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1、1 / 7 一轮大题专练一轮大题专练 15导数(数列不等式的证明导数(数列不等式的证明 1) 1已知函数( )(cos1)sinf xaxblnxxx=+ (1)若1a =,0b =,证明:( )f x在区间(0, )内存在唯一零点; (2)若0a =,b=, ()证明:(0,)2x时,( )0f x ; ()证明:211sin() (1)23ninln nlnnn=+(其中2n,且)nn+ 证明:(1)若1a =,0b =,则( )cos1sinf xxxx= +,( )cosfxxx=, 当(0,)2x时,( )0fx,当(, )2x时,( )0fx, ( )f x在(0,)2上单调递增,
2、在(, )2上单调递减, 又(0)0,()0,( )202fff= , ( )f x在区间(0, )内存在唯一零点; (2)若0a =,b=,则( )sin ,( )cossinf xlnxxx fxxxxx= += +, ()( )tan cossin2sinfxxxxxxx += +, 令( )2sin ,(0,)2g xx xx= +,易知( )g x在(0,)2上单调递增, ( )()02g xg=,即( )0fx, ( )f x在(0,)2上单调递减, 2( )()(1)022224f xflnln= +=,即得证; ()当2n,nn+时,1(0,)32n+, 又1113nn+ +,
3、故11sin()sin(1)3nn+,则1111sin()sin(1)3nnnnnn+, 由()知,(0,)2x时,sinxxlnx, 令1,2,3,4,kxknk+=,11111sin()sin(1)3nnnlnnnnnn+, 313 414sin(),sin(),2322 3333lnln+,111sin()3nnlnnnn+, 以上各式相加得,2 / 7 314111341sin()sin()sin()()232333323nnlnlnlnnnn+, 即2111sin()32ninnlnnn=+,即211sin() (1)23ninln nlnnn=+,即得证 2已知函数( )(1)f
4、xxlnx=+ (1)求曲线( )yf x=在点(1,f(1))处的切线方程; (2)求证:2*227(2)23(2,)1632lnlnln nnnnnn+ 解:(1)函数( )(1)f xxlnx=+,f(1)0=, 1( )xfxlnxx+=+,f (1)2=, 曲线( )yf x=在1x =处的切线方程为:02(1)yx=, 2(1)yx=; (2)证明:令( )(1)2(1)h xxlnxx=+,(0,)x+, 则11( )21( )xh xlnxlnxu xxx+=+=+ =, 22111( )0 xu xxxx=, 函数( )u x在(1,)x+单调递增, ( )( )h xu x
5、u =(1)0=, 函数( )h x在(1,)x+单调递增, ( )h xh(1)0= 当1x 时:(1)2(1)xlnxx+, 令22xn=,则化为:222(2)2113111ln nnnnn=+, 21113ln ,711624ln,14111235ln,222(2)2113111ln nnnnn=+, 222714(2)11132116123212lnlnlnln nnnnn+ +,2n,*nn, 2*227(2)23(2,)1632lnlnln nnnnnn+ 3设函数 (1)若1a =,求( )f x的极值; (2)讨论函数( )f x的单调性; (3)若*nn,证明:2222123
6、(1)234(1)nln nn+ 3 / 7 解:(1)( )f x的定义域是(0,)+, 当1a =时,1(21)(1)( )21xxfxxxx+= =, 令( )0fx,解得:1x ,令( )0fx,解得:01x, ( )f x在(0,1)递减,在(1,)+递增, ( )f xf=极小值(1)0=,无极大值 (2)(2)(1)( )2(2)(0)axa xfxxaxxx+=+=, 当0a时,若( )0fx,则1x ,若( )0fx,则01x, ( )f x在(0,1)递减,在(1,)+递增; 当012a 即20a 时, 若( )0fx,则02ax 或1x ,若( )0fx,则12ax, (
7、 )f x在(2a,1)递减,在(0,)2a,(1,)+递增; 当12a=,即2a =时,( ) 0fx恒成立, ( )f x在(0,)+上单调递增; 当12a即2a 时, 若( )0fx,则01x或2ax ,若( )0fx,则12ax , ( )f x在(1,)2a递减,在(0,1),(2a,)+递增, 综上:当2a 时,( )f x在(0,1)递增,在(1,)2a递减,在(2a,)+递增, 当2a =时,( )f x在(0,)+递增, 当20a 时,( )f x在(0,)2a递增,在(2a,1)递减,在(1,)+递增, 当0a时,( )f x在(0,1)递减,在(1,)+递增 (3)由(1
