2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(重庆卷)理

1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学(理工农医类)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014重庆,理1)复平面内表示复数i(1-2i)的点位于().a.第一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象限答案:a解析:因为i(1-2i)=i+2,其在复平面内对应的点为(2,1),位于第一象限.故选a.2.(2014重庆,理2)对任意等比数列an,下列说法一定正确的是().a.a1,a3,a9成等比数列b.a2,a3,a6成等比数列c.a2,a4,a8成等比数列d.a3,a6,a9成等比数列答案:d解析:根据等

2、比数列的性质,若m+n=2k(m,n,kn+),则am,ak,an成等比数列,故选d.3.(2014重庆,理3)已知变量x与y正相关,且由观测数据算得样本平均数x=3,y=3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是().a.y=0.4x+2.3b.y=2x-2.4c.y=-2x+9.5d.y=-0.3x+4.4答案:a解析:由变量x与y正相关,可知x的系数为正,排除c,d.而所有的回归直线必经过点(x,y),由此排除b,故选a.4.(2014重庆,理4)已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)c,则实数k=().a.-92b.0c.3d.152答案:c解析:

3、由已知(2a-3b)c,可得(2a-3b)·c=0,即(2k-3,-6)·(2,1)=0,展开化简得4k-12=0,所以k=3,故选c.5.(2014重庆,理5)执行如图所示的程序框图,若输出k的值为6,则判断框内可填入的条件是().a.s>12b.s>35c.s>710d.s>45答案:c解析:该程序框图为循环结构.k=9,s=1时,经判断执行“是”,计算1×99+1=910赋值给s,然后k减少1变为8;k=8,s=910时,经判断执行“是”,计算910×88+1=810赋值给s,然后k减少1变为7;k=7,s=810时,经判断

4、执行“是”,计算810×77+1=710赋值给s,然后k减少1变为6;k=6,s=710,根据输出k为6,此时应执行“否”.结合选项可知,判断框内应填s>710,故选c.6.(2014重庆,理6)已知命题p:对任意xr,总有2x>0;q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是().a.pqb.􀱑p􀱑qc.􀱑pqd.p􀱑q答案:d解析:根据指数函数值域为(0,+),得p为真命题;而“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,故q为假命题.根据复合命题的真假规律

5、,可得p􀱑q为真命题,故选d.7.(2014重庆,理7)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为().a.54b.60c.66d.72答案:b解析:根据几何体的三视图可得该几何体的直观图为如图所示的abc-def,故其表面积为s=sdef+sabc+s梯形abed+s梯形cbef+s矩形acfd=12×3×5+12×3×4+12×(5+2)×4+12×(5+2)×5+3×5=60.故选b.8.(2014重庆,理8)设f1,f2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b&g

6、t;0)的左、右焦点,双曲线上存在一点p使得|pf1|+|pf2|=3b,|pf1|·|pf2|=94ab,则该双曲线的离心率为().a.43b.53c.94d.3答案:b解析:根据双曲线的定义|pf1|-|pf2|=2a,可得|pf1|2-2|pf1|pf2|+|pf2|2=4a2.而由已知可得|pf1|2+2|pf1|pf2|+|pf2|2=9b2,两式作差可得-4|pf1|pf2|=4a2-9b2.又|pf1|pf2|=94ab,所以有4a2+9ab-9b2=0,即(4a-3b)(a+3b)=0,得4a=3b,平方得16a2=9b2,即16a2=9(c2-a2),即25a2=9

7、c2,c2a2=259,所以e=53,故选b.9.(2014重庆,理9)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是().a.72b.120c.144d.168答案:b解析:解决该问题分为两类:第一类分两步,先排歌舞类a33,然后利用插空法将剩余3个节目排入左边或右边3个空,故不同排法有a33·2a33=72.第二类也分两步,先排歌舞类a33,然后将剩余3个节目放入中间两空排法有c21a22a22,故不同的排法有a33a22a22c21=48,故共有120种不同排法,故选b.10.(2014重庆,理10)已知abc的内角a,b

8、,c满足sin 2a+sin(a-b+c)=sin(c-a-b)+12,面积s满足1s2,记a,b,c分别为a,b,c所对的边,则下列不等式一定成立的是().a.bc(b+c)>8b.ab(a+b)>162c.6abc12d.12abc24答案:a解析:由sin 2a+sin(a-b+c)=sin(c-a-b)+12得,sin 2a+sina-(b-c)+sina+(b-c)=12,所以sin 2a+2sin acos(b-c)=12.所以2sin acos a+cos(b-c)=12,所以2sin acos(-(b+c)+cos(b-c)=12,所以2sin a-cos(b+c)

