2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学甲卷 (2)

1、绝密 启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共24题,共150分,共4页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.选择题必须使用2b铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸

2、刀。第卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。(1) 已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是 (a)(-3,1)(b)(-1,3)(c)(1,+)(d)(-,-3)(2) 已知集合a=1,2,3,b=x|(x+1)(x-2)<0,xz,则ab=(a)1(b)1,2(c)0,1,2,3(d)-1,0,1,2,3(3) 已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)b,则m=(a)-8(b)-6(c)6(d)8(4) 圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为

3、1,则a=(a)-43(b)-34(c)3(d)2(5) 如图,小明从街道的e处出发,先到f处与小红会合,再一起到位于g处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(a)24(b)18(c)12(d)9(6) 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为(a)20(b)24(c)28(d)32(7) 若将函数y=2sin2x的图像向左平移12个单位长度,则平移后图像的对称轴为(a)x=k2-6(kz)(b)x=k2+6(kz)(c)x=k2-12(kz)(d)x=k2+12(kz)(8) 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图

4、.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=(a)7(b)12(c)17(d)34(9) 若cos(4-)=35,则sin2=(a)725(b)15(c)-15(d)-725(10) 从区间0,1随机抽取2n个数x1,x2,xn,y1,y2,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为(a)4nm(b)2nm(c)4mn(d)2mn(11) 已知f1,f2是双曲线e:x2a2-y2b2=1的左、右焦点,点m在e上,mf1与x轴垂直,sinmf2f1=13,则e

5、的离心率为(a)2(b)32(c)3(d)2(12) 已知函数f(x)(xr)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=x+1x与y=f(x)图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),(xm,ym),则􀰑i=1m(xi+yi)=(a)0(b)m(c)2m(d)4m第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第1321题为必考题,每个试题考生都必须作答。第2224题为选考题,考生根据要求作答。二、填空题:本题共4小题,每小题5分。(13) abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c,若cosa=45,cosc=513,a=1,则b=. (14) ,是两个平面,m,n是两条直线

6、,有下列四个命题:如果mn,m,n,那么.如果m,n,那么mn.如果,m,那么m.如果mn,那么m与所成的角和n与所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号) (15) 有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是. (16) 若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过

7、程或演算步骤。(17) (本小题满分12分)sn为等差数列an的前n项和,且a1=1,s7=28.记bn=lgan,其中x表示不超过x的最大整数,如0.9=0,lg99=1.()求b1,b11,b101;()求数列bn的前1000项和.(18) (本小题满分12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:一年内出险次数012345概率0.300.150.200.200.100.05()求一续保人本年度

8、的保费高于基本保费的概率;()若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;()求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.(19) (本小题满分12分)如图,菱形abcd的对角线ac与bd交于点o,ab=5,ac=6,点e,f分别在ad,cd上,ae=cf=54,ef交bd于点h.将def沿ef折到d'ef的位置,od'=10.()证明:d'h平面abcd;()求二面角b-d'a-c的正弦值.(20) (本小题满分12分)已知椭圆e:x2t+y23=1的焦点在x轴上,a是e的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交e于a,m两点,点n在

9、e上,mana.()当t=4,|am|=|an|时,求amn的面积;()当2|am|=|an|时,求k的取值范围.(21)(本小题满分12分)()讨论函数f(x)=x-2x+2ex的单调性,并证明当x>0时,(x-2)ex+x+2>0;()证明:当a0,1)时,函数g(x)=ex-ax-ax2(x>0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a),求函数h(a)的值域.请考生在第2224题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。(22) (本小题满分10分)选修41:几何证明选讲如图,在正方形abcd中,e,g分别在边da,dc上(不与端点重合),且de=dg,过d点作df

10、ce,垂足为f.()证明:b,c,g,f四点共圆;()若ab=1,e为da的中点,求四边形bcgf的面积.(23) (本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中,圆c的方程为(x+6)2+y2=25.()以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求c的极坐标方程;()直线l的参数方程是x=tcos,y=tsin,(t为参数),l与c交于a,b两点,|ab|=10,求l的斜率.(24) (本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|x-12|+|x+12|,m为不等式f(x)<2的解集.()求m;()证明:当a,bm时,|a+b|<|1+ab

