一轮大题专练15—导数（数列不等式的证明1）-2022届高三数学一轮复习

1、1 / 7 一轮大题专练一轮大题专练 15导数（数列不等式的证明导数（数列不等式的证明 1） 1已知函数( )(cos1)sinf xaxblnxxx=+ （1）若1a =，0b =，证明：( )f x在区间(0, )内存在唯一零点； （2）若0a =，b=， （）证明：(0,)2x时，( )0f x ； （）证明：211sin() (1)23ninln nlnnn=+（其中2n，且)nn+ 证明：（1）若1a =，0b =，则( )cos1sinf xxxx= +，( )cosfxxx=， 当(0,)2x时，( )0fx，当(, )2x时，( )0fx， ( )f x在(0,)2上单调递增，

2、在(, )2上单调递减， 又(0)0,()0,( )202fff= ， ( )f x在区间(0, )内存在唯一零点； （2）若0a =，b=，则( )sin ,( )cossinf xlnxxx fxxxxx= += +， （）( )tan cossin2sinfxxxxxxx += +， 令( )2sin ,(0,)2g xx xx= +，易知( )g x在(0,)2上单调递增， ( )()02g xg=，即( )0fx， ( )f x在(0,)2上单调递减， 2( )()(1)022224f xflnln= +=，即得证； （）当2n，nn+时，1(0,)32n+， 又1113nn+ +，

3、故11sin()sin(1)3nn+，则1111sin()sin(1)3nnnnnn+， 由（）知，(0,)2x时，sinxxlnx， 令1,2,3,4,kxknk+=，11111sin()sin(1)3nnnlnnnnnn+， 313 414sin(),sin(),2322 3333lnln+，111sin()3nnlnnnn+， 以上各式相加得，2 / 7 314111341sin()sin()sin()()232333323nnlnlnlnnnn+， 即2111sin()32ninnlnnn=+，即211sin() (1)23ninln nlnnn=+，即得证 2已知函数( )(1)f

4、xxlnx=+ （1）求曲线( )yf x=在点(1，f（1）)处的切线方程； （2）求证：2*227(2)23(2,)1632lnlnln nnnnnn+ 解：（1）函数( )(1)f xxlnx=+，f（1）0=， 1( )xfxlnxx+=+，f （1）2=， 曲线( )yf x=在1x =处的切线方程为：02(1)yx=， 2(1)yx=； （2）证明：令( )(1)2(1)h xxlnxx=+，(0,)x+， 则11( )21( )xh xlnxlnxu xxx+=+=+ =， 22111( )0 xu xxxx=， 函数( )u x在(1,)x+单调递增， ( )( )h xu x

5、u =（1）0=， 函数( )h x在(1,)x+单调递增， ( )h xh（1）0= 当1x 时：(1)2(1)xlnxx+， 令22xn=，则化为：222(2)2113111ln nnnnn=+， 21113ln ，711624ln，14111235ln，222(2)2113111ln nnnnn=+， 222714(2)11132116123212lnlnlnln nnnnn+ +，2n，*nn， 2*227(2)23(2,)1632lnlnln nnnnnn+ 3设函数 （1）若1a =，求( )f x的极值； （2）讨论函数( )f x的单调性； （3）若*nn，证明：2222123

6、(1)234(1)nln nn+ 3 / 7 解：（1）( )f x的定义域是(0,)+， 当1a =时，1(21)(1)( )21xxfxxxx+= =， 令( )0fx，解得：1x ，令( )0fx，解得：01x， ( )f x在(0,1)递减，在(1,)+递增， ( )f xf=极小值（1）0=，无极大值 （2）(2)(1)( )2(2)(0)axa xfxxaxxx+=+=， 当0a时，若( )0fx，则1x ，若( )0fx，则01x， ( )f x在(0,1)递减，在(1,)+递增； 当012a 即20a 时， 若( )0fx，则02ax 或1x ，若( )0fx，则12ax， (

7、 )f x在(2a，1)递减，在(0,)2a，(1,)+递增； 当12a=，即2a =时，( ) 0fx恒成立， ( )f x在(0,)+上单调递增； 当12a即2a 时， 若( )0fx，则01x或2ax ，若( )0fx，则12ax ， ( )f x在(1,)2a递减，在(0,1)，(2a，)+递增， 综上：当2a 时，( )f x在(0,1)递增，在(1,)2a递减，在(2a，)+递增， 当2a =时，( )f x在(0,)+递增， 当20a 时，( )f x在(0,)2a递增，在(2a，1)递减，在(1,)+递增， 当0a时，( )f x在(0,1)递减，在(1,)+递增 （3）由（1

