全国各地高考数学试题精析圆锥曲线部分整理

1、2004 年全国各地高考数学试题精析( 圆锥曲线部分）一、选择题1。(2004 全国 i ，理 7 文 7)椭圆x24+y2=1 的两个焦点为f1、 f2，过 f1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为p,则2|pf=( ) a错误 !b错误 !c错误 !d4【答案】 c。【解析】 本小题主要考查椭圆的几何性质以及椭圆的定义等基本知识. 一般地，过圆锥曲线的焦点作垂直于对称轴的直线被圆锥曲线截得的弦长，叫做圆锥曲线的通径。椭圆、双曲线的通径长为错误 !。本题中 |pf1=错误 !，由椭圆的定义知pf1 +pf2 =2a=4,|pf2|=4-错误 !.2。 （2004 全国 i, 理 8 文

2、 8）设抛物线y2=8x 的准线与 x 轴交于点q,若过点 q 的直线 l与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（）a -错误 !，错误 !b 2,2c -1,1d 4，4【答案】 c。【解析】本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及解析几何的基本思想。q(2,0), 设直线 l 的方程为y=k(x+2） ，代入抛物线方程，消去y 整理得 : k2x2+（ 4k2-8)x+4k2=0, 由 =(4k2-8)24k2 4k2=64（ 1k2)0，解得-1k1。3。（ 2004 全国 iii、 广西 , 理 7 文 8) 设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为y=错误 !x,则该双曲线的

3、离心率e=( ) a5 b错误 !c错误 !d错误 !【答案】 c。【解析】本小题主要考查双曲线的几何性质等基本知识。双曲线的焦点在x 轴上 ,两条渐近线为y=错误 !x,错误 !=错误 !，即 a=2b, c=错误 !b，故该双曲线的离心率 e=错误 !.4.(2004全国 iv ，理 8）已知椭圆的中心在原点,离心率 e=错误 !，且它的一个焦点与抛物线 y2=- 4x 的焦点重合，则此椭圆方程为（) a。错误 !b。 错误 !c。错误 !d. 错误 !【答案】 a. 【解析】本小题主要考查椭圆、抛物线的方程与几何性质。抛物线焦点为(-1 ， 0), c=1， 又 e=错误 !， a=2，

4、 b2=a2-c2=3,故椭圆方程为错误 !.5.(2004江苏， 5) 若双曲线 错误 !的一条准线与抛物线y2=8x 的准线重合，则双曲线的离心率为（）a。2b。22c.4 d。 42【答案】 a。【解析】本小题主要考查双曲线、抛物线的方程与几何性质等基本知识。抛物线y2=8x 的准线方程为x=2,双曲线 错误 !的一条准线方程为x=错误 !, 2=错误 !，解得 b2=8， c=错误 !e=错误 !.6.(2004天津 , 理 4 文 5) 设 p 是双曲线22219xya上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2y=0，f1、 f2分别是双曲线的左、右焦点,若 pf1|=3，则 pf2 =

5、（) a. 1 或 5 b。 6 c。 7 d. 9【答案】 c。【解析】本小题主要考查双曲线的概念、方程与几何性质。双曲线的一条渐近线方程为3x2y=0，a2=4。由双曲线的定义知|pf1|pf2|=4， |pf1=3， pf2|=7。7.(2004广东， 8）若双曲线2x2- y2=k （k0）的焦点到它相对应的准线的距离是2，则 k= （）a.6 b. 8 c。 1 d。 4【答案】 a. 【解析】本小题主要考查双曲线的方程与几何性质等基本知识。双曲线方程化为标准方程为 错误 !，a2=错误 !，b2=k,c2=错误 !。焦点到准线的距离2=c- 错误 !，即 2=错误 !，解得 k=6

6、.8. （2004 福建 ,理 4 文 4)已知 f1、f2是椭圆的两个焦点，过f1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于a、b 两点，若 abf2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（）a。错误 !b。 错误 !c。 错误 !d。错误 !【答案】 a. 【解析】本小题主要考查椭圆的几何性质, 以及基本量的运算。设椭圆方程为错误 !,则过f1且与椭圆长轴垂直的统弦ab= 错误 !。若abf2是正三角形,则2c= 错误 ! 错误 !,即错误 !a22ac错误 !c2=0,（a错误 !c）(错误 !a c）=0,e=错误 !.9。(2004 福建，理 12）如图 ,b 地在 a 地的正东方向4km 处,c 地

7、在 b 地的北偏东300方向 2km 处,河流的沿岸pq（曲线 )上任意一点到a 的距离比到b 的距离远2km.现要在曲线pq 上选一处m 建一座码头 ,向 b、c 两地转运货物.经测算 ,从 m 到 b、m到 c 修建公路的费用分别是a 万元 /km、2a 万元 /km，那么修建这两条公路的总费用最低是( ) a。(2错误 !2）a 万元b。5a 万元c。 (27+1)a 万元d。(2错误 !+3)a 万元【答案】 b。【解析】 本小题主要考查双曲线的概念与性质，考查考生运用所学知识解决实际问题的能力。设总费用为y 万元 ,则y=a mb+2 a mc 河流的沿岸pq(曲线）上任意一点到a

