材料物理性能课后习题答案

1、材料物理性能 习题解答材料物理性能习题与解答目 录1 材料的力学性能22 材料的热学性能123 材料的光学性能174 材料的电导性能205 材料的磁学性能296 材料的功能转换性能371材料的力学性能1-1一圆杆的直径为2.5 mm、长度为25cm并受到4500N的轴向拉力，若直径拉细至2.4mm，且拉伸变形后圆杆的体积不变,求在此拉力下的真应力、真应变、名义应力和名义应变，并比较讨论这些计算结果。解：根据题意可得下表拉伸前后圆杆相关参数表体积V/mm3直径d/mm圆面积S/mm2拉伸前1227.22.54.909拉伸后1227.22.44.524 由计算结果可知：真应力大于名义应力，真应变小

2、于名义应变。1-2一试样长40cm,宽10cm,厚1cm，受到应力为1000N拉力，其杨氏模量为3.5×109 N/m2，能伸长多少厘米?1cm10cm40cmLoadLoad解：1-3一材料在室温时的杨氏模量为3.5×108 N/m2,泊松比为0.35，计算其剪切模量和体积模量。解：根据 可知：1-4试证明应力-应变曲线下的面积正比于拉伸试样所做的功。证：1-5一陶瓷含体积百分比为95%的Al2O3 (E = 380 GPa)和5%的玻璃相(E = 84 GPa)，试计算其上限和下限弹性模量。若该陶瓷含有5 %的气孔，再估算其上限和下限弹性模量。解：令E1=380GPa,

3、E2=84GPa,V1=0.95,V2=0.05。则有当该陶瓷含有5%的气孔时，将P=0.05代入经验计算公式E=E0(1-1.9P+0.9P2)可得，其上、下限弹性模量分别变为331.3 GPa和293.1 GPa。1-6试分别画出应力松弛和应变蠕变与时间的关系示意图，并算出t = 0,t = 和t = 时的纵坐标表达式。解：Maxwell模型可以较好地模拟应力松弛过程： Voigt模型可以较好地模拟应变蠕变过程： 以上两种模型所描述的是最简单的情况，事实上由于材料力学性能的复杂性，我们会用到用多个弹簧和多个黏壶通过串并联组合而成的复杂模型。如采用四元件模型来表示线性高聚物的蠕变过程等。1-

4、7试述温度和外力作用频率对聚合物力学损耗角正切的影响并画出相应的温度谱和频率谱。解：（详见书本）。1-8一试样受到拉应力为1.0×103 N/m2,10秒种后试样长度为原始长度的1.15倍,移去外力后试样的长度为原始长度的1.10倍,若可用单一Maxwell模型来描述,求其松弛时间值。解：根据Maxwell模型有： 可恢复 不可恢复 依题意得：所以松弛时间=/E=1.0×105/2×104=5(s).1-9一非晶高聚物的蠕变行为可用一个Maxwell模型和一个Voigt模型串联描述，若t=0时施以拉伸应力为1.0×104 N/m2至10小时,应变为0.0

5、5,移去应力后的回复应变可描述为,t为小时，请估算该力学模型的四个参数值。3,32,2E2,2E1,1解：据题即求如图E1,E2,2和3四参数。如图所示有其中1立即回复，2逐渐回复，3不能回复。Voigt的回复方程为：，这里t为从回复时算起，而题目的t为从开始拉伸时算起，所以此题的回复方程为：排除立即恢复后的应变，应变的回复方程就可写成 1-10当取Tg为参考温度时log中的C1=17.44,C2=51.6，求以Tg+50为参考温度时WLF方程中的常数C1和C2。解：FN60°53°3mm1-11一圆柱形Al2O3晶体受轴向拉力F，若其临界抗剪强度f为135 MPa,求沿图

6、中所示之方向的滑移系统产生滑移时需要的最小拉力值，并求滑移面的法向应力。解：1-12拉伸某试样得到如下表的数据,试作曲线图,并估算杨氏模量、屈服应力和屈服时的伸长率以及抗张强度。5102030405060250500950125014701565169070809010012015016601500140013801380(断)屈服点扬氏模量,由图中未达屈服点时线段的斜率可求出。（图中可以读出），屈服时伸长率即为屈服点的应变，断裂时对应的即是抗张强度。1-13氦原子的动能是E=kT(式中波尔兹曼常数k=1.38x10-23 J/K)，求T = 1 K时氦原子的物质波的波长。解：1-14利用So

