2022版高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式学案含解析（精编版）

1、1 同角三角函数的基本关系与诱导公式考试要求 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2 cos2 1，sin cos tan . 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出2 ，的正弦、余弦、正切的诱导公式1 同角三角函数的基本关系式(1)平方关系： sin2 cos2 1；(2)商数关系： tan sin cos . 提醒： 平方关系对任意角都成立，而商数关系中 k 2，k z. 2 诱导公式组序一二三四五六角2k (kz) 22正弦函数sin sin sin sin cos cos_余弦函数cos cos cos cos_sin sin 正切函数tan tan tan tan_口诀函数名不变，

2、符号看象限函数名改变，符号看象限常用结论 同角三角函数的基本关系式的几种变形(1)sin2 1cos2 (1cos )(1cos )；cos2 1sin2 (1sin )(1 sin )(2)(sin cos )21 2sin cos . (3)sin tan cos k 2， kz. 2 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)若 ，为锐角，则sin2 cos2 1.() (2)若 r，则 tan sin cos 恒成立 () (3)sin( ) sin 成立的条件是为锐角 () (4)若 sin(k )23(kz)，则 sin 23.() 答案 (1)(2)(3)(4)二、教

3、材习题衍生1化简 sin 690的值是 () a12b12c32d32bsin 690sin(72030 ) sin 3012.故选 b. 2若 sin 55，2 ，则 tan _. 122 ， cos 1sin2 2 55， tan sin cos 12. 3已知 tan 2，则sin cos sin cos 的值为 _3原式tan 1tan 121213. 4化简cos 2sin52 sin( ) cos(2 )的结果为 _sin2 原式sin cos (sin ) cos sin2 . 考点一同角三角函数基本关系式的应用“ 知一求二 ”问题3 对 sin ，cos ，tan 的知一求二问

4、题(1)利用 sin2 cos2 1 可实现 的正弦、 余弦的互化， 利用sin cos tan 可以实现角的弦切互化(2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系 ”公式求平方根， 会出现两解， 需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论1若 2，sin( )35，则 tan () a43b43c34d34c因为 2， sin 35，所以 cos 45，所以 tan 34，故选 c. 2已知 tan 2， 32，则 sin cos () a3 55b55c5 d55a由 tan sin cos 2，得 sin 2cos . 代入

5、 sin2 cos2 1 得 cos2 15. 又 32， cos 55，sin tan cos 255， sin cos 355，故选 a. 3(多选 )已知2 2，且 sin cos a，其中 a(0,1) ，则关于 tan 的值，下列选项中，可能正确的是() a12b13c13d2 ac因为 sin cos a，a (0,1)，4 两边平方得12sin cos a2，解得 sin cos a2120. 所以2 0，且 cos sin . 借助于三角函数线可知，4 0， 1tan 0，所以 tan 的值可能是13，12，故选 ac. 已知 tan 求 sin ，cos 齐次式的值若已知正切

6、值， 求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，对于分母为1的二次式，可用sin2 cos2做分母求解典例 1 1(1)已知sin 3cos 3cos sin 5，则 cos2 12sin 2的值是 () a35b35c 3 d3 (2)已知 4，4，sin cos 15，则 tan () a34b34或43c34d34或34(1)a(2)a(1)由sin 3cos 3cos sin 5 得tan 33tan 5，可得 tan 2，则 cos2 12sin 2cos2 sin cos cos2

7、 sin cos cos2 sin21tan 1tan235.故选 a. (2)由 sin cos 15，得 1 2sin cos 125，即 2sin cos 2425. 又 2sin cos 2sin cos sin2 cos22tan 1tan22425， 12tan2 25tan 120，5 解得 tan 43或 tan 34. 又 4，4， tan ( 1,1)， tan 34，故选 a. 点评： 解题中要注意sin2 cos2 1 的应用sin cos 与 sin cos 关系的应用对于 sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，知一可求二，若令 sin co

8、s t(t 2，2)，则 sin cos t212，sin cos 2t2(注意根据的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用典例 1 2已知 x( ，0)，sin x cos x15. (1)求 sin xcos x 的值；(2)求sin 2x2sin2x1tan x的值解(1)由 sin xcos x15，平方得 sin2x2sin xcos xcos2x125，整理得 2sin xcos x2425. (sin xcos x)212sin xcos x4925. 由 x ( ，0)，知 sin x0，又 sin xcos x0， cos x0，则 sin x cos x0，故 sin x