8、的距离比到b 的距离远 2km., 曲线 pg 是双曲线的一支,b 为焦点 ,且 a=1,c=2. 过 m 作双曲线的焦点b 对应的准线l 的垂线 ,垂足为 d(如图） 。 由双曲线的第二定义,得错误 !=e,即 mb=2md 。y= a 2md+ 2 a mc=2 a （md+mc)2 a ce。(其中 ce 是点 c 到准线 l 的垂线段） . ce=gb+bh =（ c- 错误 !）+bc cos600=(2错误 !)+2 错误 !=错误 !. y 5a（万元 ).10。(2004 福建，文 12）如图 ,b 地在 a 地的正东方向4km 处,c 地在 b 地的北偏东300方向 2km

9、处，河流的沿岸pq(曲线）上任意一点到a 的距离比到 b 的距离远2km。现要在曲线pq 上选一处m 建一座码头，b a q p c m 东北b a q p c m 东北e g h d 向 b、c 两地转运货物。经测算，从m 到 b、c 两地修建公路的费用都a 万元 /km,那么修建这两条公路的总费用最低是（) a.(错误 !+1)a 万元b。(2错误 !2）a 万元c.27a 万元d。( 错误 !1)a 万元【答案】 b。【解析】 本小题主要考查双曲线的概念与性质, 考查考生运用所学知识解决实际问题的能力 . 设总费用为y 万元，则y=a （ mb+mc) 河流的沿岸pq（曲线）上任意一点到

10、a 的距离比到b 的距离远2km。, 曲线 pg 是双曲线的一支，b 为焦点 ,且 a=1,c=2. 由双曲线第一定义，得ma mb=2 a, 即 mb=ma 2, y= a (ma+mc - 2) a ac。以直线 ab为 x 轴，中点为坐标原点，建立直角坐标系，则a（- 2,0),c（3， 错误 !） 。ac= 错误 !，故 y(2错误 !- 2）a(万元 ).11。 （2004 湖北，理6) 已知椭圆 错误 !=1 的左、右焦点分别为f1、 f2,点 p 在椭圆上 ,若p、f1、 f2是一个直角三角形的三个顶点，则点p 到 x 轴的距离为 ( ) a错误 !b 3 c错误 !d错误 !【

11、答案】 d。【解析】本小题主要考查椭圆的几何性质。注意！p、f1、f2是一个直角三角形的三个顶点时，要考虑直角顶点的确定.若 p 为直角顶点 ,则 pf12pf22=f1f22，即 pf12pf22=（ 2错误 !）2,又 pf1pf2=2a=8,pf1 pf2=18.在 rtpf1f2中， p 到 x 轴的距离h=错误 !,但错误 !b=3，不合题意，舍去.由对称性 ,f1、f2之一为直角顶点（不妨设f2为直角），则 pf2=错误 !。12。 （2004 浙江，文6 理 4）曲线 y2=4x 关于直线x=2 对称的曲线方程是( ）a。y2=8 4xb.y2=4x 8 c.y2=16 4xd。

12、y2=4x 16【答案】 c【解析】设所求曲线上的任意一点的坐标为p(x, y），其关于 x=2 对称的点的坐标为q （4x，y），把它代入y2=4x 并化简，得 y2=16 4x13.（2004 浙江，理 9) 若椭圆12222byax(a b0)的左、右焦点分别为f1、f2，线段f1f2被抛物线y2=2bx 的焦点分成53 的两段 ,则此椭圆的离心率为( ）a.1617b.4 1717c.45d.2 55【答案】 d. 【解析】 抛物线 y2=2bx 的焦点为f(2b，0)， f1(c,0),f2（c,0)，f1f|：ff2|=5:3,5232bcbc,化简 ,得 c=2b,即222cac

13、,两边平方并化简得4a2 5c2,22245cea,2 55e14。(2004 年浙江 , 文 11) 若椭圆12222byax(ab0)的左、右焦点分别为f1、f2,线段 f1f2被点 (2b,0）分成 5 3的两段 ,则此椭圆的离心率为( ) a。1617b.4 1717c。45d.2 55【答案】 d 【解析】见上题15. （2004 湖南 , 文 4理 2) 如果双曲线1121322yx上一点 p到右焦点的距离等于13，那么点 p 到右准线的距离是（) a513b13 c5 d135【答案】 a 【解析】考查双曲线线的基本量的运算解：a=13 ，5c, 由双曲线的第二定义，得13513

14、ceda,d=135. 16。 （2004 重庆，文理 10） 已知双曲线22221,(0,0)xyabab的左 ,右焦点分别为12,ff,点 p在双曲线的右支上,且12|4 |pfpf,则此双曲线的离心率e的最大值为( ）a43b53c2d73【答案】 a 【解析】设 |pf1 =m，|pf2|=n,则 mn=2a, m=4n,m=83a,n=23a,又 mn2c m+n，即 2a2c103a,1e=ac53，所以 e 的最大值为5317.(2004辽宁 ,6) 已知点 a（- 2，0） 、b(3,0) ,动点 p（x，y）满足2pa pbx，则点 p的轨迹是 ( ) a圆b椭圆c双曲线d抛