7、mmerfeld的量子化条件，求一维谐振子的能量。解： 1-15波函数的几率流密度，取球面坐标时，算符，求定态波函数的几率流密度。解：1-16一粒子在一维势阱中运动，势阱为 求束缚态(0 < E < U0)的能级所满足的方程。解：因为1-17 求融熔石英的结合强度，设估计的表面能力为1.75J/m2; Si-O的平衡原子间距为1.6*10-8cm;弹性模量从60到75Gpa=1-18 融熔石英玻璃的性能参数为：E=73 Gpa；=1.56 J/m2；理论强度th=28 Gpa。如材料中存在最大长度为2m的内裂，且此内裂垂直于作用力方向，计算由此导致的强度折减系数。2c=2m c=1

8、*10-6m=强度折减系数=1-0.269/28=0.991-19 证明测定材料断裂韧性的单边切口、三点弯曲梁法的计算公式：是一回事。证明： 1-20 一陶瓷三点弯曲试件，在受拉面上于跨度中间有一竖向切口如图。如果E=380 Gpa，=0.24，求KIc值，设极限荷载达50Kg。计算此材料的断裂表面能。解 c/W=0.1, Pc=50*9.8N ,B=10, W=10，S=40 代入下式：= =62*（0.917-0.145+0.069-0.012+0.0012）=1.96*0.83=1.63Pam1/2 J/m21-21 一钢板受有长向拉应力350MPa，如在材料中有一垂直于拉应力方向的中心

9、穿透缺陷，长8mm(=2c)。此钢材的屈服强度为1400 MPa，计算塑性区尺寸r0及其裂缝半长c的比值。讨论用此试件来求KIC值的可能性。=39.23Mpa.m1/2 >0.021用此试件来求KIC值的不可能。1-22 一陶瓷零件上有一垂直于拉应力的边裂，如边裂长度为：（1）2mm;(2)0.049mm;(3)2 um, 分别求上述三种情况下的临界应力。设此材料的断裂韧性为1.62MPa.m2。讨论讲结果。Y=1.12=1.98=(1) c=2mm, (2) c=0.049mm, c=2um, 2 材料的热学性能2-1 计算室温（298K）及高温（1273K）时莫来石瓷的摩尔热容值，并

10、请和按杜龙-伯蒂规律计算的结果比较。（1） 当T=298K，Cp=a+bT+cT-2=87.55+14.96*10-3*298-26.68*105/2982=87.55+4.46-30.04=61.97 *4.18J/mol.K（2） 当T=1273K，Cp=a+bT+cT-2=87.55+14.96*10-3*1273-26.68*105/12732=87.55+19.04-1.65=104.94*4.18J/mol.K=438.65 J/mol.K 据杜隆-珀替定律：(3Al2O3.2SiO4) Cp=21*24。94=523.74 J/mol.K2-2 康宁1723玻璃（硅酸铝玻璃）具有

11、下列性能参数：=0.021J/(cm.s.); =4.6*10-6/;p=7.0Kg/mm2.E=6700Kg/mm2,=0.25.求第一及第二热冲击断裂抵抗因子。第一冲击断裂抵抗因子： = =170第二冲击断裂抵抗因子： =170*0.021=3.57 J/(cm.s)2-3 一热机部件由反应烧结氮化硅制成，其热导率=0.184J/(cm.s.)，最大厚度=120mm.如果表面热传递系数h=0.05 J/(cm2.s.),假定形状因子S=1，估算可兹应用的热冲击最大允许温差。=226*0.184=4472-4、系统自由能的增加量，又有若在肖特基缺陷中将一个原子从晶格内移到晶体表面的能量求在0

12、产生的缺陷比例（即）是多少？2-5在室温中kT=0.024eV,有一比费米能级高0.24eV的状态，采用玻尔兹曼统计分布函数计算时，相对于费米-狄拉克统计分布函数计算的误差有多少？2-6 NaCl和KCl具有相同的晶体结构，它们在低温下的Debye温度D分别为310K和230K，KCl在5K的定容摩尔热容为3.8*10-2J/(K.mol),试计算NaCl在5K和KCl在2K的定容摩尔热容。 2-7 证明固体材料的热膨胀系数不因为含均匀分散的气孔而改变。2-8 在一维双原子的点阵中：（1）若求证存在关系？（2）证明在L=，声频支中所有轻原子静止，而光频支中所有重原子静止，并画出此时原子的振动图