8、)知2( )f xxxlnx=在(0,1)递减, (0,1)x 时,2xxlnxf(1)0=,2xxlnx, 令1nxn=+,得22(1)nxxn= +, 21(1)1nnnlnlnnnn+= +,即21(1)nnlnnn+, 4 / 7 2122ln,23223ln,24334ln,21(1)nnlnnn+, 累加得:2222341123223234(1)nnlnlnlnlnnn+, 2222123(1)234(1)nln nn+ 4已知函数( )f xlnx=,2( )g xx= (1)若不等式( )1f xax 对(0,)x+恒成立,求实数a的范围; (2)若正项数列na满足112a =
9、,12 ()(1)nnnng aaa a+=+,数列na的前n项和为ns,求证:221nsne+ 解:(1)不等式( )1f xax 对(0,)x+恒成立, 1lnxax+对(0,)x+恒成立, 设1( )(0)lnxf xxx+=,则2( )lnxf xx= , 令( )0f x,解得01x,令( )0f x,解得1x , 故( )f x在(0,1)递增,在(1,)+递减, ( )maxf xf=(1)1=, a的取值范围是1,)+; (2)证明:取1a =,由(1)可知1lnx x 对(0,)x+恒成立, 则(1)lnxx+,2( )g xx=,12 ()(1)nnnng aaa a+=+
10、,112a =, 2122(1)1nnnnnnaaaa aa+=+, 1111122nnaa+=+,11111(1)2nnaa+ =, 1112(1)2 (1)nnnnaa+=, 数列12 (1)nna是常数列, 1112 (1)2(1)2nnaa=, 112(0,1)21nnna=+, 1111221(1)(1)(21)(21)2121nnnnnnnnalnalnlnlnln+=+=+, 5 / 7 (tex translation failed), 212nnse+,221nsne+,原结论成立 5已知函数( )11f xlnxax= +,0a ()讨论( )f x的单调性; ()证明:*
11、1222()3 34 4(2)2lnlnlnnnnnn+ 解:()由于21(11)( )02121aaxfxxaxx ax = , 故( )f x在1 ,)a+上单调递减 ()证明:当2a =时,( )211f xlnxx= + 由()知( )f x在1 ,)2+上单调递减 注意到f(1)0=,则当1x 时,恒有211lnxx 取*11()xnnn= +,有12(1)11lnnn+,即1(1)1122lnnnnn+, 又2(21)2()2(2)212lnnlnnnnlnnlnnnnnnn+, 因此111(1)(1)(1)1211111121111222()2(1)2223 34 4(2)234
12、12132411212lnlnlnlnlnlnnlnnlnnlnnnnnnnnnnnnn+=+ 6函数( )sin1f xxax=+ (1)12a =,求( )f x的单调区间; (2)若( )cosf xx在0 x,上恒成立,求实数a的取值范围; (3)令函数( )( )1g xf xax=+,求证:2382 2()()()()151515155gggg+ 解:(1)12a =,1( )sin12f xxx=+,1( )cos2fxx=, 当2233kxk+,kz时,( )0fx, 当52233kxk+,kz时,( )0fx, 所以( )f x的单调递增区间是(2,2)33kk+,kz, 6
13、 / 7 ( )f x的单调递减区间是5(2,2)33kk+,kz (2)不等式恒成立等价于cossin1 0axxx+, 令( )cossin1h xaxxx=+,则由(0) 0( ) 0() 02hhh,可得到2a, cossin1yaxxx=+可以看作是关于a的一次函数,单调递增, 令2( )cossin1xxxx=+, 对于2a,0 x ,( )( )h xx恒成立, 只需证明2( )cossin1 0 xxxx=+即可, 22( )sincos2sin()4xxxx=+, 1当(0,)2x,sincos2sin()(1, 24xxx+=+, 则22( )sincos10 xxx= ,( )x在(0,)2上单调递减,又( )0 x=, 所以此时( )0 x恒成立 2当3(, )4x时,22( )sincos2sin()04xxxx=+恒成立; 3当3(,)24x时,22( )sincos2sin()4xxxx=+单调递增, ()02,3()04,所以在3(,)24上存在唯一的0 x,使得0()0 x=, 当0(0,)xx时,( )0 x,当0(xx,)时,( )0 x, 所以( )x在0(0,)xx时单调递减,在0(xx,)时单调递增, (0)0=,( )0 =,0()0 x, ( )0 x恒成立,故( )( )0
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