9、+cos(b-c)=12,即得sin asin bsin c=18.根据三角形面积公式s=12absin c,s=12acsin b,s=12bcsin a,因为1s2,所以1s38.将式相乘得1s3=18a2b2c2sin asin bsin c8,即64a2b2c2512,所以8abc162,故排除c,d选项,而根据三角形两边之和大于第三边,故b+c>a,得bc(b+c)>8一定成立,而a+b>c,ab(a+b)也大于8,而不一定大于162,故选a.二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11.(2014重庆,理11

10、)设全集u=nn|1n10,a=1,2,3,5,8,b=1,3,5,7,9,则(ua)b=. 答案:7,9解析:由题意,得u=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,故ua=4,6,7,9,10,所以(ua)b=7,9.12.(2014重庆,理12)函数f(x)=log2x·log2(2x)的最小值为. 答案:-14解析:根据对数运算性质,f(x)=log2x·log2(2x)=12log2x·2log2(2x)=log2x(1+log2x)=(log2x)2+log2x=log2x+122-14,当x=22时,函数取得最小值-14.13.(

11、2014重庆,理13)已知直线ax+y-2=0与圆心为c的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于a,b两点,且abc为等边三角形,则实数a=. 答案:4±15解析:由abc为等边三角形可得,c到ab的距离为3,即(1,a)到直线ax+y-2=0的距离d=|a+a-2|1+a2=3,即a2-8a+1=0,可求得a=4±15.考生注意:14,15,16三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分.14.(2014重庆,理14)过圆外一点p作圆的切线pa(a为切点),再作割线pbc依次交圆于b,c.若pa=6,ac=8,bc=9,则ab=. 答

12、案:4解析:如图所示:根据切割线定理,得pa2=pb·pc,又因为pc=(pb+bc),且pa=6,bc=9,所以36=pb·(pb+9),解得pb=3.在pac中,根据余弦定理cosacp=ac2+pc2-ap22ac·pc,即cosacp=82+122-622×8×12=4348,在acb中,根据余弦定理ab2=ac2+bc2-2ac·bccosacb=82+92-2×8×9×4348=16,所以ab=4.15.(2014重庆,理15)已知直线l的参数方程为x=2+t,y=3+t(t为参数),以坐标原

13、点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线c的极坐标方程为sin2-4cos =0(0,0<2),则直线l与曲线c的公共点的极径=. 答案:5解析:直线l的普通方程为y=x+1,曲线c的直角坐标方程为y2=4x,联立两方程,得y=x+1,y2=4x,解得x=1,y=2.所以公共点为(1,2).所以公共点的极径为=22+1=5.16.(2014重庆,理16)若不等式|2x-1|+|x+2|a2+12a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是. 答案:-1,12解析:令f(x)=|2x-1|+|x+2|=-3x-1,x-2,3-x,-2<x12,3x+1,x

14、>12,可求得f(x)的最小值为52,故原不等式恒成立转化为a2+12a+252恒成立,即a2+a2-120,即(a+1)a-120,解得a-1,12.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分13分,(1)小问5分,(2)小问8分)(2014重庆,理17)已知函数f(x)=3sin(x+)>0,-2<2的图象关于直线x=3对称,且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求和的值;(2)若f2=346<<23,求cos+32的值.分析:在第(1)问中主要考查了三角函数的周期和对称性,两最高点之间的距离是一个周期,从

15、而根据公式t=2,准确求出;而求,则根据对称轴处取最值并结合的取值范围给k赋值才能准确求出.第(2)问中已知f2=34,结合的范围判断并求出cos-6的值,然后进一步将cos+32转化成sin ,而后将写成-6加上6的形式,从而求出最后的值,该题解答过程中,必须熟练运用诱导公式及两角和差的三角函数公式.解:(1)因f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为,所以f(x)的最小正周期t=,从而=2t=2.又因f(x)的图象关于直线x=3对称,所以2·3+=k+2,k=0,±1,±2,.因-2<2得k=0,所以=2-23=-6.(2)由(1)得f2=3sin2

16、83;2-6=34,所以sin-6=14.由6<<23得0<-6<2,所以cos-6=1-sin2-6=1-142=154.因此cos+32=sin =sin-6+6=sin-6cos6+cos-6sin6=14×32+154×12=3+158.18.(本小题满分13分,(1)小问5分,(2)小问8分)(2014重庆,理18)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;(2)x表示所取3张卡片上的数字的中位数,求x的分布列与数

