2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(陕西卷) (2)

1、1 / 8 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 陕西文科数学 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分). 1.(2015 陕西,文 1)设集合m=x|x2=x,n=x|lg x0,则mn=( ) a.0,1 b.(0,1 c.0,1) d.(-,1 答案:a 解析:m=0,1,n=x|00)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为( ) a.(-1,0) b.(1,0) c.(0,-1) d.(0,1) 答案:b 解析:由题意知,该抛物线的准线方程为x=-1,则其焦点坐标为(1,0). 4.(2015 陕西,文

2、 4)设f(x)=1-, 0,2, 0,则f(f(-2)= ( ) a.-1 b.14 c.12 d.32 答案:c 解析:f(f(-2)=f(14)=1-14=12. 5.(2015 陕西,文 5)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) a.3 b.4 c.2+4 d.3+4 答案:d 解析:由三视图知,该几何体为半圆柱,故其表面积为s侧+s上底+s下底=(+2)2+=3+4. 2 / 8 6.(2015 陕西,文 6)“sin =cos ”是“cos 2=0”的( ) a.充分不必要条件 b.必要不充分条件 c.充分必要条件 d.既不充分也不必要条件 答案:a 解析:cos

3、 2=cos2-sin2=(cos +sin )(cos -sin ),cos 2=0cos =-sin 或 cos =sin ,故选a. 7.(2015 陕西,文 7)根据右边框图,当输入x为 6 时,输出的y=( ) a.1 b.2 c.5 d.10 答案:d 解析:由程序框图可得流程如下:x=6x=3x=0 x=-3y=(-3)2+1=10. 8.(2015 陕西,文 8)对任意平面向量a,b,下列关系式中不恒成立的是( ) a.|ab|a|b| b.|a-b|a|-|b| c.(a+b)2=|a+b|2 d.(a+b)(a-b)=a2-b2 答案:b 解析:当a与b为非零向量且反向时,

4、b 显然错误. 9.(2015 陕西,文 9)设f(x)=x-sin x,则f(x)( ) a.既是奇函数又是减函数 b.既是奇函数又是增函数 c.是有零点的减函数 d.是没有零点的奇函数 答案:b 解析:当x=0 时,f(x)=0,f(x)存在零点. f(-x)=-x-sin(-x)=-(x-sin x)=-f(x),且f(x)=1-cos x0,f(x)既是奇函数又是增函数. 10.(2015 陕西,文 10)设f(x)=ln x,0ab,若p=f(),q=f(+2),r=12(f(a)+f(b),则下列关系式中正确的是( ) a.q=rp c.p=rq 答案:c 解析:f(x)=ln x

5、, p=f()=ln=12(ln a+ln b)=r. 又0a. 3 / 8 又y=ln x为递增函数, ln+2ln,即qr,综上p=rq. 11.(2015 陕西,文 11)某企业生产甲、乙两种产品均需用a,b两种原料,已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元,则该企业每天可获得最大利润为( ) 甲 乙 原料限额 a(吨) 3 2 12 b(吨) 1 2 8 a.12 万元 b.16 万元 c.17 万元 d.18 万元 答案:d 解析:设该企业每天生产甲、乙两产品分别为x吨、y吨,由题意知,x,y需满足约束

6、条件3 + 2 12, + 2 8, 0, 0,每天可获得利润z=3x+4y. 由约束条件画出可行域,如图所示,l0:y=-34x,平移l0得点c,使z取得最大值. 由3 + 2 = 12, + 2 = 8,得c(2,3),故zmax=6+12=18(万元). 12.(2015 陕西,文 12)设复数z=(x-1)+yi(x,yr),若|z|1,则yx的概率为( ) a.34+12 b.12+1 c.14-12 d.12-1 答案:c 解析:|z|=(-1)2+ 21, (x-1)2+y21,其几何意义表示为以(1,0)为圆心,1 为半径的圆面,如图所示,而yx所表示的区域如图中阴影部分,故p

7、=4-12=14-12. 二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分). 13.(2015 陕西,文 13)中位数为 1 010 的一组数构成等差数列,其末项为 2 015,则该数列的首项为 . 答案:5 解析:由等差数列的性质,得1+2=1 010,故a1=2 020-an=5. 4 / 8 14.(2015 陕西,文 14)如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(6 + )+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为 . 答案:8 解析:由题中图象知,ymin=2=-3+k,k=5. 函数

8、解析式为y=3sin(6 + )+5,故ymax=8. 15.(2015 陕西,文 15)函数y=xex在其极值点处的切线方程为 . 答案:y=-1e 解析:令y=(x+1)ex=0,得x=-1,则切点为(-1,-1e).函数在极值点处的导数为 0,即切线斜率为 0,则切线方程为y=-1e. 16.(2015 陕西,文 16)观察下列等式 1-12=12 1-12+13-14=13+14 1-12+13-14+15-16=14+15+16 据此规律,第n个等式可为 . 答案:1-12+13-14+12-1-12=1+1+1+2+12 解析:经观察知,第n个等式的左侧是数列(-1)-11的前 2