15、物线【答案】 d 【解析】pa=(x+2,y） ， pb=( x3, y）, pa pb =( x+2)( x3)+y2=x2，化简，得y2=x+6。18.(2004辽宁 ,9) 已知点)0,2(1f、)0 ,2(2f,动点 p 满足2|12pfpf。 当点 p的纵坐标是21时,点 p 到坐标原点的距离是（) a26b23c3d 2【答案】 a 【解析】由题意知,p 点的轨迹是双曲线的左支,c=2 ，a=1，b=1，双曲线的方程为x2- y2=1,把 y=12代入双曲线方程,得 x2=1+14=54， op 2=x2+y2=54+14=64, op =62。二、填空题19.（2004 全国 i

16、i ， 理 15 文 15) 设中心在原点的椭圆与双曲线2x2-2y2=1 有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是。【答案】x22+y2=1.【解析】本小题主要考查椭圆、双曲线的方程与几何性质. 在双曲线2x2-2y2=1 中a2=21， b2=21,c2=1,则其焦点坐标为f1(1,0),f2（1，0） ，离心率e1=2.所以椭圆的离心率为21,c=1， a=2，则 b=a2-c2=1。故椭圆的方程是错误 !.20。（2004 全国 iii、 广西 ,理 16) 设 p 是曲线 y2=4(x1） 上的一个动点,则点 p 到点 (0,1)的距离与点p 到 y 轴的距离之和的最小

17、值为.【答案】 错误 !。【解析】本小题主要考查抛物线的方程与几何性质等基本知识，以及数形结合的思想方法. 抛物线的顶点为a （1，0) ， p=2,准线方程为 x=0，焦点 f 坐标为（ 2，0), 所以点 p 到点 b（0,1)的距离与点p到 y 轴的距离之和等于|pb+pf|，如图，|pb+|pf bf|，当 b、p、 f三点共线时取得最小值,此时 |bf=错误 !。21.（2004 年天津，理 14 文 15) 如果过两点a( a， 0） 和 b （0,a)的直线与抛物线y=x2- 2x- 3没有交点 ,那么实数a 的取值范围是.【答案】（- ,- 错误 !)。【解析】本小题主要考查直

18、线与抛物线的位置关系等基本知识。直线 ab的方程是 x+y=a,由错误 !，得x2- x3- a=0。若直线ab 与该抛物线没有交点，则=(- 1）24(3- a)=13+4a0,故 a-错误 !22.(2004 上海 ,文理 2) 设抛物线的顶点坐标为(2，0),准线方程为x=1， 则它的焦点坐标为 . 【答案】 (5,0）【解析】考查抛物线的基本概念解： 由抛物线的定义知， 顶点到准线的距离等于它到焦点的距离，设焦点坐标为(m,0） ,则 2+1=m-2 ,m=5 23. （2004 上海 ,理 7) 在极坐标系中 ,点 m （4,3) 到直线l： (2cos+sin ）=4 的距离d=

19、. b x y p f a o 【答案】2 155【解析】考查极坐标的概念及极坐标与直角坐标的互化化为直角坐标系下,点m(2, 2 3 ） 到直线 2x+y=4 的距离问题 由点到直线的距离公式,得 d22|222 34 |212 15524。（2004 上海 ,文理 11) 教材中“坐标平面上的直线与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是 . 【答案】用代数的方法研究图形的几何性质【解析】考查对教材知识体系的把握，此题型不多见25.(2004湖南，理 16)设 f 是椭圆16722yx的右焦点 ,且椭圆上至少有21 个不同的点 pi（i=1,2，3,） ，使 |fp1|,fp2, fp3

20、|，组成公差为d 的等差数列，则d的取值范围为。【答案】11,0)(0,1010【解析】7a，c=1,椭圆上的点到右焦点的最小距离为7 1，最大距离为7 1，当d0 时， fp17 1， fpn|7 1,d=1|1nfpfpn21n， n21,1010d，同理 ,当 d 0时,1010d故 d11,0)(0,101026. （2004 湖南 ,文 15） f1，f2是椭圆c:14822xx的焦点，在c 上满足 pf1pf2的点 p的个数为 _。【答案】 2 【解析】2 2a,2c,22e，设 p00(,)xy，则 pf1= 2 2 +022x ，|pf2= 2 2 022x , pf1 pf2

21、， |pf1|2+|pf2|2=|f1f2|2，即( 2 2 022x ）2（ 2 2 022x ）2=16，解得0 x =0，故在椭圆上存在两点即短轴的两顶点使pf1pf227. （ 2004重 庆 , 理16 ）对 任 意 实 数k ， 直 线 ：ykxb 与 椭 圆 ：32cos(02)14sinxy恒有公共点 ,则 b 取值范围是。【答案】 -1 ,3 【 解 析 】 直 线 ykxb 过 定 点 （ 0， b) ， 所 以 对 任 意 的 实 数k, 它 与 椭 圆22(3)(1)416xy1 恒有公共点的充要条件是(0， b）在椭圆上或其内部,22(03)(1)1416b,解得13

