2021_2022学年高中数学第3章圆锥曲线与方程模块复习课第4课时圆锥曲线中最值定点综合问题课后巩（精编版）

1、第 4 课时圆锥曲线中最值、定点综合问题课后篇 巩固提升a 组1. 过抛物线y2= 8x 的焦点 ,作倾斜角为45°的直线 ,则被抛物线截得的弦长为()a .8b.16c.32d.64答案 b2. 已知点 f 为抛物线y2 =x 的焦点 ,点 a,b 在该抛物线上且位于x 轴的两侧 ,= 2(其中 o 为坐标原点 ),则abo 与 afo 面积之和的最小值是()a .2b.3c.d.答案 b3.(2020 全国 ,文 11) 设 f 1,f2 是双曲线c: x2-= 1 的两个焦点 ,o 为坐标原点 ,点 p 在 c 上且|op|= 2,则pf 1f 2 的面积为 ()a.b.3c.

2、d.2答案 b4. 已知过椭圆c:= 1(a>b> 0)的左顶点a 且斜率为 k 的直线交椭圆c 于另一个点b,且点 b 在 x 轴上的射影恰为右焦点f,若<k< ,则椭圆 c 的离心率的取值范围是.答案5. 已知点 p 在椭圆 7x2+ 4y2= 28 上,则点 p 到直线 3x-2y-16= 0 的距离的最大值为.答案6. 已知直线l 与抛物线y2= 4x 交于 a,b 两点,o 为坐标原点 ,若=- 4,则直线 l 恒过的定点m 的坐标是.答案 (2,0)7.如图 ,设 p 是圆 x2+y 2= 2 上的动点 ,点 d 是点 p 在 x 轴上的投影 ,m 为 pd

3、 上一点 ,且|pd|=|md|,当点 p在圆上运动时 ,记点 m 的轨迹为曲线c.(1) 求证曲线c 是焦点在 x 轴上的椭圆 ,并求其方程 ;(2) 设椭圆 c 的右焦点为f 2,直线 l :y=kx+m 与椭圆 c 交于 a,b 两点 ,直线 f2 a 与 f 2b 的倾斜角互补,求证直线 l 过定点 ,并求出该定点的坐标.解 (1)设点 m 的坐标为 (x,y),点 p 的坐标为 (xp,yp),由已知 ,得 点 p 在圆 x2+y 2= 2 上, x2+ (y)2= 2,即+y 2 =1, 曲线 c 是焦点在x 轴上的椭圆 ,其方程为 +y 2 = 1.5(2)由消去 y,得(2k2

4、 +1) x2+ 4kmx+ 2m2-2= 0.设 a(x1,y1),b(x2,y2 ),则 x1+x 2=- ,x1x2=. f 2 的坐标为 (1,0), ,由直线 f 2a 与 f2b 的倾斜角互补,得= 0,即 = 0,化简得 2kx1x2+ (m-k)( x1+x 2)-2m= 0, 2k·-2m= 0,整理得 m=- 2k. 直线 l 的方程为y=k (x-2), 直线 l 过定点 ,定点坐标为 (2,0) .8. 已知椭圆e:= 1(a>b> 0)的左、右焦点分别为f 1,f2 ,离心率 e=,点 d(0,1) 在椭圆 e 上.(1) 求椭圆 e 的方程 ;

5、(2) 设过点 f 2 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆e 于 a,b 两点 ,线段 ab 的垂直平分线与x 轴交于点g(t,0),求点 g 的横坐标t 的取值范围 .解 (1)由题意 ,知 b= 1,e2= , a2= 2,a= , 椭圆 e 的方程为 +y 2= 1. (2)设直线 ab 的方程为y=k (x-1)( k0),代入 +y 2 =1,整理得 (1+ 2k2)x2- 4k2x+ 2k2 -2=0.设 a(x1,y1),b(x2 ,y2 ),ab 的中点 n(x0 ,y0),则 x1+x 2= ,x1x2= ,x0= ( x1+x 2)= ,y0=k (x0-1)=-.ab 的垂直平

6、分线ng 的方程为y-y0=- (x-x0),令 y= 0,得 t=x 0+ky 0=. k 0, 0<t<. 点 g 的横坐标t 的取值范围为 .9. 已知抛物线y2= 2x 的焦点是f,点 p 是抛物线上的动点,点 a(3,2) .(1) 求|pa|+|pf| 的最小值 ,并求出取最小值时点p 的坐标 ;(2) 求点 p 到点 b 的距离与点p 到直线 x=- 的距离之和的最小值.解 (1)将 x= 3 代入 y2= 2x,得 y= ± . > 2, 点 a 在抛物线内部 .设抛物线上点p 到准线 l :x=- 的距离为d, 由抛物线的定义,知|pa|+|pf|

7、=|pa|+d, 当 pa l 时,|pa|+d 最小,最小值为 ,即|pa|+|pf| 的最小值为 ,此时点 p 的纵坐标为2,代入 y2= 2x,得 x= 2. 点 p 的坐标为 (2,2) .(2)设抛物线上点p 到准线 l 的距离为d,由于直线 x=- 即为抛物线的准线,根据抛物线的定义,得|pb|+d=|pb|+|pf| |bf| ,当且仅当b,p,f三点共线时取等号,而|bf|= , |pb|+d 的最小值为 . 10.如图 ,在 abc 中,|ab|=|ac|=,|bc|= 2,以 b,c 为焦点的椭圆恰好过ac 的中点 p.(1) 求椭圆的标准方程;(2) 过椭圆的右顶点a1

