2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(全国卷)1

1、1 / 13 绝密 启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.(2017 全国 1,文 1)已知集合 a=x|x0,则( ) a.ab=x

2、|x32 b.ab= c.ab=x|x32 d.ab=r 解析a=x|x0=| 32,ab=x|x2,ab=| 0,故排除选项 a;故选 c. 答案 c 9.(2017 全国 1,文 9)已知函数 f(x)=ln x+ln(2-x),则( ) a.f(x)在(0,2)单调递增 b.f(x)在(0,2)单调递减 c.y=f(x)的图像关于直线 x=1 对称 d.y=f(x)的图像关于点(1,0)对称 解析 f(x)=ln x+ln(2-x)=ln(-x2+2x),x(0,2).当 x(0,1)时,x增大,-x2+2x 增大,ln(-x2+2x)增大,当 x(1,2)时,x增大,-x2+2x 减小

3、,ln(-x2+2x)减小,即 f(x)在(0,1)单调递增,在(1,2)单调递减,故排除选项 a,b;因为f(2-x)=ln(2-x)+ln2-(2-x)=ln(2-x)+ln x=f(x),所以 y=f(x)的图像关于直线 x=1对称,故排除选项 d.故选c. 答案 c 5 / 13 10.(2017 全国 1,文 10) 右面程序框图是为了求出满足 3n-2n1 000 的最小偶数 n,那么在和两个空白框中,可以分别填入( ) a.a1 000和 n=n+1 b.a1 000 和 n=n+2 c.a1 000和 n=n+1 d.a1 000 和 n=n+2 解析因为要求 a大于 1 00

4、0 时输出,且程序框图中在“否”时输出,所以“”中不能填入 a1 000,排除 a,b.又要求 n为偶数,且 n初始值为 0,所以“”中 n 依次加 2 可保证其为偶数,故选 d. 答案 d 11.(2017 全国 1,文 11)abc的内角 a,b,c的对边分别为 a,b,c.已知 sin b+sin a(sin c-cos c)=0,a=2,c=2,则 c=( ) a.12 b.6 c.4 d.3 解析由题意结合三角形的内角和,可得 sin(a+c)+sin a(sin c-cos c)=0,整理得 sin acos c+cos asin c+sin asin c-sin acos c=0

5、,则 sin c(sin a+cos a)=0,因为 sin c0,所以 sin a+cos a=0,即 tan a=-1,因为 a(0,),所以 a=34.由正弦定理sin=sin,得2sin34=2sin,即 sin c=12,所以 c=6,故选 b. 答案 b 6 / 13 12.(2017 全国 1,文 12)设 a,b 是椭圆 c:23+2=1 长轴的两个端点.若 c 上存在点 m满足amb=120,则 m的取值范围是( ) a.(0,19,+) b.(0,39,+) c.(0,14,+) d.(0,34,+) 解析由题意,可知当点 m为短轴的端点时,amb最大.当 0m3时,椭圆

6、c的焦点在 x 轴上,要使椭圆 c 上存在点 m满足amb=120,则tan 60=3,即3 3,解得 03时,椭圆 c的焦点在 y 轴上,要使椭圆 c上存在点 m 满足amb=120,则tan 60=3,即3 3,解得m9,综上 m 的取值范围为(0,19,+),故选 a. 答案 a 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分. 13.(2017 全国 1,文 13)已知向量 a=(-1,2),b=(m,1),若向量 a+b 与 a 垂直,则 m= . 解析因为 a=(-1,2),b=(m,1), 所以 a+b=(m-1,3). 因为 a+b 与 a 垂直,所以(a+b) a=0,即-(m

7、-1)+2 3=0,解得 m=7. 答案 7 14.(2017 全国 1,文 14)曲线 y=x2+1在点(1,2)处的切线方程为 . 解析设 y=f(x),则 f(x)=2x-12,所以 f(1)=2-1=1.所以曲线 y=x2+1在点(1,2)处的切线方程为 y-2=1 (x-1),即 y=x+1. 答案 y=x+1 15.(2017 全国 1,文 15)已知 (0,2),tan =2,则 cos(-4)= . 解析由 tan =2,得 sin =2cos . 7 / 13 又 sin2+cos2=1,所以 cos2=15. 因为 (0,2),所以 cos =55,sin =255. 因为

8、 cos(-4)=cos cos4+sin sin4, 所以 cos(-4) =5522+25522=31010. 答案31010 16.(2017 全国 1,文 16)已知三棱锥 s -abc 的所有顶点都在球 o 的球面上,sc是球 o 的直径,若平面sca平面 scb,sa=ac,sb=bc,三棱锥 s -abc的体积为 9,则球 o的表面积为. 解析取 sc 的中点 o,连接 oa,ob. 因为 sa=ac,sb=bc,所以 oasc,obsc. 因为平面 sac平面 sbc,且 oa平面 sac, 所以 oa平面 sbc.设 oa=r,则 va-sbc=13 ssbc oa=1312

9、 2r r r=13r3, 所以13r3=9,解得 r=3. 所以球 o 的表面积为 4r2=36. 答案 36 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。 17.(12分)(2017 全国 1,文 17)设 sn为等比数列an的前 n项和,已知 s2=2,s3=-6. (1)求an的通项公式; (2)求 sn,并判断 sn+1,sn,sn+2是否成等差数列. 8 / 13 解(1)设an的公比为 q.由题设可得1(1 + ) = 2,1(1 +