22、k. 28. （2004 北京春 , 理文 14)若直线 mx+ ny - 3=0 与圆 x2+y2=3 没有公共点，则m,n 满足的关系式为 _; 以(m，n）为点 p 的坐标，过点p 的一条直线与椭圆错误 !的公共点有 _个 .【答案】 0m2+n2错误 !,解得 00）的准线方程为x=错误 !。30。 （2004 上海春， 4）过抛物线y2=4x 的焦点 f 作垂直于x 轴的直线 ,交抛物线于a、b 两点 ,则以 f 为圆心、 ab 为直径的圆方程是_。【答案】 (x1)2+y2=4。【解析】 本小题主要考查抛物线的概念与几何性质，圆的概念与方程等基础知识, 以及运算能力. 解题中要注意

23、一些特殊结论的应用, 对于抛物线而言, 过焦点垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径 , 其长度等于2p。抛物线的焦点f的坐标为 (1,0 ） ， 因为 ab为抛物线的通径, 所以 ab 4, 即圆的半径为2，故圆的方程是（x- 1)2+y2=4。31。(2004 上海春， 10）若平移椭圆4(x+3)2+9y2=36，使平移后的椭圆中心在第一象限,且它与x轴、y轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是_。【答案】 错误 !. 【解析】本小题主要考查椭圆的性质、平移变换等基础知识, 以及数形结合的能力. 椭圆方程可化为 错误 !，因此椭圆的长半轴长为3，短半轴长为2。移后使椭圆与x轴、y轴分别

24、只有一个交点,即长轴的左项点在y 轴上 ,下顶点在x 轴上 ,又椭圆中心在第一象限，故中心坐标为(3，2)，此时椭圆方程为错误 !. 三、解答题32。 （2004 全国 i, 理 21 文 22) 设双曲线c：错误 !（a0）与直线l:x+y =1 相交于两个不同的点a、b. （i)求双曲线 c 的离心率 e 的取值范围 ; (ii ）设直线l 与 y 轴的交点为p，且5.12papb求 a 的值 .【解析】本题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力。解： (i）由 c 与 l 相交于两个不同的点，故知方程组2221,1.xyaxy有两个不同的实数解

25、。消去y 并整理得（1a2）x2+2a2x-2a2=0. 242210.48(1)0.021.aaaaaa所以解得且双曲线的离心率22111.021,622aeaaaaee且且6(,2)(2,).2e即离心率 的取值范围为(ii) 设1122(,), (,),(0,1)a x yb xyp1122125,125(,1)(,1).125.12papbxyxyxx由此得由于 x1+x2都是方程的根，且1-a20, 2222222222172.12152.1212289,601170,.13axaaxaaxaaa所以消去得由所以33.(2004 全国 ii,理 21 文 22）给定抛物线c：y2=4

26、x，f 是 c 的焦点，过点f 的直线 l与 c 相交于 a、b 两点。(i）设 l 的斜率为1,求oa与ob的夹角的大小；（ii)设affb,若4，9 ，求 l 在 y 轴上截距的变化范围.【解析】本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力，解： (i）c 的焦点为f（1,0） ，直线 l 的斜率为1,所以 l 的方程为y=x1。将 y=x1 代入方程y2=4x,并整理得x26x+1=0。设 a( x1，y1） ，b(x2，y2)，则有x1+x2=6，x1x2=1. 11221212(,) (,)oa obxyxyx xy y12122()13.x

27、 xxx22221122|oa obxyxy1212124()1641.x xx xxx3 14cos(,).41| |oa oboaoboaob故oa与ob夹角的大小为arccos错误 !。（ii）由题设 fbaf得（x2-1,y2)= (1-x1,y1） , 即错误 !由得 y22=2y12, y12=4x1， y22=4x2, x2=2x1, 联立、解得x2= ，依题意有0，b( ,2错误 !)，或（，2错误 !). 故直线 l 的方程为（1)y=2错误 !（x1）或 (1）=2错误 !(x1)。当4，9时，直线l 在 y 轴上的截距为 错误 !或 错误 !. 由 错误 !=错误 !,可

28、知 错误 !在 4， 9上是递减的，324423,413314直线 l 在 y 轴上截距的变化范围为433 4,.344 334.(2004 全国 iii、广西 , 理 21 文 22）设椭圆2211xym的两个焦点是f1(c， 0）与 f2（c，0）(c0)，且椭圆上存在点p, 使得直线pf2与直线 pf2垂直 . （i)求实数 m 的取值范围；（ii)设 l 是相应于焦点f2的准线 ,直线 pf2与 l 相交于点q.若错误 !，求直线pf2的方程 .【解析】本题主要考查直线和椭圆的基本知识，以及综合分析和解题能力. 解： （i）由题设有m0， c=错误 !.设点 p 的坐标为（ x0,y0

