完全平方公式变形的应用(定稿)

1、乘法公式的拓展及常见题型整理一公式拓展：拓展一： a2b2( ab) 22aba2b2(ab) 22aba 21(a1 )22a21(a1 )22a2aa2a拓展二： (ab) 2( ab) 24abab2ab22a22b2(ab) 2(ab) 24ab( ab) 2(ab) 24ab拓展三： a2b2c2( ab c) 22ab 2ac2bc拓展四：杨辉三角形(ab)3a33a2b 3ab2b3( ab) 4a44a3b 6a2b24ab 3b4拓展五： 立方和与立方差a3b3(a)(a2ab b2 )a3b3(ab)( a22)bab b二常见题型：（一）公式倍比例题：已知 ab =4，求

2、 a 2b2ab 。2如果 a b3, a c1 ，那么 ab 2b c 2c a 2的值是 x y 1，则 1 x2xy1 y2 =22已知 xx1) (x2y)，x2y2xy=(2 则( 二）公式组合例题：已知 (a+b) 2 =7,(a-b) 2=3,求值 : (1)a2+b2(2)ab若 (a b) 27， (ab) 213， 则 a2b 2_ ， ab_设（ 5a3b） 2=（ 5a 3b） 2A，则 A=若 ( x y) 2( x y) 2a ，则 a 为如果 ( x y) 2M( xy) 2 ，那么 M等于已知 (a+b) 2=m， (a b) 2=n，则 ab 等于若 (2a

3、3b) 2( 2a3b)2N ，则 N的代数式是已知 ( a b) 27, (ab)23, 求 a2b2ab 的值为。acbd 3bc5a2bc2d2 )已知实数 a,b,c,d 满足，ad，求 (2 )(（三）整体代入例 1： x 2y224 ， x y6 ，求代数式 5x3y 的值。例 2：已知 a= 1 x 20， b= 1 x19， c= 1 x21，求 a2 b2 c2 abbc ac 的值202020若 x3 y7, x29 y249 ，则 x 3 y =若 ab2 ，则 a2b24b =若 a5b6 ，则 a25ab30b =22b 的值为已知 a b =6ab 且 ab 0，求

4、 aab已知a 2005x2004 ，b2005x2006， c2005x2008 ，则代数式a 2b2c 2abbcca 的值是（四）步步为营例题： 3(22 +1)(2 4 +1) (2 8 +1)( 216+1)6(71)(7 2 +1)(7 4 +1)(7 8 +1)+1ababa2b 2a 4b 4a8b8(21)(221)(241)( 281)(2161)(2321)12222221111120122011 201020092113212122242010（五）分类配方例题：已知m2n26m10 n340 ，求 mn 的值。已知： x2 +y2 +z2 -2x+4y-6z+14=0

5、 ，则 x+y+z 的值为。已知 x2 +y2 -6x-2y+10=0 ，则 11 的值为。xy已知 x2+y2-2x+2y+2=0, 求代数式 x2003y2004 的值为.若 x2y 24 x 6 y 130 ， x，y 均为有理数，求x y 的值为。已知 a2+b2+6a-4b+13=0，求 (a+b) 2 的值为 说理 : 试说明不论 x,y 取什么有理数 , 多项式 x2+y2 -2x+2y+3 的值总是正数 .（六）首尾互倒121411例 1： 已知 xx2,求：（）1 aa2;(2) aa4;(3) aa1112例 2：已知 a2 7a1 0求 a、 a2和a的值；aa2a已知

6、x 23x 1 0 ，求 x21 = x21=x2x2若 x219 x 1=0，求 x41 的值为2x4112 =x15x21如果 a2 , 那么 a22xx2=_、已知，那么aax13x21已知x，则x 2的值是若 a12且 0<a<1, 求 a1 的值是a1a1 和 a2 12已知 a 3a1 0求 a和 a的值为2aaa已知 x13 ，求 x21= x41=xx2x41112已知 a2 7a 1 0求 a、 a2和 a的值；aa2a（七）知二求一例题：已知 a b5, ab3 ，求： a2b2 a b a2b2ab a2ab b2 a3b3ba已知 m n2 ， mn2，则

