2022版高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第1节任意角蝗制及任意角的三角函数学案含解析

1、三角函数、解三角形全国卷五年考情图解高考命题规律把握1. 考查形式从高考题型、 题量来看， 一般有两种方式： 两个小题或一个小题另加一个解答题，分值为10 分或 17 分左右2. 考查内容(1) 客观题主要考查三角函数的 定义， 图象与性质， 同角三角函数关系，诱导公式，和、差、倍角公式，正弦、余弦定理等知识(2) 解答题涉及知识点较为综 合涉及三角函数图象与性质、三角恒等变换与解三角形知识 较为常见 .任意角、弧度制及任意角的三角函数考试要求 1. 了解任意角的概念和弧度制的概念.2. 能进行弧度与角度的互化.3. 理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义1. 角的概念的推广(1) 定

2、义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形9(2) 分类按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3) 终边相同的角： 所有与角终边相同的角，连同角 在内， 可构成一个集合s |k ·360°， k z 提醒： 终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同2. 弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：r角 的弧度数公式| l (弧长用 l 表示)角度与弧度的换算 1° 180180rad； 1 rad °弧长公式弧长 l

3、 |r扇形面积公式s 112提醒： 有关角度与弧度的两个注意点2lr 2|r(1) 角度与弧度的换算的关键是 180 °，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用(2) 利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度3. 任意角的三角函数(1)定义(x 0)设角 终边与单位圆交于p(x， y)，则 sin y， cos x， tan yx拓展： 任意角的三角函数的定义(推广 )设 p(x， y)是角 终边上异于顶点的任一点，其到原点o 的距离为r ，则 siny r ，cosx r，tan y(x 0)x(2) 三角函数值在各象限内符号为正的口诀一全正，二正弦，三正

4、切，四余弦(3) 几何表示： 三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在x 轴上， 余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)如图中有向线段mp ， om， at 分别叫做角 的正弦线、余弦线和正切线常用结论 1. 象限角2. 轴线角一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角() (2)角 的三角函数值与其终边上点p 的位置无关() (3)不相等的角终边一定不相同()(4)若 为第一象限角，则sin cos 1.() 答案 (1)×(2) (3) ×(4) 二、教材习题衍生1. 若 满足 si

5、n 0， cos 0，则 的终边在 ()a 第一象限b 第二象限c第三象限d 第四象限dsin 0， cos 0，的终边落在第四象限2. 下列与94 的终边相同的角的表达式中正确的是()9a 2k45°(k z )b k·360 ° 4k( z )5c k·360 ° 315 °(k z)d k 4 (k z)99 c4 2 4，4 与4终边相同又角度制与弧度制不可同时混用，故选c.3. 角 225 ° 弧度，这个角的终边落在第 象限5答案 4二4. 设角 的终边经过点p(4 ， 3)，那么 2cos sin .11 由已知

6、并结合三角函数的定义，得sin 3， 55445cos 5，所以 2cos sin 2× 311 5 5 .5. 一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为 rad.rad. 弦和两条半径构成等边三角形，因此这条弦所对的圆心角大小为33考点一象限角及终边相同的角1. 象限角的两种判断方法图象法在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角转化法先将已知角化为k·360° (0 ° 360°， kz)的形式，即找出与已知角终边相同的角，再由角 终边所在的象限判断已知角是第几象限角*)所在象限的步骤2. 求或 n(n

7、n n(1) 将 的范围用不等式(含有 k，且 kz) 表示(2) 两边同除以n 或同乘 n.(3) 对 k 进行讨论，得到或 n(nn n*)所在的象限1. 集合 k k， k z中的角所表示的范围(阴影部分 )是() 4abcdb当 k 2n(nz )时， 2n 2n4(nz )，此时 的终边和0 4的终边相同；(n当 k 2n 1(nz )时， 2n 2n 545z )，此时 的终边和 4 的终边相同，故选 b.2. 设 是第三象限角，且cos cos ()22，则 2是a 第一象限角b 第二象限角c第三象限角d 第四象限角b是第三象限角， 2k 322k，kz ， 32 k 2 4 k

8、， kz ，2的终边落在第二、四象限，又 cos cos cos 0，222， 是第二象限角 23. 与 2 010 终°边相同的最小正角是 150 ° 与 2 010 °终边相同的角可表示为 2 010 °k·360 °，kz ，又当 k 6 时， 150°，故与 2 010 °终边相同的最小正角为150°.4. 终边在直线y3x 上的角的集合是 k， k z终边在直线y3x 上且在第一象限的角为2k33(kz )，终边在直线y3x 上且在第三象限的角为 2k 3(2 k 1) (k3z )则终边在直线

9、y3x 上的角的集合为 k， kz. 3点评： 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角考点二扇形的弧长及面积公式的应用有关弧长及扇形面积问题的注意点(1) 利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度(2) 求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决(3) 在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形典例 1已知一扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l. (1)若 60°，r 10 cm，求扇形的弧长l ；(2) 已知扇形的周

