投资收益与风险

1、f风险风险( (risk)risk)是指未来收益的不确定性，不确定性的程是指未来收益的不确定性，不确定性的程度越高，风险就越大。度越高，风险就越大。f形势形势 概率概率 期末总价期末总价 总收益率总收益率f繁荣繁荣 0.25 13000元元 30%f正常增长正常增长 0.50 11000元元 10f萧条萧条 0.25 9000元元 -10f 期望收益与方差期望收益与方差fe( r )=p(s)r(s) fe( r )=(0.250.30)+(0.500.10)+0.25(-0.10)=0.075+0.05-.025=0.10=10%f2=p(s)r(s)-e(r)2 f2=0.25(30-10

2、)2+0.50(10-10)2+f 0.25(-10-10)2=200 或或14.14% 14.14% 大股票大股票 长期国债长期国债 中期国债中期国债 国库券国库券 通货膨胀率通货膨胀率收益 12.50 5.31 5.16 3.76 3.22风险 20.39 7.96 6.47 3.35 4.54 彼得堡悖论彼得堡悖论f数学家丹尼尔数学家丹尼尔贝诺里贝诺里1725-1733年在圣彼得堡做研究年在圣彼得堡做研究时研究了这样一个问题：这是一个掷硬币的游戏，参时研究了这样一个问题：这是一个掷硬币的游戏，参加者先付门票，然后开始掷硬币，直至第一个正面出加者先付门票，然后开始掷硬币，直至第一个正面出现

3、时为止。在此之前出现的反面的次数决定参加者的现时为止。在此之前出现的反面的次数决定参加者的报酬，计算报酬报酬，计算报酬r的公式为的公式为f fr(n)=2nf f公式中的公式中的n为参加者掷硬币出现反面的次数，参加者可为参加者掷硬币出现反面的次数，参加者可能获得的报酬取决于他掷硬币时，在掷出第一个正面能获得的报酬取决于他掷硬币时，在掷出第一个正面前可以掷出多少个反面。参加者可能遇到的各种情况前可以掷出多少个反面。参加者可能遇到的各种情况的概率及报酬见表。的概率及报酬见表。f参加者可能遇到的各种情况的概率及报酬表参加者可能遇到的各种情况的概率及报酬表f反面反面 概率概率 报酬报酬 概率报酬概率报

4、酬f 0 1/2 1 1/2f 1 1/4 2 1/2f 2 1/8 4 1/2f 3 1/16 8 1/2f . . . .f n (1/2)n+1 2n 1/2 彼得堡悖论彼得堡悖论f如果如果n为为0，他可以得到的报酬为，他可以得到的报酬为20=1元，期望报酬为元，期望报酬为1/2；如果；如果n为为1，他可以得到的报酬为，他可以得到的报酬为21=2元，期望报元，期望报酬仍为酬仍为1/2；余此类推，如果；余此类推，如果n为为n，他可以得到的全部他可以得到的全部期望报酬为期望报酬为fe(r)=pr(n)r(n)=1/2+1/2+=。f由于门票的价格是有限的，而期望报酬却是无穷大的，由于门票的价

5、格是有限的，而期望报酬却是无穷大的，这就成为了一个悖论。贝诺里运用边际效用递减的道这就成为了一个悖论。贝诺里运用边际效用递减的道理解决了这个问题。他指出，参加者赋予所有报酬的理解决了这个问题。他指出，参加者赋予所有报酬的每一元不同的价值，随着报酬的增加，每新获得的每一元不同的价值，随着报酬的增加，每新获得的1元元价值是递减的。因此，函数价值是递减的。因此，函数log(r)给报酬为给报酬为r元的参加元的参加者一个主观价值，报酬越高，每一元的价值就越小。者一个主观价值，报酬越高，每一元的价值就越小。最后，他计算出风险报酬应为最后，他计算出风险报酬应为2元，这是参加者愿付的元，这是参加者愿付的最高价

6、最高价。彼得堡悖论彼得堡悖论f我们将风险溢价为零时的风险投资称为公我们将风险溢价为零时的风险投资称为公平游戏平游戏( (fair game)fair game)，风险厌恶型的投资风险厌恶型的投资者不会选择公平游戏或更糟的资产组合，者不会选择公平游戏或更糟的资产组合，他们只愿意进行无风险投资或投机性投资。他们只愿意进行无风险投资或投机性投资。当他们准备进行风险投资时，他们会要求当他们准备进行风险投资时，他们会要求有相应的风险报酬，即要求获得相应的超有相应的风险报酬，即要求获得相应的超额收益或风险溢价。投资者为什么不接受额收益或风险溢价。投资者为什么不接受公平游戏呢？公平游戏看上去至少不坏，公平游