17、学期望.(注:若三个数a,b,c满足abc,则称b为这三个数的中位数.)分析:本题第(1)问主要考查古典概型中的概率计算公式p(a)=a包含的基本事件数基本事件总数,准确求出基本事件总数是解决问题的关键.第(2)问考查离散型随机变量的分布列,理解中位数的概念,明确变量x的取值是解决该问题的前提,另外求出分布列之后,最好验证概率之和是否为1.解:(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为p=c43+c33c93=584.(2)x的所有可能值为1,2,3,且p(x=1)=c42c51+c43c93=1742,p(x=2)=c31c41c21+c32c61+c33c93=4384,p(x=3)=c

18、22c71c93=112,故x的分布列为x123而e(x)=1×1742+2×4384+3×112=4728.19.(本小题满分13分,(1)小问6分,(2)小问7分)(2014重庆,理19)如图,四棱锥p-abcd中,底面是以o为中心的菱形,po底面abcd,ab=2,bad=3,m为bc上一点,且bm=12,mpap.(1)求po的长;(2)求二面角a-pm-c的正弦值.分析:本题主要考查空间向量与立体几何,正确的建立空间直角坐标系并标明点的坐标是解题的关键.第(1)问将直线垂直转化为两直线的方向向量的数量积为零便可解决;第(2)问考

19、查了二面角向量求法,设出二面角中两个面的法向量,利用垂直时内积为0,列方程组,确定法向量的坐标,再由向量夹角公式求出二面角的正弦值即可.解:(1)如图,连结ac,bd,因abcd为菱形,则acbd=o,且acbd.以o为坐标原点,oa,ob,op的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系o-xyz.因bad=3,故oa=ab·cos6=3,ob=ab·sin6=1,所以o(0,0,0),a(3,0,0),b(0,1,0),c(-3,0,0),ob=(0,1,0),bc=(-3,-1,0).由bm=12,bc=2知,bm=14bc=-34,-14,0,从而om=

20、ob+bm=-34,34,0,即m-34,34,0.设p(0,0,a),a>0,则ap=(-3,0,a),mp=34,-34,a.因为mpap,故mp·ap=0,即-34+a2=0,所以a=32,a=-32(舍去),即po=32.(2)由(1)知,ap=-3,0,32,mp=34,-34,32,cp=3,0,32.设平面apm的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面pmc的法向量为n2=(x2,y2,z2),由n1·ap=0,n1·mp=0,得-3x1+32z1=0,34x1-34y1+32z1=0,故可取n1=1,533,2,由n2·mp=0,

21、n2·cp=0,得34x2-34y2+32z2=0,3x2+32z2=0,故可取n2=(1,-3,-2),从而法向量n1,n2的夹角的余弦值为cos<n1,n2>=n1·n2|n1|·|n2|=-155,故所求二面角a-pm-c的正弦值为105.20.(本小题满分12分,(1)小问4分,(2)小问3分,(3)小问5分)(2014重庆,理20)已知函数f(x)=ae2x-be-2x-cx(a,b,cr)的导函数f'(x)为偶函数,且曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线的斜率为4-c.(1)确定a,b的值;(2)若c=3,判断f(x)的单调性

22、;(3)若f(x)有极值,求c的取值范围.分析:在第(1)问中,主要考查复合函数求导公式、偶函数性质及导数的几何意义,要确定a,b的值,只需由偶函数概念、导数的几何意义及已知条件列出关于a,b的两个方程,解方程即得a,b的值.在求解过程中尤其要注意复合函数求导.第(2)问考查导数的应用之一,先求导,再利用基本不等式判断导数的符号,进而判断f(x)的单调性.第(3)问,由已知,先利用导数分类讨论f(x)的极值情况,再根据f'(x)有变号零点确定c的取值范围.解:(1)对f(x)求导得f'(x)=2ae2x+2be-2x-c,由f'(x)为偶函数,知f'(-x)=f

23、'(x),即2(a-b)(e2x+e-2x)=0,因e2x+e-2x>0,所以a=b.又f'(0)=2a+2b-c=4-c,故a=1,b=1.(2)当c=3时,f(x)=e2x-e-2x-3x,那么f'(x)=2e2x+2e-2x-322e2x·2e-2x-3=1>0,故f(x)在r上为增函数.(3)由(1)知f'(x)=2e2x+2e-2x-c,而2e2x+2e-2x22e2x·2e-2x=4,当x=0时等号成立.下面分三种情况进行讨论.当c<4时,对任意xr,f'(x)=2e2x+2e-2x-c>0,此时f

