二次根式和一元二次方程家教辅导资料

1、二次根式与 与与 与与与 与 与 与与 与 与 与 与 与 与与 与 与与 与 与 与应知一、基本概念二次根式 ：一般形如（ a 0）的代数式叫做二次根式。a是一个非 负数（ a 0）。a【 注意】 表示 a 的算术平方根。 a可以是数 ,也可以是式。 形式上含有a二次根号。 a 0, 0 ( 双重非 负性)。 既可表示开方运算 ,也可表示运a算的结果。最简二次根式 ：被开方数不含分母，并且被开方数中所有因式的冪的指数都小于2， 这样的二次根式叫最 简二次根式。【 注意】 被开方数不含分母； 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； 式子的分母中不含分式。同类二次根式 ：几个二次根式化成最简二次

2、根式后，如果被开方数相同， 这几个二次根式就叫做同 类二次根式。二、基本法则1. 二次根式的性 质： a 0 ; 0 (双重非 负性 )。a ()2=a （ a 0） (任何一个非 负数都可以写成一个数的平方的形式)。a【 注意】 a 0 时，=a； a0）abab【 注意】 =（ a 0， b0）abab 二次根式除法，通常是先化成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算，有时可以约分，有时可以利用公式，运算的 结果都要化成最 简二次根式。加减法：二次根式加减 时，可以先将二次根式化成最 简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并(二次根式的加减 类似于合并同 类项的运算 )。二次根式加减

3、运算的步 骤： (1)将不是最 简二次根式的 项化为最简二次根式； (2)将32323232相同的最 简二次根式 (即同类二次根式 )进行合并【 注意】 进行二次根式加减运算 时，关 键是准确的化成最 简二次根式。 不是同 类二次根式的二次根式 (如与)不能合并。23提醒：二次根式仍然满足整式的运算 规律。(4)二次根式混合运算：二次根式的混合运算与 实数中的运算 顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。应会1. 判断二次根式。2. 化简二次根式。课外知识(2007 年华东师大版教材未 编入)1. 互为有理化因式： 互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平

4、方差公式（a+b）（a-b） =a2-b2，同 时它们的积是有理数，不含有二次根式：如 x+1-与 x+1+就是互 为有理化因式；与也是互 为有理化因22xx22xxx1x式2. 分母有理化 是指把分母中的根号化去，通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的分母有理化有时还可以通 过约分来进行。例题1下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、 、（ x0）、2331xx、 -、（ x 0， y 0）04221xyxy2. 当 x 是多少 时，在实数范围内有意 义？31x3. 当 x 是多少 时， (1)+在实数范围内有意 义？23x11x4. 填空：当a 0 时，=_

5、；当aa， 则 a 可以是什么数？2a5. 已知，且x 为偶数，求（ 1+x）的值9966xxxx22541xxx6. 已知 4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2） -（ x2-5x）的 值293xx3xy1xyx7. 已知=， a+b=1， 则 ab=_ab128. 若最简根式与根式是同类二次根式，求 a、 b343a bab23226abbb的值（ 同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）9. 如图所示的 rtabc 中， b=90 ，点p从点 b 开始沿 ba 边以 1 厘米/秒的速度向点 a 移动；同 时，点q 也从点 b 开始沿 bc 边以 2 厘米/秒的速度向点 c

6、移动 问：几秒后 pbq 的面积为 35 平方厘米？ pq 的距离是多少厘米？（结果用最 简二次根式表示）参考答案1. 解：二次根式有：、（ x0）、 -、（ x 0， y 0）；不是二次根式的2x02xy有：、 、331x421xy2.解：由3x-1 0，得： x13当 x 时，在实数范围内有意 义1331x观察与分析：二次根式 应满足两个条件：第一，有二次根号“” ；第二，被开方数是正数或0观察与分析：由二次根式的定 义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1 0，才能有意 义31x观察与分析：要使+在实数范围内有意 义，必 须同时满足23x11x中的 0 和中的 x+1 023x1

