全等三角形对应边、角相等）又acb abc,dbc acb a，fbc abc a acab ，dbc fbc ab bf 又

26、bc 为adc 的中线， ab bd 即 bf bd 在fcb与dcb 中,bfbdfbcdbcbcbcfcb dcb （sas ） cf cd 即 cd 2ce （2） 作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形2、已知：如图所示，在 abc中， c 2b,12求证： ab ac cd （答案与解析） 证明: 在 ab上截取 ae ac 在aed与acd 中，()12()()aeacadad已作 ，已知 ，公用边 ，aed acd （sas ） aed c(全等三角形对应边、角相等） 又c 2b aed 2b由图可知： aed bedb, 2 bbedb bedb be ed 即 be c

27、d ab ae be ac cd （等量代换）（点评) 本题图形简单，结论复杂 , 看似无从下手 , 结合图形发现ab ac 故用截长补短法在 ab上截取 ae ac 这样 ab就变成了 ae be ， 而 ae ac 只需证 be cd即可从而把 ab ac cd转化为证两线段相等的问题举一反三 : （变式）如图 ,ad 是abc的角平分线， h,g分别在 ac ，ab上, 且 hd bd. （1）求证： b与ahd 互补；(2）若 b2dga 180, 请探究线段 ag与线段 ah 、hd之间满足的等量关系 , 并加以证明。(答案） 证明:(1 ）在 ab上取一点 m ， 使得 am ah

28、, 连接 dm 。 cad bad ， adad, ahd amd. hdmd, ahd amd 。 hddb ， db md. dmb b。 amd dmb 180 , ahd b 180 。 即 b 与ahd 互补。（2）由(1）ahd amd, hd md, ahd b 180 。 b2dga 180 ， ah d 2dga. amd 2dgm. amd dgm gdm. 2 dgm dgm gdm. dgm gdm. md mg 。 hd mg 。 ag ammg ， ag ahhd. （3）. 利用截长 (或补短）法作构造全等三角形: 3、如图所示，已知 abc中 ab ac,ad是

29、bac的平分线， m是 ad上任意一点, 求证:mbmc ab ac （答案与解析 ) 证明：因为 ab ac ，则在 ab上截取 ae ac ，连接 me 在mbe 中，mb me be （三角形两边之差小于第三边） 在amc 和ame 中，()()()acaecameamamam所作 ，角平分线的定义，公共边 ，amc ame （sas ） mcme （全等三角形的对应边相等） 又 be ab ae ， be ab ac, mbmc ab ac (点评）因为 ab ac,所以可在 ab上截取线段 ae ac ，这时 be ab ac ，如果连接 em ，在bme 中，显然有 mb me b

30、e 这表明只要证明me mc ，则结论成立充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键。举一反三： ( 变式）如图， ad是abc的角平分线， ab ac ，求证 :abac bd dc (答案）证明: 在 ab上截取 ae ac,连结 de ad是abc的角平分线， bad cad在aed与acd 中adadcadbadacaeaed adc （ sas ）de dc 在bed中，be bd dc 即 ab ae bd dc ab ac bd dc (4）. 在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段。4、 如图所示，已知 e为正方形 abcd 的边 cd的中点，点 f 在 bc上, 且dae fa

31、e mghdcbaedcba求证： af ad cf （答案与解析 ) 证明： 作 me af于 m ，连接 ef 四边形 abcd 为正方形 , cdema 90又dae fae, ae 为fad的平分线， mede 在 rtame 与 rtade中，()()aeaedeme公用边 ，已证 ， rt ame rtade(hl) ad am （全等三角形对应边相等)又 e 为 cd中点， de ec meec 在 rtemf 与 rtecf中，()(meceefef已证 ，公用边 ) ， rt emf rtecf （hl) mffc （全等三角形对应边相等 ) 由图可知： af am mf ，

32、 af ad fc(等量代换 ) （点评） 与角平分线有关的辅助线: 在角两边截取相等的线段, 构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段 . 四边形 abcd 为正方形 , 则d 90 而dae fae说明 ae为fad的平分线，按常规过角平分线上的点作出到角两边的距离, 而 e 到 ad的距离已有 , 只需作 e 到af的距离 em 即可， 由角平分线性质可知me de ae ae rtame 与 rtade 全等有 ad am 而题中要证 af ad cf 根据图知 af am mf 故只需证 mf fc即可从而把证af ad cf转化为证两条线段相等的问题5、如图所示，在

33、abc中，ac=bc ，acb=90 ，d 是 ac上一点 , 且 ae 垂直 bd的延长线于 e，12aebd，求证 :bd 是abc的平分线（答案与解析）证明: 延长 ae和 bc ，交于点 f，ac bc ，be ae,ade= bdc （对顶角相等） , ead+ ade= cbd+ bdc 即 ead= cbd 在 rtacf和 rtbcd 中所以 rtacf rtbcd （asa ） 则 af=bd （全等三角 ae=bd,ae=形对应边相等）af,即 ae=ef 在 rtbea 和 rtbef中，则 rtbea rtbef（sas) 所以abe= fbe(全等三角形对应角相等）