29、)，由 pf1pf2，得00001,yyxc xc化简得x02+y02=m. 将与220011xym联立，解得2220011,.mxymm由22010,0,1.mmxmm得所以 m 的取值范围是m1。（ii）准线 l 的方程为1,mxm设点 q 的坐标为（ x1,y1） ，则11.mxm212001|.|mmqfxcmpfcxmx将201mxm代入 ,化简得2222|11,|1qfmmpfmm由题设22|23|qfpf,得2123mm, 无解 . 将201mxm代入 ,化简得2222|11.|1qfmmpfmm由题设22|23|qfpf,得2123mm。解得 m=2. 从而0032,222xy

30、c, 得到 pf2的方程(32)(2).yx35. （2004 全国 iv，理 21 文 22）双曲线22221(1,0)xyabab的焦点距为2c，直线 l过点（ a，0）和（ 0， b), 且点 (1， 0)到直线l 的距离与点（1, 0)到直线l 的距离之和 s错误 !c，求双曲线的离心率e的取值范围【解析】本题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力. 解：直线 l 的方程为1xyab, 即bx+ay-ab= 0. 由点到直线的距离公式，且a1, 得到点 (1，0)到直线 l 的距离122(1)b adab，同理得到点 (1, 0)到直线 l 的距离222(1)b a

31、dab122222.ababsddcab由424,55absccc得即22252.acac于是得2242512,425250.eeee即解不等式，得255.4e由于 e1 所以 e 的取值范围是55.2e36.(2004 江苏， 21）已知椭圆的中心在原点,离心率为12，一个焦点是f(m,0)(m 是大于 0 的常数 )。(i)求椭圆的方程；（ii）设 q 是椭圆上的一点,且过点 f、q 的直线 l 与 y 轴交于点 m。若2mqqf ，求直线 l 的斜率 .【解析】本题主要考查椭圆的概念、方程与性质,以及向量、定比分点坐标公式的应用 ， 考 查 考 生 的 推 理 能 力 和 运 算 能 力

32、 . 求 直 线l 的 斜 率 ， 要 充 分 利 用 条 件“2mqqf ”实施几何特征向数量关系的转化：首先向量特征可转化为定比分点坐标问题，但要注意内、外分点两种情形的讨论；其次设直线斜率为k，用 k、m表示出 q 点的坐标；最后由q 点在椭圆上，列方程即可求解。解:（i)设所求椭圆方程为错误 !(ab0)。由已知中 , 得 c=m, 错误 !, 所以 a=2m, b=3m，故所求椭圆方程是错误 !。（ii）设 q（x0,y0） ，直线 l：y=k(x+m)，则点 m(0，km). 当2mqqf时, 由于 f(- m，0） ，m（ 0,km）,由定比分点坐标公式，得x0=错误 !， y0

33、=错误 !。又点 q在椭圆上 , 错误 !，解得k=2 6. 当2mqqf时，x0=错误 !， y0=错误 !. 于是错误 !, 解得k=0. 故直线 l 的斜率是0 或 2错误 !.37。 （2004 北京，理17）如图 ,过抛物线y2=2px(p0）上一定点p（x0，y0）(y00）,作两条直线分别交抛物线于a（ x1。 y1）,b(x2,y2）. (i）求该抛物线上纵坐标为p2的点到其焦点f 的距离 ; （ii)当 pa 与 pb 的斜率存在且倾斜角互补时,求120yyy的值 ,并证明直线ab 的斜率是非零常数 . y p o x a b 【解析】本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查

34、运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力. 解： （i)当 y=错误 !时， x=错误 !。又抛物线 y2=2px 的准线方程为x=- 错误 !,由抛物线定义得,所求距离为5()828ppp. (ii）设直线pa 的斜率为kpa,直线 pb 的斜率为kpb. 由 y12=2px1，y02=2px0，相减得：101010()()2 ()yyyyp xx, 故101010102()payypkxxxxyy。同理可得20202()pbpkxxyy, 由 pa、 pb 倾斜角互补知papbkk即102022ppyyyy, 所以1202yyy , 故1202yyy。设直线 ab 的斜率为kab，由22

35、22ypx，2112ypx，相减得212121()()2 ()yyyyp xx，所以211221122()abyypkxxxxyy。将12002(0)yyyy代入得1202abppkyyy, 所以 kab是非零常数 .38.(2004北京，文17）如图 ,抛物线关于x 轴对称 ,它的顶点在坐标原点，点p（ 1，2),a( x1,y1）,b(x2,y2)均在抛物线上. （i）写出该抛物线的方程及其准线方程；（ii）当 pa 与 pb 的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线ab 的斜率。【解析】本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力. y p

36、o x a b 解： (i）由已知条件,可设抛物线的方程为y2=2px。点 p(1，2）在抛物线上 , 22=2p 1，得 p=2 。故所求抛物线的方程是y2=4x，准线方程是x=1. （ii) 设直线 pa 的斜率为kpa,直线 pb 的斜率为kpb，则1112(1)2paykxx,2222(1)1pbykxx，pa 与 pb 的斜率存在且倾斜角互补, kpa=kpb。由 a( x1,y1),b（x2,y2)均在抛物线上，得2114yx（1）, 2224yx（2）1222121212221111442(2)4yyyyyyyy由（ 1）（ 2)得直线 ab 的斜率 : 21122112441(