7、1xbacqp3. 解：依 题意，得由 得： x -由 得： x -1 23010 xx32当 x -且 x -1 时，+在实数范围内有意 义3223x11x4.解：（1）因 为=a，所以a 0；2a（ 2）因 为=-a，所以a 0；2a（ 3）因 为当 a 0 时=a，要使a，即使aa所以 a 不存在；当aa，即使-aa， a0综上， a02a2a5. 解：由 题意得，即 6x 99060 xx96xx x 为偶数 x=8观察与分析：=a（ a 0）， 要填第一个空格可以根据 这个结论，第二空2a格就不行，应变形，使“ （）2” 中的数是正数，因 为，当a 0 时，=，2a2()a那么-a

8、0（ 1）根据 结论求条件；（ 2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（ 3）根据（ 1）、（ 2）可知= a ，而 a 要大于 a，只有什么时候才能保 证呢？a0时才能成立因此得到 9-x 0abab且 x-60，即6x 9，又因为 x 为偶数，所以 x=8 原式=（ 1+x）=（ 1+x）=（ 1+x）=(4)(1)(1)(1)xxxx41xx4(1)xx(1)(4)xx 当 x=8 时，原式的值=6496. 解： 4x2+y2-4x-6y+10=0 4x2-4x+1+y2-6y+9=0 （ 2x-1）2+（ y-3）2=0 x=， y=312原式=+y2-x2+5x293xx3xy1xyx

9、=2x+-x+5xxyxxy=x+6xxy=32162121=632417. 解：已知=， a+b=1，ab12则，41bab2aba43ab2167ab4baba22741ba观察与分析：本题首先将已知等式 进行变形，把它配成完全平方式，得（ 2x-1）2+（ y-3）2=0，即x=， y=3其次，根据二次根式的加减运算，先把各 项化成最12简二次根式，再合并同 类二次根式，最后代入求 值观察与分析：将已知等式两 边分别平方，可求得， 进而求得43ab2，再通过求得的值。329ab22baba329ab28. 解：首先把根式化为最简二次根式：23226abbb=|b| 23226abbb2(

10、216)ba26ab由题意得432632ababab24632abab a=1， b=19. 解： 设 x 后pbq 的面积为 35 平方厘米 , 则有 pb=x， bq=2x, 依题意，得：x2x=35, x2=35 , x=1235所以秒后pbq的面积为 35 平方厘米35pq=52222245535pbbqxxx7答：秒后pbq 的面积为 35平方厘米，pq 的距离 为 5厘米357观察与分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同； 事实上，根式不是最简二次根式，因此把23226abbb化简成|b| ，才由同类二次根式的定 义得 3a-23226abbb26ab，

11、 2a-b+6=4a+3b观察与分析：将已知等式两 边分别平方，可求得， 进而求得43ab2，再通过求得的值。329ab22baba第二十三章一元二次方程知 识结构 ：实际问题分析数量 关系一元二次方程检 验一元二次 方 程的 解法因式分 解 法直 接开平方 法一元二次方程的解公式 法(配方)应知一、基本概念一元二次方程：两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（ a 0）。一元二次方程的根：一元二次方程的解叫做一元二次方程的根【注意】由 实际问题 列出方程并解得的根，并不一定是 实际问题 的

12、解，还要检验这些根是否符合 题意，符合题意的才真正是 实际问题 的解二、基本法则1. 解一元二次方程的方法直接开平方法：利用平方根的定 义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方bax2)(根的定 义可知，当时，当b0 时，方程没有实数0bbaxbax根。因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。配方法： 配方法是将一元二次方程的一般形式： ax2+bx+c=0（ a 0） 变形为的形式，然后求解的方法。其理 论根据是完全平方公式nmx2，把公式中的 a看做未知数

13、 x，并用x 代替，则有222)(2bababa。配方法是一种重要的数学方法，它不 仅在解一元二次方222)(2bxbbxx程上有所 应用，而且在数学的其他 领域也有着广泛的 应用。公式法： 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程的求根公式：)0(02acbxax)04(2422acbaacbbx2. 解一元二次方程的步 骤 因式分解法解一元二次方程的步骤：首先把方程右 边化为为零，左 边通过因式分解化 为两个一次因式乘 积，由于两个一次因式相乘 为零，第一个因式为零或第二个因式 为零，可各解得一个根。【注意】使用因式分解法解一元二次方程 时千万