13、像。（3）若，请证明此时只有声频支而无光频支。2-9 试计算一条合成刚玉晶体Al2O3棒在1K的热导率，它的分子量为102，直径为3mm，声速500m/s，密度为4000kg/m3，德拜温度为1000K。2-10 一样品在300K的热导率为320J/（m2.s.K）,电阻率为10-2,求,其电子热导热的比值.(Loremtz常量L=2.45*10-8(V/K)23 材料的光学性能3-1一入射光以较小的入射角i和折射角r通过一透明明玻璃板,若玻璃对光的衰减可忽略不计,试证明明透过后的光强为(1-m)2解：W = W + W 其折射光又从玻璃与空气的另一界面射入空气则3-2 光通过一块厚度为1mm

14、 的透明Al2O3板后强度降低了15%，试计算其吸收和散射系数的总和。解: 3-3 有一材料的吸收系数=0.32cm-1，透明光强分别为入射的10%，20%，50%及80%时，材料的厚度各为多少？解: 3-4一玻璃对水银灯蓝、绿谱线=4358A和5461A的折射率分别为1.6525和1.6245，用此数据定出柯西Cauchy近似经验公式的常数A和B，然后计算对钠黄线=5893A的折射率n及色散率dn/d值。解： 3-5摄影者知道用橙黄滤色镜拍摄天空时，可增加蓝天和白云的对比，若相机镜头和胶卷底片的灵敏度将光谱范围限制在3900-6200A之间，并反太阳光谱在此范围内视成常数，当色镜把波长在55

15、00A以后的光全部吸收时，天空的散射光波被它去掉百分之几呢？瑞利Rayleugh定律认为：散射光强与4成反比解： 3-6设一个两能级系统的能级差（1）分别求出T=102K103K，105K，108K时粒子数之比值N2/N1（2）N2=N1的状态相当于多高的温度？（3）粒子数发生反转的状态相当于臬的温度？ 解：1） 2） 3） 已知当时粒子数会反转，所以当时，求得T<0K, 所以无法通过改变温度来实现粒子反转3-7一光纤的芯子折射率n1=1.62,包层折射率n2=1.52,试计算光发生全反射的临界角c.解： 4 材料的电导性能4-1 实验测出离子型电导体的电导率与温度的相关数据，经数学回归

16、分析得出关系式为：(1) 试求在测量温度范围内的电导活化能表达式。(2) 若给定T1=500K，1=10-9（T2=1000K，2=10-6（ 计算电导活化能的值。解：（1） = = W= 式中k=（2） B=-3000W=-ln10.(-3)*0.86*10-4*500=5.94*10-4*500=0.594eV4-2. 根据缺陷化学原理推导（1）ZnO电导率与氧分压的关系。（2）在具有阴离子空位TiO2-x非化学计量化合物中，其电导率与氧分压的关系。（3）在具有阳离子空位Fe1-xO非化学计量化合物中，其电导率与氧分压的关系。（4）讨论添加Al2O3对NiO电导率的影响。解：（1）间隙离子

17、型： 或 （2）阴离子空位TiO2-x： （3）具有阳离子空位Fe1-xO： （4）添加Al2O3对NiO： 添加Al2O3对NiO后形成阳离子空位多，提高了电导率。4-3本征半导体中，从价带激发至导带的电子和价带产生的空穴参与电导。激发的电子数n可近似表示为：式中N为状态密度，k为波尔兹曼常数，T为绝对温度。试回答以下问题：（1）设N=1023cm-3,k=8.6”*10-5eV.K-1时, Si(Eg=1.1eV),TiO2(Eg=3.0eV)在室温（20）和500时所激发的电子数（cm-3）各是多少：（2）半导体的电导率（-1.cm-1）可表示为式中n为载流子浓度（cm-3），e为载流子

18、电荷（电荷1.6*10-19C）,为迁移率（cm2.V-1.s-1）当电子（e）和空穴（h）同时为载流子时，假定Si的迁移率e=1450（cm2.V-1.s-1），h=500（cm2.V-1.s-1），且不随温度变化。求Si在室温（20）和500时的电导率解：（1） Si 20 =1023*e-21.83=3.32*1013cm-3 500 =1023*e-8=2.55*1019 cm-3 TiO220 =1.4*10-3 cm-3500 =1.6*1013 cm-3(2) 20 =3.32*1013*1.6*10-19(1450+500) =1.03*10-2（-1.cm-1） 500 =2