37、)4abyykxxxxyy。39.(2004天津，理22 文 22）椭圆的中心是原点o，它的短轴长为22,相应于焦点f(c,0)(c0)的准线l与 x 轴相交于点a,of|=2|fa|，过点 a 的直线与椭圆相交于p、q 两点 . (1)求椭圆的方程及离心率; (2)若0op oq,求直线 pq 的方程；（3） （理科做，文科不做)设apaq（1),过点 p 且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点m，证明fmfq。【解析】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力。(1)解：由题意，可设椭圆的方程为2221(2)2xy

38、aa。由已知得2222,2().acaccc, 解得6,2ac。所以椭圆的方程为22162xy,离心率63e。（2)解：由（ 1)可得 a(3 ，0)。设直线 pq 的方程为y=k（x3)。由方程组221,62(3)xyyk x得2222(31)182760kxk xk，依题意212(23)0k，得6633k. 设1122(,),(,)p xyq xy，则21221831kxxk212227631kx xk由直线 pq 的方程得1122(3),(3)yk xyk x, 于是21212(3)(3)y ykxx212123()9kx xxx. 0op oq,12120 x xy y. 由得5k2=

39、1,从而566(,)533k。所以直线 pq 的方程为530 xy或530 xy. （3） （理科）证明：1122(3,),(3,)apxyaqxy. 由已知得方程组1212221122223(3),1,621.62xxyyxyxy注意1,解得2512x. 因11(2,0),(,)fm xy,故1121(2,)( (3)1,)fmxyxy1211(,)(,)22yy。而2221(2,)(,)2fqxyy,所以fmfq.40.(2004广东 ,20 ）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到

40、该中心的距离都是1020m，试确定该巨响发生的位置。 （假定当时声音传播x y o c p a a bn 的速度为340m/s,相关各点均在同一平面上)【解析】本题主要考查双曲线的概念与方程，考查考生分析问题和解决实际问题的能力 . 解：如图，以接报中心为原点o,正东、正北方向为x 轴、 y 轴正向，建立直角坐标系。设 a、b、c 分别是西、 东、北观测点， 则 a （ 1020,0 ） ，b(1020,0),c（0,1020) 。设 p（x,y）为巨响发生点，由a、 c 同时听到巨响声, 得|pa|=|pb|，故 p在 ac 的垂直平分线po上，po的方程为y=x, 因 b点比 a点晚 4s

41、 听到爆炸声 ,故|pb| |pa|=3404=1360 . 由双曲线定义知p点在以 a、b为焦点的双曲线错误 !上，依题意得a=680， c=1020，b2=c2- a2=10202- 6802=53402，故双曲线方程为错误 !.用 y=x 代入上式，得x=680错误 !，|pb|pa| ， x= 680 5,y=680 5, 即 p(680错误 !，680错误 !), 故 po=680错误 !.答: 巨响发生在接报中心的西偏北450距中心 68010 m 处。41.（2004 广东 ,22) 设直线 l 与椭圆2212516xy相交于 a、 b 两点，l 又与双曲线x2y2=1相交于 c

42、、d两点，c、d三等分线段ab 。 求直线 l 的方程 .【解析】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，以及推理运算能力和综合解题能力。解： 首先讨论 l 不与 x轴垂直时的情况， 设直线 l 的方程为 y=kx+b ,如图所示 ,l 与椭圆、双曲线的交点为a （x1,y1)， b(x2,y2),c(x3,y3)，d（x4，y4). 依题意有,3acdb abcd，由22,12516ykxbxy，得（16+25k2)x22bkx+(25b2400）=0 x1+x2=错误 !。由错误 !，得(1- k2） x2- 2bkx（ b2+1）=0若 k= 1，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意,故 k

43、1. x3+x4=错误 !, 由acdbx3- x1=x2- x4x1+x2=x3+x4 -50bk16+25k2=错误 !bk= 0k=0 或 b=0。(i）当 k=0 时,由得 x1，2=错误 !, 由得 x3，4=b2+1, 由3abcdx2x1=3（x4x3)，即错误 !b=错误 !, 故 l 的方程为y=错误 !。（ii ）当 b=0 时，由得x1，2=错误 !，y x o a b d c l 由得 x3，4=错误 !，由3abcdx2- x1=3（x4x3） ，即错误 !k=错误 !，故 l 的方程为y=错误 !x。再讨论 l 与 x 轴垂直的情况. 设直线 l 的方程为x=c,分

44、别代入椭圆和双曲线方程可解得，y1，2=错误 !,y3,4= 错误 !，由| ab =3| cd y2y1|=3|y4 y3|, 即错误 !c=错误 !，故 l 的方程为x=错误 !。综上所述 ,故 l 的方程为y=错误 !、y=错误 !x 和 x=错误 !. 42. （2004 福建 , 理 22) 如图， p 是抛物线c：y=错误 !x2上一点 ,直线 l 过点 p 且与抛物线 c 交于另一点q（i）若直线l 与过点 p的切线垂直，求线段pq 中点 m 的轨迹方程；（ii)若直线 l 不过原点且与x 轴交于点s,与 y 轴交于点 t,试求错误 !的取值范围【解析】本题主要考查直线、抛物线、