24、(x)无极值;当c=4时,对任意x0,f'(x)=2e2x+2e-2x-4>0,此时f(x)无极值;当c>4时,令e2x=t,注意到方程2t+2t-c=0有两根t1,2=c±c2-164>0,即f'(x)=0有两个根x1=12ln t1或x2=12ln t2.当x1<x<x2时,f'(x)<0;又当x>x2时,f'(x)>0,从而f(x)在x=x2处取得极小值.综上,若f(x)有极值,则c的取值范围是(4,+).21.(本小题满分12分,(1)小问5分,(2)小问7分)(2014重庆,理21)如图,设椭圆

25、x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为f1,f2,点d在椭圆上,df1f1f2,|f1f2|df1|=22,df1f2的面积为22.(1)求椭圆的标准方程;(2)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.分析:(1)由已知可求出c,进而求出|df1|,|df2|,则利用椭圆的定义可求a,再根据b2=a2-c2求b2,从而求得椭圆的标准方程.(2)由题设知圆的两条切线与过切点的两条半径围成一个正方形,故圆的半径等于两切点的长度的22倍,故只需求两切点间的长度,而由圆及椭圆的对称性知,两切点间的长

26、度应是一切点横坐标绝对值的2倍,故只需求切点的横坐标,可将切线过椭圆的焦点是互相垂直转化为两向量的数量积为零求解.解:(1)设f1(-c,0),f2(c,0),其中c2=a2-b2.由|f1f2|df1|=22得|df1|=|f1f2|22=22c.从而sdf1f2=12|df1|f1f2|=22c2=22,故c=1.从而|df1|=22,由df1f1f2得|df2|2=|df1|2+|f1f2|2=92,因此|df2|=322.所以2a=|df1|+|df2|=22,故a=2,b2=a2-c2=1.因此,所求椭圆的标准方程为x22+y2=1.(2)如图,设圆心在y轴上的圆c与椭圆x22+y2

27、=1相交,p1(x1,y1),p2(x2,y2)是两个交点,y1>0,y2>0,f1p1,f2p2是圆c的切线,且f1p1f2p2.由圆和椭圆的对称性,易知,x2=-x1,y1=y2,|p1p2|=2|x1|.由(1)知f1(-1,0),f2(1,0),所以f1p1=(x1+1,y1),f2p2=(-x1-1,y1).再由f1p1f2p2得-(x1+1)2+y12=0.由椭圆方程得1-x122=(x1+1)2,即3x12+4x1=0.解得x1=-43或x1=0.当x1=0时,p1,p2重合,此时题设要求的圆不存在.当x1=-43时,过p1,p2分别与f1p1,f2p2垂直的直线的交

28、点即为圆心c.由f1p1,f2p2是圆c的切线,且f1p1f2p2,知cp1cp2.又|cp1|=|cp2|,故圆c的半径|cp1|=22|p1p2|=2|x1|=423.22.(本小题满分12分,(1)小问4分,(2)小问8分)(2014重庆,理22)设a1=1,an+1=an2-2an+2+b(nn*).(1)若b=1,求a2,a3及数列an的通项公式;(2)若b=-1,问:是否存在实数c使得a2n<c<a2n+1对所有nn*成立?证明你的结论.分析:(1)方法一:若b=1,则an+1=an2-2an+2+1,根据其特点,可研究数列(an-1)2的性质,由(an-1)2的通项,

29、进而求an的通项.方法二:先求出an的前几项,猜想an并用数学归纳法证明.(2)方法一:令an+1=an=c,求出c值,然后证明a2n<c<a2n+1,若成立,则存在,若不成立,则不存在.方法二:根据能否求出同时满足a2n<c和a2n+1>c的c值进行判断.(1)解法一:a2=2,a3=2+1.再由题设条件知(an+1-1)2=(an-1)2+1.从而(an-1)2是首项为0公差为1的等差数列,故(an-1)2=n-1,即an=n-1+1(nn*).解法二:a2=2,a3=2+1.可写为a1=1-1+1,a2=2-1+1,a3=3-1+1.因此猜想an=n-1+1.下用数学归纳法证明上式:当n=1时结论显然成立.假设n=k时结论成立,即ak=k-1+1,则ak+1=(ak-1)2+1+1=(k-1)+1+1=(k+1)-1+1.这就是说,当n=k+1时结论成立.所以an=n-1+