7、戏呢？公平游戏看上去至少不坏，因为它的期望收益为因为它的期望收益为0 0，而不是为负。，而不是为负。f假定有一公平游戏，投资假定有一公平游戏，投资1010万，获利万，获利5 5万的概率为万的概率为50%50%，亏亏5 5万的概率为万的概率为50%50%，因此，这一投资的期望收益为，因此，这一投资的期望收益为0 0。f当当1010万增到万增到1515万时，利用对数效用函数，效用从万时，利用对数效用函数，效用从log(100000)=11.51log(100000)=11.51增加到增加到log(150000)=11.92log(150000)=11.92，效用增效用增加值为加值为0.410.41

8、，期望效用增加值为，期望效用增加值为0.50.50.41=0.210.41=0.21。f如 果 由如 果 由 1 01 0 万 降 到万 降 到 5 5 万 ， 由 于万 ， 由 于 l o g ( 1 0 0 0 0 0 ) -l o g ( 1 0 0 0 0 0 ) -log(50000)=11.51-10.82=0.69log(50000)=11.51-10.82=0.69，期望效用的减少值为期望效用的减少值为0.50.50.69=0.350.69=0.35，它大于期望效用的增加值，它大于期望效用的增加值f这笔投资的期望效用为这笔投资的期望效用为eu(w)=pu(weu(w)=pu(w

9、1 1)+(1+p)u(w)+(1+p)u(w2 2)=(1/2)log(50 )=(1/2)log(50 000)+(1/2)log(150 000)=11.37000)+(1/2)log(150 000)=11.37由于由于1010万的效用值为万的效用值为11.5111.51，比公平游戏的，比公平游戏的11.3711.37要大，要大，风险厌恶型投资者不会进行这一投资。即不风险厌恶型投资者不会进行这一投资。即不投资于公平游戏。投资于公平游戏。f这里有一个金融界广泛运用的一个投资效用计这里有一个金融界广泛运用的一个投资效用计算公式，资产组合的期望收益为算公式，资产组合的期望收益为e(r)e(r

10、)，其收益其收益方差为方差为 2 2，其效用值为：，其效用值为：f fu=e(r)-0.005au=e(r)-0.005a 2 2 f f其中其中a a为投资者的风险厌恶指数，风险厌恶程度为投资者的风险厌恶指数，风险厌恶程度不同的投资者可以有不同的指数值，不同的投资者可以有不同的指数值，a a值越大，值越大，即投资者对风险的厌恶程度越强，效用就越小。即投资者对风险的厌恶程度越强，效用就越小。在指数值不变的情况下，期望收益越高，效用在指数值不变的情况下，期望收益越高，效用越大；收益的方差越大，效用越小。越大；收益的方差越大，效用越小。 f如果股票的期望收益率为如果股票的期望收益率为10%10%，

11、标准差，标准差 为为21.21%21.21%，国库，国库券的收益率为券的收益率为4%4%，尽管股票有，尽管股票有6%6%的风险溢价，一个厌恶的风险溢价，一个厌恶风险的投资者会选择全部购买国库券的投资策略。风险的投资者会选择全部购买国库券的投资策略。f投 资 者投 资 者 a = 3a = 3 时 ， 股 票 效 用 值 为 ：时 ， 股 票 效 用 值 为 ： 1 0 -1 0 -(0.005(0.0053 321.2121.212 2)=3.25%)=3.25%，比无风险报酬率稍低，在，比无风险报酬率稍低，在这种情况下，投资者会放弃股票而选择国库券。这种情况下，投资者会放弃股票而选择国库券。

12、f如果投资者的如果投资者的a a为为2 2，股票效用值为：，股票效用值为：f10-(0.00510-(0.0052 221.2121.212 2)=5.5%)=5.5%，高于无风险报酬率，投，高于无风险报酬率，投资者就会接受这个期望收益，愿意投资于股票。资者就会接受这个期望收益，愿意投资于股票。f所以，投资者对风险的厌恶程度十分关键。所以，投资者对风险的厌恶程度十分关键。风险厌恶型的投资者承担风险是要报酬的，风险厌恶型的投资者承担风险是要报酬的，这个风险报酬就是超额收益或风险溢价。这个风险报酬就是超额收益或风险溢价。因此对于风险厌恶型的投资者来说，存在着因此对于风险厌恶型的投资者来说，存在着选