45、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力. 解： （i) 设 p(x1，y1)，q(x2，y2),m（ x0，y0)，依题意 x10,y10，y20。由 y=错误 !x2, 得 y =x. 过点 p 的切线的斜率k切=x1，直线 l 的斜率 kl=错误 !, 直线 l 的方程为y错误 !x12= 错误 !(x- x1）. 方法 1: 联立消去y,得x2+2x1x- x122=0. m 为 pq 的中点，错误 !, 消去 x1,得 y0=x02+错误 !+1(x00）, pq 中点 m 的轨迹方程为y=x2+错误 !+1(x0)。方法 2：由 y1=错误 !x12，

46、y2=错误 !x22，x0=错误 !,得y1- y2=错误 !x12错误 !x22=错误 !（x1+x2)（x1x2）=x0(x1x2)，则 x0=错误 !=kl=- 错误 !, x1=-1x0，将上式代入并整理,得y0=x02+错误 !+1(x00)，x y o p l s t m q pq 中点 m 的轨迹方程为y=x2+错误 !+1(x0)。(ii ）设直线l：y=kx+b，依题意k0，b0，则 t（0,b）. 分别过 p、q 作 pp x轴， qq y 轴，垂足分别为p 、q 。则错误 !. 由错误 !消去 x,得y22（k2+b)y+b2=0 则错误 !, 方法 1：错误 !=|b(

47、错误 !)2|b|错误 !=2|b错误 !=2. y1,y2可取一切不相等的正数，错误 !的取值范围是（2，+） . 方法 2: 错误 !=|b错误 !. 当 b0 时,错误 !=b 错误 !; 当 b0 时,错误 !=- b 错误 !。又由方程有两个相异实根，得=4(k2+b）2- 4b2=4k2（ k2+2b)0, 于是 k2+2b0，即 k2- 2b，所以 错误 !错误 !=2. 当 b0 时， 错误 !可取一切正数，错误 !的取值范围是(2,+). 方法 3：由 p、q、t 三点共线得ktq=ktp，即错误 !, 则x1y2 bx1=x2y1 bx2，即b(x2 x1） =（x2y1-

48、 x1y2)。于是b=错误 !, 错误 !=错误 !=错误 !2。错误 !可取一切不等于1 的正数，错误 !的取值范围是（2，+） 。43.(2004福建 , 文 21) 如图 ,p 是抛物线c：y=12x2上一点 ,直线 l 过点 p 并与抛物线c 在点 p 的切线垂直 ,l 与抛物线c 相交于另一点q（i)当点 p 的横坐标为2 时，求直线l 的方程 ; (ii ）当点 p在抛物线c 上移动时，求线段pq 中点 m 的轨迹方程，并求点m 到 x 轴的最短距离【解析】本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识, 求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力. 解： （ i) 把 x=2

49、 代入 y=错误 !x2，得 y=2, 点 p坐标为（ 2,2). 由 y=错误 !x2, 得 y =x。过点 p 的切线的斜率k切=2, x y o p l s t m q pqx y o p l m q 直线 l 的斜率 kl=错误 !，直线 l 的方程为y-2 =- 错误 !(x2） ，即 x+2y6=0. （ii ）设 p(x0,y0)，则 y0=错误 !x02. 过点 p 的切线斜率k切=x0,当 x0时不合意，x00，直线 l 的斜率 kl=- 错误 !，直线 l 的方程为y- 错误 !x02=错误 !（x x0). 方法 1: 联立消去y,得x2+错误 !x- x02- 2=0。

50、设 q（x1,y1),m( x,y), m 为 pq 的中点，错误 !，消去 x0，得 y=x2+错误 !+1（ x0）,就是所求轨迹方程. 由 x0 知 x20，y=x2+错误 !+122212xx+1错误 !+1. 上式等号仅当x2=错误 !,即 x=412时成立，所以点 m 到 x 轴的最短距离是错误 !+1. 方法 2：设 q(x1，y1),m （x,y） ，则y0=错误 !x02， y1=错误 !x12， x=错误 !,得y0- y1=错误 !x02错误 !x12=错误 !（x0+x1)(x0- x1)=x(x0- x1）, x=错误 !=kl=错误 !, x0= 错误 !, 将上式

51、代入并整理，得y=x2+12x2+1(x0), 就是所求轨迹方程。由 x0 知 x20，y=x2+错误 !+122212xx+1错误 !+1。上式等号仅当x2=错误 !,即 x=412时成立 , 所以点 m 到 x 轴的最短距离是错误 !+1. 44.(2004湖北，理 20 文 20）直线 l： y=kx+1 与双曲线c：2x2y2=1 的右支交于不同的两点 a、b. (i)求实数 k 的取值范围；（ii）是否存在实数k，使得以线段ab 为直径的圆经过双曲线c 的右焦点f？若存在 ,求出 k 的值 ;若不存在 ,说明理由。【解析】本题主要考查直线、双曲线的方程和性质,曲线与方程的关系，及其综