11、|.试卷全解全析全国甲卷理科(1)a要使复数z在复平面内对应的点在第四象限,应满足m+3>0,m-1<0,解得-3<m<1,故选a.(2)c由题意可知,b=x|-1<x<2,xz=0,1,而a=1,2,3,所以ab=0,1,2,3,故选c.(3)d由题意可知,向量a+b=(4,m-2).由(a+b)b,得4×3+(m-2)×(-2)=0,解得m=8,故选d.(4)a圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,所以圆心坐标为(1,4).由点到直线的距离公式,得d=|a+4-1|a2+1=1,解得a=-43,故选a.(5)b由题意知,小明从

12、街道的e处出发到f处的最短路径有6条,再从f处到g处的最短路径有3条,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3=18,故选b.(6)c由题意可知,该几何体由同底面的一个圆柱和一个圆锥构成,圆柱的侧面积为s1=2×2×4=16,圆锥的侧面积为s2=12×2×2×(23)2+22=8,圆柱的底面面积为s3=×22=4,故该几何体的表面积为s=s1+s2+s3=28,故选c.(7)b由题意可知,将函数y=2sin 2x的图像向左平移12个单位长度得y=2sin2x+12=2sin2x+6的图像,令2x+6=2+k(kz),得

13、x=k2+6(kz).故选b.(8)c由题意,得x=2,n=2,k=0,s=0,输入a=2,则s=0×2+2=2,k=1,继续循环;输入a=2,则s=2×2+2=6,k=2,继续循环;输入a=5,s=6×2+5=17,k=3>2,退出循环,输出17.故选c.(9)d方法一:cos24-=2cos24-1=2×352-1=-725,且cos24-=cos2-2=sin 2,故选d.方法二:由cos4-=35,得22cos +22sin =35,即22(cos +sin )=35,两边平方得12(cos2+sin2+2cos sin )=925,整理得

14、2sin cos =-725,即sin 2=-725,故选d.(10)c利用几何概型求解,由题意可知,14s圆s正方形=14×1212=mn,所以=4mn.(11)a因为mf1垂直于x轴,所以|mf1|=b2a,|mf2|=2a+b2a.因为sin mf2f1=13,所以|mf1|mf2|=b2a2a+b2a=13,化简得b=a,故双曲线的离心率e=ca=1+b2a2=2.(12)b由f(-x)=2-f(x),得f(x)的图像关于点(0,1)对称.而y=x+1x=1+1x的图像是由y=1x的图像向上平移一个单位长度得到的,故y=x+1x的图像关于点(0,1)对称.则函数y=x+1x与

15、y=f(x)图像的交点也关于点(0,1)对称,且每一组对称点(xi,yi),(x'i,y'i)(i=1,2,m)满足xi+x'i=0,yi+y'i=2,所以i=1m(xi+yi)=i=1mxi+i=1myi=m2×0+m2×2=m.(13)2113因为cos a=45,cos c=513,且a,c为abc的内角,所以sin a=35,sin c=1213,sin b=sin -(a+c)=sin (a+c)=sin acos c+cos asin c=6365.又因为asina=bsinb,所以b=asinbsina=2113.(14)对于,

16、若mn,m,n,则,的位置关系无法确定,故错误;对于,因为n,所以过直线n作平面与平面相交于直线c,则nc.因为m,所以mc,所以mn,故正确;对于,由两个平面平行的性质可知正确;对于,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确,故正确命题的编号有.(15)1和3由丙说的话可知,丙的卡片上的数字可能是“1和2”或“1和3”.若丙的卡片上的数字是“1和2”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和3”,此时与甲说的话一致;若丙的卡片上的数字是“1和3”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和2”,此时与甲说的话矛盾.综上可知,甲的卡片

17、上的数字是“1和3”.(16)1-ln 2对函数y=ln x+2求导,得y'=1x,对函数y=ln(x+1)求导,得y'=1x+1.设直线y=kx+b与曲线y=ln x+2相切于点p1(x1,y1),与曲线y=ln(x+1)相切于点p2(x2,y2),则y1=ln x1+2,y2=ln(x2+1).由点p1(x1,y1)在切线上,得y-(ln x1+2)=1x1(x-x1),由点p2(x2,y2)在切线上,得y-ln(x2+1)=1x2+1(x-x2).因为这两条直线表示同一条直线,所以1x1=1x2+1,ln(x2+1)=ln x1+x2x2+1+1,解得x1=12,所以k=