10、长为10 cm，面积是 4 cm 2，求扇形的圆心角；(3) 若扇形周长为20 cm，则当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？3rad解(1) 60° ，所以 l ·r× 10 3103 (cm) 2r r 10，r 1，r 4，(2) 由题意得12·r2 4? 8(舍去 )或1 2.故扇形圆心角为12rad.(3) 由已知得l 2r20，lr所以 s 121(20 2r)r 10rr2 (r5) 2 25，所以当 r 5 cm 时，s 取得最大2值 25 cm2，此时 l 10 cm， 2 rad. 跟进训练 1. 若圆弧长度等于圆内接正三角

11、形的边长，则其圆心角的弧度数为()a 6b 3c 3d 3d如图，等边三角形abc 是半径为r 的圆 o 的内接三角形，则线段2 ab 所对的圆心角 aob 3 ，作 om ab，垂足为m，在 rtaom 中， ao r，aom 3am 32 r， ab3r ，l 3r ，l由弧长公式得 r3rr3.2. 已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是() a 2b sin 22c sin 1d 2sin 1c如图，aob2 弧度，过o 点作 ocab 于 c，并延长oc 交ab于 d .则aod bod 1 弧度，1且 ac 2ab 1，在 rtaoc 中，aoacsina

12、oc1sin 1，即r1sin 1，2从而ab 的长为 l ·r sin 1.故选 c.3. 已知扇形弧长为20 cm，圆心角为100 °，则该扇形的面积为 cm2.360由弧长公式l |r ，2036得 r 100 ，1801所以 s 扇形 2lr 1× 20×36360.2考点三三角函数的定义及应用利用三角函数的定义求值三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法(1) 已知角 的终边上的一点p 的坐标，求角的三角函数值 方法：先求出点p 到原点的距离，再利用三角函数的定义求解(2) 已知角 的一个三角函数值和终边上一点p 的横坐标或纵坐标，求与角有关的

13、三角函数值方法：先求出点p 到原点的距离(带参数 )，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题(3) 已知角 的终边所在的直线方程(y kx， k0)，求角 的三角函数值方法：先设出终边上一点p(a， ka)，a 0，求出点p 到原点的距离(注意 a 的符号，对a 分类讨论 )，再利用三角函数的定义求解典例 2 1(1)(多选 )角 的终边上一点p(a,2a)(a 0)，则 2sin cos 的值可取 ()55a 5b 535c 535d 5(2)若角 的终边经过点p(3， m)( m 0)，且 sin 24 m，则 cos .(3)若角 的终边在直线y43x 上，

14、求 sin ， cos 和 tan 的值6(1)cd(2) 4(1) p(a,2a)为角 的终边上一点，且a 0，当a 0 时， sin 2a2a22255 ，a 2a5aacos 2535 5 ，2sin cos 5；a 2a 2当 a 0 时， sin 2555， cos 5 ，352sin cos 5.35综上可知， 2sin cos ± 5 ，故选 cd.(2)r m2 3，由 sin mm2 32 4 m，整理得 m2 5，则 r m238 22.3cos 2264 .43(3) 解由题意知tan ，4当角 终边落在第二象限，设角终边上一点p( 3,4)， r 5，sin

15、5， cos 3 5；当角 终边落在第四象限，设角终边上一点p(3， 4)，r 5， sin4 5，cos 3 .5点评： 充分利用三角函数的定义解题是解答此类问题的关键，对于含字母的方程求解要注意字母的范围三角函数值的符号判断已知一角的三角函数值(sin ， cos ，tan )中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角终边的位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况典例 2 2(1)(2020 全·国卷 )若 为第四象限角，则()a cos 2 0b cos 20c sin 2 0d sin 2 0cos (2)若 sin ·tan 0，且 tan

16、 0，则角 是()a 第一象限角b 第二象限角c第三象限角d 第四象限角(3)若 sin x 0，且 sin(cos x) 0，则角 x 是()a 第一象限角b 第二象限角c第三象限角d 第四象限角(1)d(2) c(3)d(1) 是第四象限角，sin 0， cos 0，sin 2 2sin cos 0，故选 d.(2) 由 sin ·tan 0 可知 sin ， tan 异号，则 为第二象限角或第三象限角由cos 10tan 0 可知 cos ，tan 异号，则为第三象限角或第四象限角综上可知，为 第三象限角，故选c.(3) 由 1 cos x 1，且 sin(cos x) 0 知 0 cos x 1， 又 sin x0，角x 是第四象限角，故选d.跟进训练 1. 函数 ylog a(x 3) 2(a 0 且 a 1)的图象过定点p，且角 的顶点在原点，始边与 x 轴非负半轴重合，终边过点p，则 sin cos 的值为 ()76a 5b 5535c 5d 5d函数 y log a(x 3)2 的图象恒过定点p(4,2)，且角 的终边