19、.55*1019*1.6*10-19(1450+500) =7956 （-1.cm-1）4-5 一块n型硅半导体，其施主浓度，本征费米难能级Ei在禁带正中，费米能级EF在Ei之上0.29eV处,设施主电离能.试计算在T=300K时施主能级上的电子浓度EC0.29eV0.05eVEDEFEiEV Eg=1.12eV4-6 一块n型硅材料，掺有施主浓度，在室温（T=300K）时本征载流浓度，求此时该块半导体的多数载流子浓度和少数载流子浓度。4-7 一硅半导体含有施主杂质浓度，和受主杂质浓度，求在T=300K时（）的电子空穴浓度以及费米载流了浓度。4-8 设锗中施主杂质的电离能，在室温下导带底有效状

20、态密度，若以施主杂质电离90%作为电离的标准，试计算在室温（T=300K）时保持杂质饱和电离的施主杂质浓度范围。4-9 设硅中施主杂质电离能，施主杂质浓度，以施主杂质电离90%作为达到强电离的最低标准，试计算保持饱和杂质电离的温度范围。4-10 300K时，锗的本征电阻率为47.cm,如电子空求本征锗的载流子浓度分别为3900和1900.求本征锗的载流子浓度.4-11本征硅在室温时电子和空穴迁移分别为1350和500,当掺入百万分之一的As后,设杂质全部电离,试计算其电导率.比本征硅的电导率增大了多少倍?4-12在500g的硅单晶中掺有4.5*10-5g的硼,设杂质全部电离,求该材料的电阻率(

21、设),硅单密度为,硼的原子量为10.8).4-13 设电子迁移率为,硅的电子有效质量,如加以强度为104V/m的电场,试求平均自由时间和平均自由程.4-14一截面为0.6cm2, 长为1cm的n型GaAs样品,设,试求该样品的电阻.4-15 一截在为10-3cm2,掺有杂质浓度的 P型硅样品,在样品内加有强度为103V/cm的电场,求:(1)室外温时样品的电导率及流过样品的电流密度.(2)400K时样品的电导率及流过样品的电流密度.4-16 分别计算 有下列列杂质的硅，在室温时的载流子浓度和电阻率；（1）硼原子/cm3（2）硼原子/cm3+磷原子/cm3（3）磷原子/cm3+硼原子/cm3+砷

22、原子/cm34-17 （1）证明且电子浓度，空穴浓度时，材料的电导率最小，并求出min的表达式。（2）试求300K时，InSb的最小电导率和最大电导率，什么导电类型的材料电阻率可达最大？（T=300K时，InSb的）。4-18 假定硅中电子的平均动能为，试求室外温时电子热运动的均方根速度，如将硅置于10V/cm的电场中，证明电子的平均漂移速度小于热运动速度，设电子迁移率为1500cm2/V.S.如仍设迁移率为上述数值，计算电场为104V/cm时的平均漂移速度，并与热运动速度作一比较，这时电子的实际平均漂移速度和迁移率为多少？4-19 轻掺杂的硅样品在室外温下，外加电压使电子的漂移速度是它的热运

23、动速度 的十分之一，一个电子由于漂移而通过1m区域中的平均碰撞次数和此时加在这个区域的电压为多少？5 材料的磁学性能5-1. 垂直板面方向磁化的大薄片性磁性材料，去掉磁化场后的磁极化强度是，试计算板中心的退磁场大小。解：垂直于板面方向磁化,则为垂直于磁场方向J = 0M = 1Wb/m2退磁场Hd = - NM大薄片材料,退磁因子Na = Nb = 0, Nc = 1所以Hd = - M = -=7.96×105A/m5-2试证明拉莫进动频率WL = 证明:由于逆磁体中自旋磁矩相互抵消,只须考虑在磁场中电子轨道运动的变化,按照动量矩定理,电子轨道动量l的变化等于作用在磁矩l的力矩,即

24、:= l ,式中B0 = 0H为磁场在真空中的磁感应强度.而 l = - 上式改写成: ,又因为所以,在磁场B0电子的轨道角动量l和轨道磁矩均绕磁场旋转,这种旋转运动称为拉莫运动,拉莫运动的频率为5-3 退磁因子与哪些因素有关？试计算下列情况的N值：（1）被磁化的球形磁体；（2）垂直于轴线方向磁化的细长圆形磁棒；（3）平行平面磁化的无限大薄圆形磁片。解：退磁因子,无量纲,与磁体的几何形状有关.对于旋转椭圆体的三个主轴方向退磁因子之和,存在下面简单的关系:Na + Nb +Nc = 1 (a,b,c分别是旋转椭圆体的三个半主轴,它们分别与坐标轴x,y,z方向一致)根据上式,很容易求得其三种极限情