14、别约去两边含未知数的等式，否则，将会失去一个根。 用配方法解一元二次方程的步骤：（ 1）移 项；（ 2）化二次 项系数为 1；（ 3）方程两 边都加上一次 项系数的一半的平方；（ 4）原方程 变形为（ x+m）2=n 的形式；（ 5）如果右 边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右 边是负数， 则一元二次方程无解【注意】用配方法解一元二次方程，当二次项系数不 为一时，一定要化为一，然后才能方程两 边同时加上一次 项系数一半的平方。 用求根公式解一元二次方程的关键是先把方程化 为 ax2+bx+c=0（ a 0）的形式，当 b2-4ac 0 时，方程的解为 x=，当b2-4ac0，即（

15、m-4）2+1 0 不论 m 取何值， 该方程都是一元二次方程2. 解： 设 6x+7=y 则 3x+4=12y+12， x+1=16y-16依题意，得： y2（12y+12）（16y-16） =6去分母，得： y2（ y+1）（y-1） =72y2（ y2-1） =72， y4-y2=72（ y2-12）2=2894y2-12=172y2=9 或 y2=-8（舍） y=3当 y=3 时， 6x+7=3 6x=-4 x=-23当 y=-3 时， 6x+7=-3 6x=-10 x=-53所以，原方程的根 为 x1=-23， x2=-533. 观察与分析：要证明不论 m 取何值， 该方程都是一元二

16、次方程，只要 证明m20 即可。观察与分析：因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复 杂，如果把（ 6x+7）看 为一个数 y，那么（ 6x+7）2=y2，其它的 3x+4=12（ 6x+7）+12， x+1=16（ 6x+7） -16，因此，方程就 转化为 y的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法。观察与分析：（ 1） 设经过 x 秒钟，使spbq=8cm2，那么ap=x， pb=6-x， qb=2x，由面积公式便可得到一元二次方程的数学模型（ 2） 设经过 y 秒钟， 这里的 y6 使pcq 的面积等于 12.6cm2因 为ab=6， bc=8，由勾股定理得： ac=10，又由于p

17、a=y， cp=（ 14-y）， cq=（ 2y-8），又由友情提示，便可得到 dq，那么根据三角形的面 积公式即可建模。解：（1） 设 x 秒，点p在 ab 上，点q 在 bc 上，且使pbq 的面积为 8cm2则：12（ 6-x） 2x=8整理，得： x2-6x+8=0解得： x1=2， x2=4 经过 2 秒，点p 到离 a 点 12=2cm 处，点q 离 b 点 22=4cm 处，经过 4 秒，点p到离 a 点 14=4cm处，点q 离 b 点 24=8cm处，所以它们都符合要求（ 2） 设 y 秒后点 p 移到 bc 上，且有 cp=（ 14-y） cm，点q 在 ca 上移动，且使

18、 cq=（ 2y-8） cm， 过点 q 作 dq cb，垂足为 d， 则有dqcqabac ab=6， bc=8 由勾股定理，得： ac=2268=10 dq=6(28)6(4)105yy则：12（ 14-y） 6(4)5y=12.6整理，得： y2-18y+77=0解得： y1=7， y2=11即经过 7 秒，点p在 bc 上距 c 点 7cm 处（ cp=14-y=7），点 q 在 ca 上距 c 点 6cm 处（ cq=2y-8=6），使 pcd 的面积为 12.6cm2经过 11 秒，点p在 bc 上距 c 点 3cm 处，点q 在 ca 上距 c 点14cm10， 点 q 已超过

19、ca 的范围，即此解不存在 本小题只有一解 y1=74. 解： 设每年人均住房面 积增长率为 x，则： 10（ 1+x）2=14.4观察与分析：设每年人均住房面 积增长率为 x 一年后人均住房面 积就应该是 10+10 x=10 （ 1+x）；二年后人均住房面 积就应该是 10（ 1+x） +10（ 1+x）x=10（ 1+x）2（ 1+x）2=1.44直接开平方，得 1+x=1.2即 1+x=1.2， 1+x=-1.2所以，方程的两根是 x1=0.2=20%， x2=-2.2因为每年人均住房面 积的增长率应为正的，因此， x2=-2.2 应舍去所以，每年人均住房面 积增长率应为 20%5.