52、合应用能力。解： (）将直线l 的方程 y=kx+1 代入双曲线c 的方程 2x2y2=1 后，整理得：22(2)220.kxkx依题意，直线l 与双曲线 c 的右支交于不同两点,故2222220,(2 )8(2)0,20220.222.kkkkkkkk解得 的取值范围是（）设 a、b 两点的坐标分别为（x1，y1), (x2，y2）,则由式得1222222,22.2kxxkxxk假设存在实数k,使得以线段ab 为直径的圆经过双曲线c 的右焦点f(c，0)。则由 fafb 得：12121212()()0.()()(1)(1)0.xcxcy yxcxckxkx即整理得221212(1)()()1

53、0.kx xkcxxc把式及 c=错误 !代入式化简得252 660.kk解得665k66( 2,2)()5k或舍去可知665k使得以线段ab 为直径的圆经过双曲线c 的右焦点 .45。(2004 浙江 , 文 22 理 21）已知双曲线的中心在原点,右顶点为a(1，0),点 p、q 在双曲线的右支上，点m(m,0)到直线 ap 的距离为1，若直线ap 的斜率为k，且 k3, 33, 求实数 m 的取值范围 ; 当 m=2 +1 时,apq 的内心恰好是点m，求此双曲线的方程。o a x y 【解析】解：（ ) 由条件得直线ap的方程(1),yk x即0.kxyk因为点 m到直线 ap的距离为

54、1, 21,1mkkk即221111kmkk. 3, 3,3k2 312,3m解得2 33+1m 3 或- 1m 12 33。o a x y p q m m的取值范围是2 32 3 1,11,3.33( ) 可设双曲线方程为2221(0),yxbb由(21,0),(1,0),ma得2am. 又因为 m是 apq的内心， m到 ap的距离为1，所以 map=45 o,直线 am是 paq的角平分线，且 m到 aq 、pq的距离均为1。因此 ,1, 1aqapkk(不妨设p在第一象限）直线pq方程为22x. 直线 ap的方程 y=x-1 ，解得 p的坐标是 (2+2 ，1+2 ）,将 p点坐标代入

55、1222byx得,22123b所以所求双曲线方程为22(23)1,21xy即22(221)1.xy46。(2004 上海，文20) 如图，直线 y=21x 与抛物线y=81x2-4 交于 a、b 两点 , 线段ab的垂直平分线与直线y=5 交于 q点. (1) 求点 q的坐标 ; (2 ） 当 p为抛物线上位于线段ab下方( 含 a、b) 的动点时 , 求 opq 面积的最大值 . b a o q p x y 【解析】解 : 解方程组212148yxyx，得42xy或84xy,即 a（ 4， 2),b（8,4),从而 ab的中点为m （2,1） 。由 kab=12，直线 ab的垂直平分线方程y

56、1=12( x2）.令 y=5, 得 x=5，q(5， 5) (2) 直线oq的方程为x+y=0，设 p(x，18x2 4） 。点p 到直线oq 的距离d=21482xx=218328 2xx，52oq,sopq21oq d2583216xx. p 为抛物线上位于线段ab下方的点 , 且 p 不在直线oq上 ,4x43 4 或 43 4x8。函数y=x2+8x32 在区间 4,8 上单调递增，当 x=8 时， opq的面积取到最大值30. 47.（2004 湖南文 22,理 21) 如图， 过抛物线x2=4y 的对称轴上任一点p(0，m） （m0）作直线与抛物线交于a，b 两点 ,点 q 是点

57、 p 关于原点的对称点. (i)设点 p 分有向线段ab所成的比为，证明：()qpqaqb; (ii ）设直线 ab 的方程是 x2y+12=0，过 a、b 两点的圆c 与抛物线在点a 处有共同的切线，求圆c 的方程【解析】解： （）依题意，可设直线ab 的方程为,mkxy代入抛物线方程yx42得.0442mkxx 设a 、 b 两 点 的 坐 标 分 别 是),(11yx、122),(xyx则、x2是方程的两根。所 以.421mxx由 点p(0 ， m) 分 有 向 线 段ab所 成 的 比 为， 得.,012121xxxx即又点 q 是点 p关于原点的对称点,故点 q 的坐标是（ 0,m)

58、,从而(0,2)qpm. 1122(,)(,)qaqbxymxym= 1212(,(1).xxyym12()2(1)qpqaqbm yym221121222(1) 44xxxxmnxx1212242()4x xmm xxx122442()0.4mmm xxx所以().qpqaqb（ )由,4,01222yxyx得点 a、b 的坐标分别是（6，9） 、(4，4）. 由yx2得,21,412xyxy所以抛物线yx42在点 a 处切线的斜率为36xy设圆 c 的方程是222()(),xaybr则222291,3(6)(9)(4)(4) .bababab解之得32a,232b,222125(4)(4).2rab所以圆 c 的方程是22323125()(),222xy