7、(1m)(1 n)_若 a2+2a=1 则(a+1) 2=_.若 a2b27，a+b=5，则 ab=若 a2b27，ab =5 ，则 a+b=若 x2+y2=12,xy=4, 则(x-y) 2=_. a2b27，a-b=5 ，则 ab=若a2b23， ab =-4 ，则 a-b=已知 :a+b=7,ab=-12,求 a2+b2 = a2-ab+b 2= (a-b)2=已知 ab=3，a3b3=9，则 ab=，a2+b2 =,a-b=第五讲乘法公式应用与拓展【基础知识概述】一、基本公式： 平方差公式： (a+b)(a-b)=a2 b 2完全平方公式：(a+b) 2 =a 2 +2ab+b2(a-

8、b)2 =a 2 -2ab+b 2变形公式：（ 1） a2b2a22abb（ 2） a2b2a22abb（ 3）a b2a b22b22a2（ 4）a b2a b24ab二、思想方法： a、b 可以是数，可以是某个式子；要有整体观念，即把某一个式子看成a 或 b，再用公式。注意公式的逆用。a2 0。用公式的变形形式。三、典型问题分析：1、顺用公式：例 1、计算下列各题：ababa 2b2a 4b4a 8b8 3(2 2 +1)(2 4 +1)(2 8 +1)( 216 +1)+12、逆用公式：例 2. 19492 -19502 +19512 -19522 +20112 -20122111111

9、11224 22232010 1.2345 2 +0.7655 2 +2.469 ×0.7655【变式练习】a26a =a _2填空题： 4 x 21 + =（)26 x2+ax+121 是一个完全平方式，则a 为（）A 22B22 C±22 D 03、配方法：例 3已知： x2 +y2 +4x-2y+5=0，求 x+y 的值。【变式练习】已知 x2 +y2 -6x-2y+10=0 ，求 11 的值。xy已知： x2 +y2 +z2 -2x+4y-6z+14=0 ，求： x+y+z 的值。当 x时，代数式x2取得最小值，这个最小值是当 x时，代数式 x24 取得最小值，这个

10、最小值是当 x时，代数式 x24 取得最小值，这个最小值是3当 x时，代数式 x24x3 取得最小值，这个最小值是对于 2x24x 3 呢？4、变形用公式：例 5.若 xz2xyyz0，试探求 xz 与 y 的关系。4例 6化简：abcd2ab2c d例 7.如果 3(a2b2c2 )(abc)2 ，请你猜想： a、 b、c 之间的关系，并说明你的猜想。完全平方公式变形的应用练习题一 :1、已知 m2+n2-6m+10n+34=0，求 m+n的值2、已知 x2y 24x 6 y13 0，x、 y 都是有理数，求 x y 的值。3 已知 (ab)216, ab4, 求 a2b2与 (ab)2 的

11、值。3二：1 已知 (ab)5, ab3 求 (ab)2 与 3(a2b2 ) 的值。2 已知 ab6, ab4 求 ab 与 a2b2 的值。3、已知 ab4, a2b24 求 a2 b2 与 (ab) 2 的值。4、已知 ( a+b)2 =60，( a-b) 2 =80，求 a2 +b2 及 ab 的值5已知 ab6, ab4 ，求 a2b3a2b2ab 2的值。6已知 x2y22x4 y50，求 1( x1)2xy 的值。27已知 x16 ，求 x212的值。xx8、 x23x10 ，求（1） x2141x2 （2） xx49、试说明不论 x,y 取何值，代数式 x2y26x4 y15

12、的值总是正数。10、已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c 且 a,b,c满足等式 3(a2b2c2 )(abc)2 ，请说明该三角形是什么三角形？B 卷：提高题一、七彩题1（多题思路题）计算：（ 1）（ 2+1）（ 22+1）（ 24+1） （ 22n+1） +1（n 是正整数）；242008+1）34016（ 2）（ 3+1）（ 3 +1）（ 3 +1） （ 322（一题多变题）利用平方差公式计算：2009×200720082（ 1）一变：利用平方差公式计算：200722008200720062007 2（ 2）二变：利用平方差公式计算：200820061二、知识交叉题3（科内