20、解： （ 1）存在根据 题意，得： m2+1=2 m2=1 m= 1当 m=1 时， m+1=1+1=2 0当 m=-1 时， m+1=-1+1=0（不合 题意，舍去） 当 m=1 时，方程为 2x2-1-x=0a=2， b=-1， c=-1b2-4ac=（ -1）2-4 2（ -1） =1+8=9x=( 1)913224x1=， x2=-12因此， 该方程是一元二次方程 时， m=1，两根x1=1， x2=-12（ 2）存在根据 题意，得： m2+1=1， m2=0， m=0因为当 m=0 时，（ m+1） +（ m-2） =2m-1=-1 0所以 m=0 满足题意 当 m2+1=0， m

21、不存在 当 m+1=0，即m=-1 时， m-2=-3 0所以 m=-1 也满足题意当 m=0 时，一元一次方程是 x-2x-1=0，解得： x=-1当 m=-1 时，一元一次方程是 -3x-1=0观察与分析：能（ 1）要使它 为一元二次方程，必 须满足 m2+1=2，同 时还要满足（ m+1） 0（ 2）要使它 为一元一次方程，必 须满足:211(1)(2)0mmm或21020mm或1020mm解得 x=-13因此，当m=0 或-1 时， 该方程是一元一次方程，并且当m=0 时，其根为 x=-1；当m=-1时，其一元一次方程的根 为 x=-136. 解： 设这种存款方式的年利率 为 x则：

22、1000+2000 x80%+（ 1000+2000 x8%） x80%=1320整理，得： 1280 x2+800 x+1600 x=320，即8x2+15x-2=0解得： x1=-2（不符，舍去），x2=18=0.125=12.5%答：所求的年利率是 12 5%7. 解：（1）从 题意可知，商场要想平均每天盈利120元，甲种贺年卡应降价 0.1元（ 2）乙种 贺年卡： 设每张乙种贺年卡应降价 y 元，则：（0.75-y）（200+0.25y34 ） =120即（34-y）（200+136y） =120整理：得68y2+49y-15=0y=496481268 y -0.98（不符 题意， 应

23、舍去）观察与分析：设这种存款方式的年利率 为 x，第一次存 2000 元取 1000 元，剩下的本金和利息是1000+2000 x 80% ；第二次存，本金就 变为1000+2000 x80%，其它依此类推。观察与分析：原来，两种贺年卡平均每天的盈利一 样多，都是 150元；0.30.751000.10.2534，从 这些数目看，好象两种 贺年卡每 张降价的 绝对量一样大，其实并非如此。y 0.23 元答：乙种 贺年卡每 张降价的 绝对量大【注意】从以上一些 绝对量的比 较，不能说明其它 绝对量或者相 对量也有同样的变化规律8. 解：（1） 设渠深为 xm则渠底为（ x+0.4） m，上口宽为

24、（ x+2） m依题意，得：12（ x+2+x+0.4） x=1.6整理，得： 5x2+6x-8=0解得： x1=45=0.8m， x2=-2（舍） 上口宽为 2.8m，渠底为 1.2m（ 2）1.6 75048=25天答：渠道的上口宽与渠底深各是 2.8m 和 1.2m；需要25 天才能挖完渠道。9. 解：（1）从刹 车到停车所用的路程是 25m；从刹 车到停车的平均 车速是2002=10（ m/s）观察与分析：因为渠深最小，为了便于 计算，不妨设渠深为 xm， 则上口宽为 x+2， 渠底为 x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模。观察与分析：分析：（ 1） 刚刹车时时 速还是 20m/s，以后逐渐减少，停车时时速为 0 因为刹车以后，其速度的减少都是受摩擦力而造成的，所以可以理解是匀速的，因此，其平均速度 为2002=10m/s，那么根据：路程 =速度 时间，便可求出所求的 时间（ 2）很明 显， 刚要刹车时车 速为 20m/s，停 车车速为 0， 车速减少 值为20-0=20，因 为车速减少 值 20，是在从刹车到停车所用的时间内完成的，所以 20除以从刹 车到停车的时间即可（ 3） 设刹车后汽车滑行到 15m 时约用除以 xs 由于