25、况下的退磁因子:1) 球形体:因为其三个等轴, Na = Nb = Nc 2) 细长圆柱体: 其为a,b等轴,而c>>a,b 而 3) 薄圆板体: b=a>>c 5-4何谓轨道角动量猝灭现象?由于晶体场导致简并能级分裂,可能出现最低轨道能级单态.当单态是最低能级轨道时,总轨道角动量的绝对值L2虽然保持不变,但轨道角动量的分量Lz不再是常量. 当Lz的平均值为0,即时,称其为轨道角动量猝灭.5-5推导居里-外斯定律,说明磁化率与温度的关系0证明: 铁磁体中作用于本征磁矩的有效磁感应场其中M为磁化强度,则为内场,顺磁体磁化强度表达式: 把B0用Beff代替,则得到铁磁体磁化

26、强度:.(1)当T>Tc时,自发磁化强度消失,只有在外磁场B0作用下产生磁化强度当T>>Tc时,可令,则(1)式变为:.(2)又代入(2)式有 解得 令 则得当T时,为铁磁性当T > Tc 时,为顺磁性5-6自发磁化的物理本质是什么?材料具有铁磁性的充要条件是什么?答: 铁磁体自发磁化的本质是电子间的静电交换相互作用材料具有铁磁性的充要条件为:1) 必要条件:材料原子中具有未充满的电子壳层,即原子磁矩2) 充分条件:交换积分A > 05-7超交换作用有哪些类型? 为什么A-B型的作用最强?答: 具有三种超交换类型: A-A, B-B和A-B因为金属分布在A位和B位

27、,且A位和B位上的离子磁矩取向是反平行排列的.超交换作用的强弱取决于两个主要的因素: 1)两离子之间的距离以及金属离子之间通过氧离子所组成的键角i 2) 金属离子3d电子数目及轨道组态.A-B型1=125°9 ; 2=150°34A-A型3=79°38B-B型4=90° 5=125°2 因为i越大,超交换作用就越强,所以A-B型的交换作用最强.5-8 论述各类磁性-T的相互关系1) 抗磁性. 与温度无关, <02) 顺磁性: ,Tc为临界温度,成为顺磁居里温度,T>Tc时显顺磁性 3) 反铁磁性:当温度达到某个临界值TN以上,服从居

28、里-外斯定律 4) 铁磁性: f>0, T< Tc,否则将转变为顺磁性,并服从居里-外斯定律 5) 亚铁磁性: 是未抵消的反铁磁性结构的铁磁性5-9比较铁磁体中五种能量的下列关系:（1）数学表达式；（2）来源和物理意义（3）对磁矩取向的作用。答:铁磁材料的五种相互作用能分别为: 交换能Fex,磁晶各向异性能Fx,磁弹性能F,退磁场能Fd和外磁场能FH相邻原子电子自旋的单位体积内的交换能A>0时,电子自旋不平行,则会引起系统交换能的增加, Fex>0,只有当不考虑自旋轨道耦合时,交换能Fex是各向同性的.磁晶各向异性能Fx,是饱和磁化强度矢量在铁磁材料中取不同方向时随时间

29、而改变的能量,仅与磁化强度矢量在晶体中的相对晶轴的取向有关磁晶各向异性来源于电子自旋与轨道的相互耦合作用以及晶体电场效应.这种原子或离子的自旋与轨道的耦合作用,会导致铁磁体的长度和体积的大小发生变化,出现所谓的磁致伸缩铁磁体在受到应力作用时会发生相应的应变,从而引起磁弹性能F,包括由于自发形变而引起的磁应力能,包括外加应力和内应力铁磁体在外磁场中具有位能成为外磁场能FH,外磁场能是铁磁体磁化的动力有限尺寸的铁磁体材料,受到外加磁场H的变化,会在两端面上分别出现正负磁荷,从而产生减弱外磁场的磁场Hd,均匀磁化材料的退磁场能Fd为: 5-10用能量的观点说明铁磁体内形成磁畴的原因答:根据热力学定律,稳定的磁状态一定是对应于铁磁材料内总自由能极小值的状态.磁畴的形成和稳定的结构状态,也是对应于满足总的自由能为极小值的条件.对于铁材料来说，分成磁畴后比分成磁畴前能量缩小,故铁磁材料自发磁化后必然分成小区域的磁畴,使总自由能为最低,从而满足能量最低原理.可见,退磁场能是形成磁畴的原因5-11 设立方晶体铁磁材料的，计算其单畴的临界尺寸。解：单位