34、, 即 bd是abc的平分线（点评） 如果由题目已知无法直接得到三角形全等, 不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件，使问题得以解决平时练习中多积累一些辅助线的添加方法。类型二、全等三角形动态型问题6、在 abc中， acb 90，ac bc ，直线 l 经过顶点 c ，过 a，b 两点分别作 l 的垂线 ae ，bf ，垂足分别为 e,f。（1）如图 1 当直线 l 不与底边 ab相交时，求证： ef aebf 。（2）将直线 l 绕点 c顺时针旋转，使 l 与底边 ab相交于点 d ，请你探究直线 l 在如下位置时 ,ef、ae 、bf之间的关系， ad bd;ad bd ；ad bd

35、。(答案与解析） 证明:（1）ae l ，bf l ，aeccfb90， 1290acb 90， 2390 13。在ace和cbf中，13aeccfbacbcace cbf （aas ）ae cf,ce bf ef ce cf ，ef ae bf 。（2)efae bf ，理由如下 : ae l ,bf l ， aec cfb 90, 1290acb 90, 2390, 13. 在 ace和cbf中13aeccfbacbcace cbf （aas ）ae cf,ce bf efcf ce ，ef ae bf 。 efae bf efbf ae证明同。(点评） 解决动态几何问题时要善于抓住以下几

36、点：(1) 变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用；(2) 图形在变化过程中 , 哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化；原来的线段之间、角之间的位置与数量关系是否还存在是解题的关键；(3) 几种变化图形之间 , 证明思路存在内在联系，都可模仿与借鉴原有的结论与过程, 其结论有时变化，有时不发生变化。举一反三 :（变式）已知：在 abc中，bac 90，ab ac ，点 d为射线 bc上一动点 , 连结 ad ，以 ad为一边且在 ad的右侧作正方形adef （1）当点 d在线段 bc上时( 与点 b不重合） ，如图 1，求证 :cfbd （2)当点 d运动到线段

37、bc的延长线上时，如图2，第（ 1）问中的结论是否仍然成立，并说明理由. （答案） 证明:(1 ）正方形 adef ad af ，daf 90daf dac bac dac ，即 bad caf 在abd和acf中，abacbadcafadafabd acf （sas ） bd cf （2）当点 d运动到线段 bc的延长线上时 , 仍有 bd cf 此时 daf dac bac dac ，即 bad caf 在abd和acf中,abacbadcafadafabd acf （sas) bd cf全等三角形全章复习与巩固(基础) 类型一、全等三角形的性质和判定1、两个大小不同的等腰直角三角形三角板

38、如图1 所示放置 , 图 2 是由它抽象出的几何图形，b，c，e在同一条直线上，连结dc （ 1) 请找出图2 中的全等三角形, 并给予证明 ( 说明：结论中不得含有未标识的字母) ；（2）证明： dc be . ( 答案与解析 ) 解: （1） bae cad 证明： bac ead 90bac cae ead cae 即 bae cad 又ab ac ， ae ad, abe acd （sas) （2）由（ 1）得 bea cda,又 coe aod bea coe cda aod 90则有 dce 180 90 90，所以 dc be. ( 点评 ) abe与 acd中 , 已经有两边，

39、夹角可以通过等量代换找到，从而证明abe acd ；通过全等三角形的性质,通过导角可证垂直。我们可以试着从变换的角度看待abe与 acd ，后一个三角形是前一个三角形绕着a点逆时针旋转90得到的 , 对应边的夹角等于旋转的角度90，即 dc be 。举一反三：（变式）如图，已知：ae ab，ad ac ，ab ac ， b c，求证： bd ce。( 答案） 证明 : ae ab ，ad ac， eab dac 90 eab dae dac dae ，即 dab eac. 在 dab与 eac中,dabeacabacbc dab eac （sas ） bd ce 。类型二、巧引辅助线构造全等三

40、角形（1） 作公共边可构造全等三角形:2、如图 : 在四边形abcd 中,ad cb ，ab cd.求证 : b d。（答案与解析）证明 : 连接 ac ， ad cb,abcd 。 1 2， 3 4 在 abc与 cda中1243acca abc cda （asa) b d ( 点评） b与 d不包含在任何两个三角形中，只有添加辅助线ac ，根据平行线的性质，可构造出全等三角形。添加公共边作为辅助线的时候不能割裂所给的条件，如果证a c,则连接对角线bd 。举一反三： ( 变式 ) 在 abc中， abac 。求证： b c ( 答案） 证明：过点a作 ad bc在 rtabd与 rtacd中abacadadrtabd rt acd （hl） b c。(2) 倍长中线法：3、( 点评） 用倍长中线法可将线段ac ，2ad,ab 转化到同一个三角形中，把分散的条件集中起来。倍长中线法实际上是绕着中点 d旋转 180。举一反三：（变式 ) 若三角形的两边长分别为5和 7, 则第三边的中线长x的取值范围是 ( ） a.1 x 6 b。 5 x 7 c.2 x 12 d。无法确定所以选 a选项 . ( 答案 ) a ；提示：倍长中线构造全等三角形，752x7 5，(3 ）. 作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形: 4、在 abc中，