一轮大题专练19—解三角形（面积问题2）-2022届高三数学一轮复习

1、1 / 7 一轮大题专练一轮大题专练 19解三角形（面积问题解三角形（面积问题 2） 1在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若3sincoscaccb= （1）求角b的大小； （2）若6c=，2a =，f为边ac上一点，且2cfbf=，求abf的面积 解：（1）由3sincoscaccb=得sinsin3sinsinsincoscabcbc=， 即sinsin()3sinsinsincoscbcbcbc+=， 所以sinsincossincos3sinsinsincoscbccbbcbc=， 因为sin0c ， 化简的3sincos1bb+=， 即1sin()62b+=， 由b

2、为三角形内角得23b=； （2）bcf中，由正弦定理得sinsincfbfcbfbcf=， 所以12sin22sin2bfcfbcfcbfbfbf=， 故4cbf=， 所以512abfafb= =， 所以abf的面积122sin126s= = 2在abc中，a，b，c分别是角a，b，c的对边，若cos(2)cos0bcacb+= （）求b； （）若abc面积的最大值为36，求b 解：（）由正弦定理可得sincos(2sinsin)cos0bcacb+=， 即有sincossincos2sincosbccbab+= ，即sin()2sincosbcab+= ， 又sin()sin()sinbca

3、a+=，所以sin2sincosaab= ， 因为(0, )a，所以sin0a ， 2 / 7 所以1cos2b = ， 又(0, )b，所以23b=； （）由（）及余弦定理可知：2222cosacbacb+=， 所以222acbac+= ， 由基本不等式得22222acacbacb=+， 所以23bac，当且仅当ac=时等号成立， 所以2133sin2412abcsacbacb=， 又abc的面积的最大值为36， 即233126b =， 所以2b = 3 已 知 在abc中 ， 内 角a，b，c所 对 的 边 分 别 为a，b，c，sin2sin3sin()2aba+=+，其中(0,)2b

4、（）若2a =，3c =，求b； （）若2a =，8cb ab=，求abc的面积 解：( ) i因为sin2sin3sin()3cos2abaa+=+=， 所以2sin3cossin2sin()3baaa=， 即sinsin()3ba=， 所以3ba=或3ba+=， 因为(0,)2b， 所以3ab+=或23ba=（舍)， 所以23c=， 由余弦定理得2222123cos222 2abcbcabb+= =， 解得622b=； 3 / 7 ()ii由8cb ab=得cos8acb =， 因为2a =，所以cos4cb =， 由正弦定理sinsinacac=及3ab+=，23c=，2a =得23si

5、n()32cb=， 所以sin()33cb=，即3cossin322ccbb=， 联立得sin2 3cb =， abc的面积11sin22 32 322sacb= = 4abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c已知sin()cos2aaabc+= （1）求a； （2）已知1b =，3c =，且边bc上有一点d满足3abdadcss=，求ad 解：（1）因为sincos2aacc=， 由正弦定理得sinsinsincos2aacc=， 因为sin0c ， 所以sincos2aa=， 所以2sincoscos222aaa=， 因为02a， 所以cos02a，1sin22a=， 所以26a=，

6、所以3a= （2）解法一：设abd的ab边上的高为1h，adc的ac边上的高为2h， 因为3abdadcss=，3c =，1b =， 所以1211322c hb h= ， 所以12hh=，ad是abc角a的内角平分线，所以30bad=， 4 / 7 因为3abdadcss=，可知34abdabcss=， 所以131sin30sin60242abadabac =， 所以3 34ad = 解法二：设,(0,)3bad =， 则3dac=， 因为3abdadcss=，3c =，1b =， 所以11sin3sin()223cadbad= ， 所以sinsin()3=， 所以331,30223sinco

7、ssintanbad=即， 因为3abdadcss=，可知34abdabcss=， 所以131sin30sin60242abadabac =， 所以3 34ad = 解法三：设adx=，bda=，则adc=， 在abc中，由3c =，1b =及余弦定理得7a = 因为3abdadcss=，可知3 734bddc=， 在abd中，2222cosabbdadbd ad=+， 即2633 79cos162adad=+， 在adc中，2771cos()162adad=+， 即2771cos162adad=+， 所以3 34ad = 5 / 7 5 如 图 所 示 ， 在abc中 ，a，b，c的 对 边

8、 分 别 为a，b，c， 已 知2 sincossin0babab+=，1a =，2c = （1）求b和sinc； （2）如图，设d为ac边上一点，37bdcd=，求abd的面积 解：（1）在abc中，因为2 sincossin0babab+=， 所以由正弦定理得：2sinsincossinsin0abbab+=， 因为sinsin0ab ，所以2cos10b + =， 所以1cos2b = ， 又0b，所以23b=， 由余弦定理得， 22212cos142 1 2()72bacacb=+= + =， 所以7b =， 在abc中，由正弦定理得，sinsincbcb=， 所以22sinsin21

9、3sin77cbcb=； （2）在abd中，由正弦定理得，sinsinbdccdcbd=， 因为37bdcd=，所以sin3sin7ccbd=， 6 / 7 因为21sin7c =，所以sin1cbd=， 所以2cbd=， 由37bdcd=，设3bdt=，7cdt=， 所以222( 3 )1( 7 )tt+=，所以12t =， 所以32bd =， 因为2326abdabcdbc= =， 所以11313sin222224abdsabbdabd= = 6 已 知abc中 ， 角a，b，c所 对 的 边 分 别 为a，b，c， 满 足(2)coscosacbbc= （1）求b的大小； （2）如图，a

10、bac=，在直线ac的右侧取点d，使得24adcd=，求四边形abcd面积的最大值 解：（1）由正弦定理知，sinsinsinabcabc=， (2)coscosacbbc=， (2sinsin)cossincosacbbc=，即2sincossincoscossinsin()sinabbcbcbca=+=+=， sin0a ，1cos2b=， (0, )b，3b= （2）由（1）知，3b=， abac=，abc为等边三角形， 在acd中，由余弦定理知，2222cos164242cos2016cosacadcdad cdddd=+=+=， 7 / 7 而11sin42sin4sin22acdsad cdddd=