18、1x1=2,b=ln x1+2-1=1-ln 2.(17)解 ()设an的公差为d,据已知有7+21d=28,解得d=1.所以an的通项公式为an=n.b1=lg 1=0,b11=lg 11=1,b101=lg 101=2.()因为bn=0,1n<10,1,10n<100,2,100n<1 000,3,n=1 000,所以数列bn的前1 000项和为1×90+2×900+3×1=1 893.(18)解 ()设a表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件a发生当且仅当一年内出险次数大于1,故p(a)=0.2+0.2+0.1+0.05=0

19、.55.()设b表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件b发生当且仅当一年内出险次数大于3,故p(b)=0.1+0.05=0.15.又p(ab)=p(b),故p(b|a)=p(ab)p(a)=p(b)p(a)=0.150.55=311.因此所求概率为311.()记续保人本年度的保费为x,则x的分布列为x0.85aa1.25a1.5a1.75a2ap0.300.150.200.200.100.05ex=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05

20、=1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.(19)解 ()由已知得acbd,ad=cd.又由ae=cf得aead=cfcd,故acef.因此efhd,从而efd'h.由ab=5,ac=6得do=bo=ab2-ao2=4.由efac得ohdo=aead=14.所以oh=1,d'h=dh=3.于是d'h2+oh2=32+12=10=d'o2,故d'hoh.又d'hef,而ohef=h,所以d'h平面abcd.()如图,以h为坐标原点,hf的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系h-xyz.则h(0,0,0),a(-3,

21、-1,0),b(0,-5,0),c(3,-1,0),d'(0,0,3),ab=(3,-4,0),ac=(6,0,0),ad'=(3,1,3).设m=(x1,y1,z1)是平面abd'的法向量,则m·ab=0,m·ad'=0,即3x1-4y1=0,3x1+y1+3z1=0,所以可取m=(4,3,-5).设n=(x2,y2,z2)是平面acd'的法向量,则n·ac=0,n·ad'=0,即6x2=0,3x2+y2+3z2=0,所以可取n=(0,-3,1).于是cos<m,n>=m·n|m|n

22、|=-1450×10=-7525.sin<m,n>=29525.因此二面角b-d'a-c的正弦值是29525.(20)解 ()设m(x1,y1),则由题意知y1>0.当t=4时,e的方程为x24+y23=1,a(-2,0).由已知及椭圆的对称性知,直线am的倾斜角为4.因此直线am的方程为y=x+2.将x=y-2代入x24+y23=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=127,所以y1=127.因此amn的面积samn=2×12×127×127=14449.()由题意t>3,k>0,a(-t,0).将直线am的方程

23、y=k(x+t)代入x2t+y23=1得(3+tk2)x2+2t·tk2x+t2k2-3t=0.由x1·(-t)=t2k2-3t3+tk2得x1=t(3-tk2)3+tk2,故|am|=|x1+t|1+k2=6t(1+k2)3+tk2.由题设,直线an的方程为y=-1k(x+t),故同理可得|an|=6kt(1+k2)3k2+t.由2|am|=|an|得23+tk2=k3k2+t,即(k3-2)t=3k(2k-1).当k=32时上式不成立,因此t=3k(2k-1)k3-2.t>3等价于k3-2k2+k-2k3-2=(k-2)(k2+1)k3-2<0,即k-2k3

24、-2<0.由此得k-2>0,k3-2<0或k-2<0,k3-2>0,解得32<k<2.因此k的取值范围是(32,2).(21)解 ()f(x)的定义域为(-,-2)(-2,+).f'(x)=(x-1)(x+2)ex-(x-2)ex(x+2)2=x2ex(x+2)20,当且仅当x=0时,f'(x)=0,所以f(x)在(-,-2),(-2,+)单调递增.因此当x(0,+)时,f(x)>f(0)=-1.所以(x-2)ex>-(x+2),(x-2)ex+x+2>0.()g'(x)=(x-2)ex+a(x+2)x3=x+

25、2x3(f(x)+a).由()知,f(x)+a单调递增.对任意a0,1),f(0)+a=a-1<0,f(2)+a=a0.因此,存在唯一xa(0,2,使得f(xa)+a=0,即g'(xa)=0.当0<x<xa时,f(x)+a<0,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>xa时,f(x)+a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增.因此g(x)在x=xa处取得最小值,最小值为g(xa)=exa-a(xa+1)xa2=exa+f(xa)(xa+1)xa2=exaxa+2.于是h(a)=exaxa+2,由exx+2'=(x+1)ex(x+2)2>0,exx+2单调递增.所以,由xa(0,2,得12=e00+2<h(a)=exaxa+2e22+2=e24.因为exx+2单调递增,对任意12,e2