13、交叉题）解方程：x（x+2） +（2x+1）（ 2x 1） =5（x2+3）三、实际应用题4广场内有一块边长为2a 米的正方形草坪，经统一规划后， 南北方向要缩短3 米，东西方向要加长3 米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？课标新型题1（规律探究题）已知x1，计算（ 1+x）（ 1 x） =1 x2，（1 x）（1+x+x 2）=1 x3，（ 1 x）（ ?1+x+x 2+x3） =1x4（ 1）观察以上各式并猜想： （ 1 x）（ 1+x+x 2+ +x n） =_（ n 为正整数）（ 2）根据你的猜想计算：（ 1 2）（ 1+2+22+23+24+25） =_ 2+2 2+23 + +2

14、n=_（ n 为正整数）（ x 1）（ x99+x 98+x97+x 2+x+1） =_（ 3）通过以上规律请你进行下面的探索：（ a b）（ a+b） =_（ a b）（ a2+ab+b2） =_（ a b）（ a3+a2 b+ab2+b3） =_2（结论开放题）请写出一个平方差公式，使其中含有字母m， n 和数字 43. 从边长为 a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后， ? 将剩下的纸板沿虚线裁成四个相同的等腰梯形，如图17 1 所示，然后拼成一个平行四边形，如图17 2 所示，分别计算这两个图形阴影部分的面积，结果验证了什么公式？请将结果与同伴交流一下4、探究拓展与应用

15、(2+1)(2 2+1)(2 4+1)=(2 1)(2+1)(2 2 +1)(2 4+1)=(2 21)(2 2+1)(2 4+1)=(2 4 1)(2 4+1)=(281).根据上式的计算方法，请计算(3+1)(3 2+1)(3 4+1)(3 32+1) 364的值 .2“整体思想”在整式运算中的运用“整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，有些问题局部求解各个击破，无法解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，思路清淅，演算简单，复杂问题迎刃而解，现就“整体思想”在整式运算中的运用，略举几例解析如下，供同学们参考：1、当代数式x23x5 的值为 7 时

16、 , 求代数式 3x29x2 的值 .2、已知 a3 x 20 ， b3 x 18 ， c3 x 16 ，求：代数式 a2b 2c2ab ac bc 的值。8883、已知 xy4 ， xy1，求代数式 ( x 21)( y 21) 的值4、已知 x2 时，代数式ax5bx 3cx 8 10 ，求当 x2 时，代数式ax5bx 3cx 8的值5、若 M123456789 123456786， N123456788 123456787试比较 M与 N 的大小6、已知 a 2a 1 0 ，求 a32a 22007 的值 .一、填空（每空3 分）1.已知 a和 b互为相反数， 且满足 a3 2b3 2

17、=18，则 a 2 b 32、已知：52na, 4nb ，则 10 6n_3.如果 x212 xm2 恰好是另一个整式的平方，那么m 的值4.已知 a2Nab 64b2 是一个完全平方式，则N 等于5.若 a2b2+a2+b2+1=4ab，则 a=,b=6.已知 10m=4,10 n=5, 求 103m+2n的值7.(a 2+9) 2 (a+3)(a 3)(a 2+9)=8.若 a1=2, 则 a21a4+ 1=aa2a49.若 x2+ y+(3-m)2=0，则 (my) x=10.若 58n2541253n25 21 ，则 n_11、已知 m 2n3, (3m3 n ) 24 m22n_12.已知 xmxn x 2ax12 （ m, n 是整数）则 a 的取值有 _种13.若三角形的三边长分别为a 、 b 、 c ，满足 a 2b a 2c b2c b30 ，则这个三角形是14. 观察下列各式（ x 1）（ x 1） =x2 1，（ x-1 ）（ x2 x l ） =x3 l （ x l ）（ x3 x2 xl ） =x 4-1 ，根据前面各式的规律可得（x1）（ xn xn-1 x 1）.二、计算（每题6 分）（ 1） (2xyz5)(2xyz5)（2） ( a2b3c)(a2b3c)三、 解答题1. （ 5 分）计算：(31)(321)(341)(381)(