10、 + 2) = -6.解得 q=-2,a1=-2. 故an的通项公式为 an=(-2)n. (2)由(1)可得 sn=1(1-)1-=-23+(-1)n2+13. 由于 sn+2+sn+1=-43+(-1)n2+3-2+23=2-23+ (-1)2+13=2sn,故 sn+1,sn,sn+2成等差数列. 18.(12分)(2017 全国 1,文 18) 如图,在四棱锥 p-abcd中,abcd,且bap=cdp=90. (1)证明:平面 pab平面 pad; (2)若 pa=pd=ab=dc,apd=90,且四棱锥 p-abcd 的体积为83,求该四棱锥的侧面积. 解(1)由已知bap=cdp

11、=90,得 abap,cdpd.由于 abcd,故 abpd,从而 ab平面pad.又 ab平面 pab,所以平面 pab平面 pad. (2) 在平面 pad 内作 pead,垂足为 e. 由(1)知,ab平面 pad,故 abpe,可得 pe平面 abcd. 设 ab=x,则由已知可得 ad=2x,pe=22x. 9 / 13 故四棱锥 p-abcd的体积 vp-abcd=13ab ad pe=13x3. 由题设得13x3=83,故 x=2. 从而 pa=pd=2,ad=bc=22,pb=pc=22. 可得四棱锥 p-abcd 的侧面积为12pa pd+12pa ab+12pd dc+12

12、bc2sin 60=6+23. 19.(12分)(2017 全国 1,文 19)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔 30 min 从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm).下面是检验员在一天内依次抽取的 16 个零件的尺寸: 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 =116=116xi=9.97,s=1

13、16i=116(-)2= 116( =1162-162)0.212, =116(-8.5)218.439, =116(xi-)(i-8.5)=-2.78,其中 xi为抽取的第 i个零件的尺寸,i=1,2,16. (1)求(xi,i)(i=1,2,16)的相关系数 r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小). (2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(-3s,+3s)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. ()从这一天抽检的结果

14、看,是否需对当天的生产过程进行检查? ()在(-3s,+3s)之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到 0.01) 10 / 13 附:样本(xi,yi)(i=1,2,n)的相关系数 r=1(-)(-)=1(-)2=1(-)2. 0.0080.09. 解(1)由样本数据得(xi,i)(i=1,2,16)的相关系数为 r=116(xi-x)(-8.5)i=116(-)2=116(-8.5)2=-2.780.2121618.439-0.18. 由于|r|0,即 m-1时,x1,2=22 + 1. 从而|ab|=2|x1-x2|=42( + 1).

15、 由题设知|ab|=2|mn|,即 42( + 1)=2(m+1), 解得 m=7. 所以直线 ab 的方程为 y=x+7. 21.(12分)(2017 全国 1,文 21)已知函数 f(x)=ex(ex-a)-a2x. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)若 f(x)0,求 a的取值范围. 解(1)函数 f(x)的定义域为(-,+),f(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a). 若 a=0,则 f(x)=e2x,在(-,+)单调递增. 若 a0,则由 f(x)=0得 x=ln a. 当 x(-,ln a)时,f(x)0.故 f(x)在(-,ln a)单调递减,在(ln a

16、,+)单调递增. 若 a0,则由 f(x)=0得 x=ln(-2). 当 x(-,ln(-2)时,f(x)0. 故 f(x)在(-,ln(-2)单调递减,在(ln(-2), + )单调递增. (2)若 a=0,则 f(x)=e2x,所以 f(x)0. 若 a0,则由(1)得,当 x=ln a时,f(x)取得最小值,最小值为 f(ln a)=-a2ln a.从而当且仅当-a2ln a0,即 a1时,f(x)0. 12 / 13 若 a0,则由(1)得,当 x=ln(-2)时,f(x)取得最小值,最小值为 f(ln(-2)=a234-ln(-2).从而当且仅当 a234-ln(-2)0,即 a-2

17、e34时 f(x)0. 综上,a 的取值范围是-2e34,1. (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。 22.(10分)(2017 全国 1,文 22)选修 44:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,曲线 c的参数方程为 = 3cos, = sin,( 为参数),直线 l的参数方程为 = + 4, = 1-,(t为参数). (1)若 a=-1,求 c 与 l的交点坐标; (2)若 c 上的点到 l距离的最大值为17,求 a. 解(1)曲线 c 的普通方程为29+y2=1. 当 a=-1时,直线 l的普通方程为 x+4y-3

18、=0. 由 + 4-3 = 0,29+ 2= 1,解得 = 3, = 0或 = -2125, =2425. 从而 c与 l的交点坐标为(3,0),(-2125,2425). (2)直线 l的普通方程为 x+4y-a-4=0,故 c 上的点(3cos ,sin )到 l的距离为 d=|3cos+4sin-4|17. 当 a-4 时,d的最大值为+917.由题设得+917= 17,所以 a=8; 当 a-4时,d 的最大值为-+117.由题设得-+117= 17,所以 a=-16. 综上,a=8或 a=-16. 23.(10分)(2017 全国 1,文 23)选修 45:不等式选讲 13 / 13 已知函数 f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|. (1)当 a=1时,求不等式 f(x