8、作直线 l 与圆 e:( x-1)2+y 2= 2 相交于 m,n 两点,试探究点m,n 能否将圆 e 分割成弧长比为1 3 的两段弧 ,若能 ,求出直线l 的方程 ; 若不能 ,请说明理由 .解 (1)设椭圆的标准方程为= 1( a>b> 0). |ab|=|ac|= ,|bc|= 2, |bo|=|oc|= 1,|oa|= , b(-1,0),c(1,0), a, p. 2a=|pb|+|pc|=4,a= 2.又 c= 1, b2=a 2-c2= 3. 椭圆的标准方程为= 1.(2)椭圆的右顶点a1(2,0), 圆 e 的圆心为e(1,0),半径 r=. 假设点m ,n 能将圆

9、e 分割成弧长比为1 3 的两段弧 ,则 men= 90°,圆心 e(1,0) 到直线 l 的距离 d=r= 1.当直线 l 的斜率不存在时,l 的方程为x= 2,此时圆心 e(1,0)到直线 l 的距离 d= 1,满足题意 .当直线 l 的斜率存在时 ,设 l 的方程为 y=k( x-2),即kx-y- 2k= 0, 圆心 e(1,0)到直线 l 的距离 d= 1,无解 .综上,点 m,n 能将圆 e 分割成弧长比为 13 的两段弧 ,此时 l 的方程为 x= 2.b 组1.(2016 四川高考 )设 o 为坐标原点 ,p 是以 f 为焦点的抛物线y2= 2px(p> 0)上

10、任意一点 ,m 是线段 pf上的点 ,且|pm|= 2|mf| ,则直线 om 的斜率的最大值为()a.b.c.d.1答案 c2.在平面直角坐标系xoy 中,点 p 为双曲线 x2- 2y2= 1 的右支上的一个动点,若点 p 到直线 x-y+= 0 的距离大于 c 恒成立 ,则实数 c 的最大值为 ()a .2b.c.d.答案 c3.已知椭圆 = 1(a 为定值 ,且 a> )的左焦点为f,直线 x=m 与该椭圆交于点a,b, fab 的周长的最大值是 12,则该椭圆的离心率是.答案4. 已知 f 1,f2 分别为双曲线 = 1(a> 0,b> 0)的左、右焦点 ,p 为双

11、曲线右支上任意一点,若的最小值为8a,则该双曲线的离心率的取值范围是.答案 (1,35.如图 ,在平面直角坐标系 xoy 中,离心率为的椭圆 c:= 1(a>b> 0)的左顶点为 a,过原点 o 的直线 (与坐标轴不重合 )与椭圆 c 交于 p,q 两点 ,直线 pa,qa 分别与 y 轴交于 m,n 两点.若当直线 pq 的斜率为时,|pq|= 2.(1) 求椭圆 c 的标准方程 ;(2) 试问以 mn 为直径的圆是否经过定点 (与直线 pq 的斜率无关 )?请证明你的结论 .解 (1) 当直线 pq 的斜率为时 ,|pq|= 2,此时可设p,= 3, = 2, = 1. e=

12、,a2= 4,b2= 2. 椭圆 c 的标准方程为= 1. (2)以 mn 为直径的圆过定点(± ,0), 证明如下 :设 p(x0,y0),则 q( -x0,-y0), 且= 1,即+ 2= 4. a(-2,0), 直线 pa 的方程为y= (x+ 2),m. 又直线 qa 的方程为y=(x+ 2), n,以 mn 为直径的圆为 (x-0)( x-0) += 0,即 x2+y 2-y+= 0, -4=- 2, x2+y 2+y- 2=0,令 y= 0,则 x2-2= 0,解得 x= ± , 以 mn 为直径的圆过定点(± ,0).6. 已知抛物线的顶点在坐标原点

13、,准线方程为x= 1,f 是焦点 ,过点 a(- 2,0)的直线与抛物线交于p(x1,y1),q(x2,y2)两点 ,直线 pf,qf 分别交抛物线于点m,n.(1) 求抛物线的方程及 y1y2 的值 ;(2) 若直线 pq,mn 的斜率都存在 ,记直线 pq ,mn 的斜率分别为 k1,k2,证明 :为定值 .解 (1)依题意 ,设抛物线方程为y2=- 2px(p> 0), 由准线 x= 1,得 p= 2,所以抛物线方程为y2=- 4x.由题意 ,设直线 pq 的方程为x=my- 2,代入 y2=- 4x,消去 x,整理得 y2+ 4my-8= 0,从而 y1y2=- 8.(2)设 m

14、( x3,y3),n(x4,y4),则.设直线 pm 的方程为x=ny- 1,代入 y2=- 4x,消去 x,整理得 y2+ 4ny-4= 0,所以 y1 y3=- 4,同理 y2y4=- 4.故,为定值 .7. 已知椭圆 c:= 1(a>b> 0)的离心率是 ,其左、右顶点分别为 a1,a2,b 为短轴的一个端点 , a1ba 2 的面积为 2.(1) 求椭圆 c 的方程 ;(2) 若直线 l :x= 2 与 x 轴交于点d,点 p 是椭圆 c 上异于 a1,a2 的动点 ,直线 a1p,a2p 分别交直线l 于e,f 两点 ,证明 :|de| ·|df| 恒为定值 .解 (1)由已知 ,得解得 a= 2,b=.故所求椭圆c 的方程为 = 1.(2)由(1) 可知 a1(-2,0),a2(2,0).设 p(x0,y0),依题意 -2<x 0< 2,于是直线a1p 的方程为y