13、择资产的均值选择资产的均值- -方差准则：当满足下列方差准则：当满足下列( (a)a)、(b)(b)条件中的任何一个时，投资者将选择资产条件中的任何一个时，投资者将选择资产a a作为投资对象：作为投资对象：( (a) e(ra) e(ra a)e(r)e(rb b) ) 且且2 2a a e(r) e(rb b) ) 且且2 2a a2 2b bf因为它的期望收益大于或等于第四象限中的任因为它的期望收益大于或等于第四象限中的任何资产组合，而它的标准差则等于或小于第四何资产组合，而它的标准差则等于或小于第四象限中的任何资产组合，即资产组合象限中的任何资产组合，即资产组合p p优于在它优于在它东南

14、方向的任何资产组合。相应地，对投资者东南方向的任何资产组合。相应地，对投资者来说，所有第一象限的资产组合都比资产组合来说，所有第一象限的资产组合都比资产组合p p更受欢迎，因为其期望收益等于或大于资产组更受欢迎，因为其期望收益等于或大于资产组合合p p，标准差等于或小于资产组合标准差等于或小于资产组合p p，即资产组即资产组合合p p的西北方向的资产组合更受欢迎。那么，通的西北方向的资产组合更受欢迎。那么，通过过 p p 点 的 投 资 者 效 用 的 无 差 异 曲 线点 的 投 资 者 效 用 的 无 差 异 曲 线( (indifference curve)indifference cu

15、rve)一定位于第二和第三象一定位于第二和第三象限，即一定是条通过限，即一定是条通过p p点的、跨越第二和第三象点的、跨越第二和第三象限的东南方向的曲线。限的东南方向的曲线。f一方面，风险厌恶程度不同的投资者有不同的一方面，风险厌恶程度不同的投资者有不同的无差异曲线，但它们都通过无差异曲线，但它们都通过p p点，因为，这是市点，因为，这是市场提供的唯一的风险溢价水平决定的。一般风场提供的唯一的风险溢价水平决定的。一般风险厌恶程度较高的投资者的投资效用无差异曲险厌恶程度较高的投资者的投资效用无差异曲线较为陡峭，因为风险的增加他要求很高的期线较为陡峭，因为风险的增加他要求很高的期望收益的增长；而一

16、般风险厌恶程度较低的投望收益的增长；而一般风险厌恶程度较低的投资者的投资效用无差异曲线较为平缓。资者的投资效用无差异曲线较为平缓。f另一方面，每一个投资者一旦确定其风险厌恶另一方面，每一个投资者一旦确定其风险厌恶程度，其投资效用的无差异曲线的斜率就确定程度，其投资效用的无差异曲线的斜率就确定了，除了一条由市场提供的唯一风险溢价水平了，除了一条由市场提供的唯一风险溢价水平决定的无差异曲线外，还一定可以有无数条平决定的无差异曲线外，还一定可以有无数条平行它的无差异曲线。行它的无差异曲线。f我们首先来看均值，投资的期望值或均值并不我们首先来看均值，投资的期望值或均值并不是投资收益概率分布的唯一代表值

17、，其他的选是投资收益概率分布的唯一代表值，其他的选择还有中值与众数。择还有中值与众数。f中值中值( (median)median)是所有收益按照高低排序时处于是所有收益按照高低排序时处于正中位置的收益率，众数正中位置的收益率，众数( (mode)mode)是最大概率时是最大概率时的分布值或结果值，它代表了最大的可能收益，的分布值或结果值，它代表了最大的可能收益，但不是平均加权收益，也不是按高低排序后处但不是平均加权收益，也不是按高低排序后处于正中的收益。于正中的收益。f但投资者和理论界均认为均值最好，代表性最但投资者和理论界均认为均值最好，代表性最强，实际使用也最广泛。强，实际使用也最广泛。均

18、值本身是期望值的一阶矩差，方差是围绕均值本身是期望值的一阶矩差，方差是围绕均值的二阶矩差。方差在描述风险时有一定均值的二阶矩差。方差在描述风险时有一定的局限性，如果两个资产组合的均值和方差的局限性，如果两个资产组合的均值和方差都相同，但收益率的概率分布不同时。都相同，但收益率的概率分布不同时。一阶矩差代表收益水平；二阶矩差表示收益一阶矩差代表收益水平；二阶矩差表示收益的不确定性程度，并且所有偶数矩差的不确定性程度，并且所有偶数矩差( (方差，方差，m m4 4，等等) )都表明有极端值的可能性，这些矩差都表明有极端值的可能性，这些矩差的值越大，不确定性越强；三阶矩差的值越大，不确定性越强；三阶矩差( (包括其包括其他奇数矩差：他奇数矩差：m m5 5，m m7 7等等) )表示不确定性的方向，表示不确定性的方向，即收益分布的不对称的情况。但是，矩差数即收益分布的不对称的情况。但是，矩差数越大，其重要性越低。越大，其重要性越