8、）知2( )f xxxlnx=在(0,1)递减， (0,1)x 时，2xxlnxf（1）0=，2xxlnx， 令1nxn=+，得22(1)nxxn= +， 21(1)1nnnlnlnnnn+= +，即21(1)nnlnnn+， 4 / 7 2122ln，23223ln，24334ln，21(1)nnlnnn+， 累加得：2222341123223234(1)nnlnlnlnlnnn+， 2222123(1)234(1)nln nn+ 4已知函数( )f xlnx=，2( )g xx= （1）若不等式( )1f xax 对(0,)x+恒成立，求实数a的范围； （2）若正项数列na满足112a =

9、，12 ()(1)nnnng aaa a+=+，数列na的前n项和为ns，求证：221nsne+ 解：（1）不等式( )1f xax 对(0,)x+恒成立， 1lnxax+对(0,)x+恒成立， 设1( )(0)lnxf xxx+=，则2( )lnxf xx= ， 令( )0f x，解得01x，令( )0f x，解得1x ， 故( )f x在(0,1)递增，在(1,)+递减， ( )maxf xf=（1）1=， a的取值范围是1，)+； （2）证明：取1a =，由（1）可知1lnx x 对(0,)x+恒成立， 则(1)lnxx+，2( )g xx=，12 ()(1)nnnng aaa a+=+

10、，112a =， 2122(1)1nnnnnnaaaa aa+=+， 1111122nnaa+=+，11111(1)2nnaa+ =， 1112(1)2 (1)nnnnaa+=， 数列12 (1)nna是常数列， 1112 (1)2(1)2nnaa=， 112(0,1)21nnna=+， 1111221(1)(1)(21)(21)2121nnnnnnnnalnalnlnlnln+=+=+， 5 / 7 (tex translation failed)， 212nnse+，221nsne+，原结论成立 5已知函数( )11f xlnxax= +，0a （）讨论( )f x的单调性； （）证明：*

11、1222()3 34 4(2)2lnlnlnnnnnn+ 解：（）由于21(11)( )02121aaxfxxaxx ax = ， 故( )f x在1 ,)a+上单调递减 （）证明：当2a =时，( )211f xlnxx= + 由（）知( )f x在1 ,)2+上单调递减 注意到f（1）0=，则当1x 时，恒有211lnxx 取*11()xnnn= +，有12(1)11lnnn+，即1(1)1122lnnnnn+， 又2(21)2()2(2)212lnnlnnnnlnnlnnnnnnn+， 因此111(1)(1)(1)1211111121111222()2(1)2223 34 4(2)234

12、12132411212lnlnlnlnlnlnnlnnlnnlnnnnnnnnnnnnn+=+ 6函数( )sin1f xxax=+ （1）12a =，求( )f x的单调区间； （2）若( )cosf xx在0 x，上恒成立，求实数a的取值范围； （3）令函数( )( )1g xf xax=+，求证：2382 2()()()()151515155gggg+ 解：（1）12a =，1( )sin12f xxx=+，1( )cos2fxx=， 当2233kxk+，kz时，( )0fx， 当52233kxk+，kz时，( )0fx， 所以( )f x的单调递增区间是(2,2)33kk+，kz， 6

13、 / 7 ( )f x的单调递减区间是5(2,2)33kk+，kz （2）不等式恒成立等价于cossin1 0axxx+， 令( )cossin1h xaxxx=+，则由(0) 0( ) 0() 02hhh，可得到2a， cossin1yaxxx=+可以看作是关于a的一次函数，单调递增， 令2( )cossin1xxxx=+， 对于2a，0 x ，( )( )h xx恒成立， 只需证明2( )cossin1 0 xxxx=+即可， 22( )sincos2sin()4xxxx=+， 1当(0,)2x，sincos2sin()(1, 24xxx+=+， 则22( )sincos10 xxx= ，( )x在(0,)2上单调递减，又( )0 x=， 所以此时( )0 x恒成立 2当3(, )4x时，22( )sincos2sin()04xxxx=+恒成立； 3当3(,)24x时，22( )sincos2sin()4xxxx=+单调递增， ()02，3()04，所以在3(,)24上存在唯一的0 x，使得0()0 x=， 当0(0,)xx时，( )0 x，当0(xx，)时，( )0 x， 所以( )x在0(0,)xx时单调递减，在0(xx，)时单调递增， (0)0=，( )0 =，0()0 x， ( )0 x恒成立，故( )( )0