9、cos x75. (2)sin 2x2sin2x1tan x2sin x cos xsin x1sin xcos x2sin xcos x cos xsin xcos xsin x6 2425157524175. 点评： 利用 sin cos 0(sin cos 0)可知 sin ，cos 同号还是异号，再结合角的范围或 sin cos 的正负，可进一步确定sin ，cos 的正负跟进训练 1若 |sin | |cos |2 33，则 sin4 cos4 () a56b1718c89d23b因为 |sin |cos |233，两边平方， 得 1|sin 2 |43，所以 |sin 2 |13，

10、所以 sin4cos4 12sin2 cos2 112sin22 1718.故选 b. 2已知tan tan 1 1，则(1)sin 3cos sin cos _；(2)sin2 sin cos 2_. (1)53(2)135由tan tan 1 1 得 tan 12. (1)sin 3cos sin cos tan 3tan 153. (2)sin2 sin cos 23sin2 sin cos 2cos2sin2 cos23tan2 tan 2tan2 131221221221135. 3已知 为第二象限角，sin ，cos 是关于 x 的方程 2x2(31)xm0(mr)的两根，则 m_

11、，sin cos _. 32132因为 sin ，cos 是方程 2x2(31)xm0(m r)的两根，所以sin 7 cos 132，sin cos m2，可得 (sin cos )212sin cos 1m232，解得 m32.因为 为第二象限角，所以sin 0， cos 0，即 sin cos 0，因为 (sin cos )212sin cos 1m132，所以 sin cos 132132. 考点二诱导公式的应用1.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤任意负角的三角函数 利用诱导公式三或一任意正角的三角函数 利用诱导公式一02 的角的三角函数 利用诱导公式二或四或五锐

12、角三角函数也就是： “负化正，大化小，化到锐角就好了”2 明确三角函数式化简的原则和方向(1)切化弦，统一名(2)用诱导公式，统一角(3)用因式分解将式子变形，化为最简也就是： “统一名，统一角，同角名少为终了”典例2(1)设 f( )2sin cos cos 1 sin22 cos32 sin22(12sin 0)，则 f 236_. (2)已知 cos6a，则 cos56sin23的值是 _(1)3(2)0(1) 因为 f( )2sin cos cos 1 sin 2sin cos22sin cos cos 2sin2 sin cos 12sin sin 12sin 1tan ，所以 f

13、2361tan2361tan4 61tan 63. (2)因为 cos56cos 6 cos6 a，sin23sin268 cos6a，所以 cos56sin230. 点评： 在使用诱导公式时，若不是诱导公式的标准形式，如：sin 2，cos( )等，先化为标准形式，再用诱导公式化简跟进训练 1若 sin 是方程 5x27x60 的根，则sin 32sin32 tan22 cos2cos2sin () a35b53c45d54b方程 5x27x60 的两根分别为x12 和 x235， sin 35. 则sin 32sin32 tan22 cos2cos2sin sin2 cos tan2sin

14、 sin sin cos2 sin2cos2sin31sin 53，故选 b. 2计算： sin(1 200 )cos 1 290cos(1 020 )sin(1 050 )tan 945_. 2原式 sin 120 cos 210 cos 60 sin 30 tan 225 sin 120 cos 30 cos 60 sin 30 tan 45341412. 3已知 sin313，则 cos56_. 13由题意知， cos56cos23 sin313. 考点三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求基本思路分析结构特点，选择恰当公式；利用公

15、式化成单角三角函数；整理得最简形式9 化简要求化简过程是恒等变换；结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值典例 3已知 f(x)cos2n x sin2n xcos2 2n 1 x(n z)(1)化简 f(x)的表达式；(2)求 f2 018f5041 009的值解(1)当 n 为偶数，即n2k(k z)时，f(x)cos22k x sin22k xcos2 22k1 xcos2x sin2xcos2 xcos2x sin x2cos x2 sin2x；当 n 为奇数，即n2k1(k z)时，f(x)cos2 2k 1 x sin2 2k1 xcos22 2k1 1 xcos22k x sin22k x cos22 2k1 x cos2 x sin2 xcos2 xcos x2sin2xcos x2sin2x，综上得 f(x)sin2x. (2)由(1)得 f2 018 f5041 009sin22 018 sin21 008 2 018sin22 018 sin222 018sin22 018 cos22 0181. 跟进训练 1已知 为锐角，且2tan( )3cos250，tan( )6sin(