9、n项和,而右侧是数列1的第n+1 项到第 2n项的和,故为 1-12+13-14+12-1-12=1+1+1+2+12. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 70 分). 17.(本小题满分 12 分)(2015 陕西,文 17)abc的内角a,b,c所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,3b)与n=(cos a,sin b)平行. (1)求a; (2)若a=7,b=2,求abc的面积. 解:(1)因为mn,所以asin b-3bcos a=0. 由正弦定理,得 sin asin b-3sin bcos a=0. 又 sin b0,从而 tan a=3

10、. 由于 0a0,所以c=3. 故abc的面积为12bcsin a=332. 解法二:由正弦定理,得7sin3=2sin,从而 sin b=217. 又由ab,知ab,所以 cos b=277. 故 sin c=sin(a+b)=sin( +3) =sin bcos3+cos bsin3=32114. 所以abc的面积为12absin c=332. 18.(本小题满分 12 分)(2015 陕西,文 18)如图,在直角梯形abcd中,adbc,bad=2,ab=bc=12ad=a,e是ad的中点,o是ac与be的交点.将abe沿be折起到图中a1be的位置,得到四棱锥a1-bcde. 5 /

11、8 图 图 (1)证明:cd平面a1oc; (2)当平面a1be平面bcde时,四棱锥a1-bcde的体积为 362,求a的值. (1)证明:在题图中,因为ab=bc=12ad=a,e是ad的中点,bad=2,所以beac. 即在题图中,bea1o,beoc, 从而be平面a1oc, 又cdbe,所以cd平面a1oc. (2)解:由已知,平面a1be平面bcde, 且平面a1be平面bcde=be, 又由(1),a1obe,所以a1o平面bcde, 即a1o是四棱锥a1-bcde的高. 由题图知,a1o=22ab=22a,平行四边形bcde的面积s=bcab=a2. 从而四棱锥a1-bcde的

12、体积为v=13sa1o=13a222a=26a3,由26a3=362,得a=6. 19.(本小题满分 12 分)(2015 陕西,文 19)随机抽取一个年份,对西安市该年 4 月份的天气情况进行统计,结果如下: 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴 日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨 (1)在 4 月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率; (2)西安市某学校拟从

13、 4 月份的一个晴天开始举行连续 2 天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率. 解:(1)在容量为 30 的样本中,不下雨的天数是 26,以频率估计概率,4 月份任选一天,西安市不下雨的概率为1315. (2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如,1 日与 2 日,2 日与 3 日等).这样,在 4 月份中,前一天为晴天的互邻日期对有 16 个,其中后一天不下雨的有 14 个,所以晴天的次日不下雨的频率为78.以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为78. 6 / 8 20.(本小题满分 12 分)(2015 陕西,文 20)如图,椭圆e:22+22=1(ab0)经过点a(0,-1),且离心率

14、为22. (1)求椭圆e的方程; (2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆e交于不同的两点p,q(均异于点a),证明:直线ap与aq的斜率之和为 2. 解:(1)由题设知=22,b=1, 结合a2=b2+c2,解得a=2. 所以椭圆的方程为22+y2=1. (2)由题设知,直线pq的方程为y=k(x-1)+1(k2),代入22+y2=1,得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0. 由已知0. 设p(x1,y1),q(x2,y2),x1x20, 则x1+x2=4(-1)1+22,x1x2=2(-2)1+22. 从而直线ap,aq的斜率之和 kap+kaq=1+11+2+1

15、2 =1+2-1+2+2-2 =2k+(2-k)(11+12)=2k+(2-k)1+212 =2k+(2-k)4(-1)2(-2)=2k-2(k-1)=2. 21.(本小题满分 12 分)(2015 陕西,文 21)设fn(x)=x+x2+xn-1,x0,nn,n2. (1)求fn(2); (2)证明:fn(x)在(0,23)内有且仅有一个零点(记为an),且 0an-1213(23). (1)解法一:由题设fn(x)=1+2x+nxn-1. 所以fn(2)=1+22+(n-1)2n-2+n2n-1, 则 2fn(2)=2+222+(n-1)2n-1+n2n. -得,-fn(2)=1+2+22

16、+2n-1-n2n =1-21-2-n2n=(1-n)2n-1. 所以fn(2)=(n-1)2n+1. 解法二:当x1 时,fn(x)=-+11-1, 则fn(x)=(1-(+1)(1-)+(-+1)(1-)2, 可得fn(2)=-(1-(+1)2)+2-2+1(1-2)2=(n-1)2n+1. (2)证明:因为f(0)=-10, 所以fn(x)在(0,23)内至少存在一个零点. 又fn(x)=1+2x+nxx-10, 所以fn(x)在(0,23)内单调递增, 因此fn(x)在(0,23)内有且仅有一个零点an. 7 / 8 由于fn(x)=-+11-1, 所以 0=fn(an)=-+11-1

17、. 由此可得an=12+12+112, 故12an23. 所以 0an-12=12+112(23)+1=13(23). 考生注意:请在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时用 2b 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑. 22.(本小题满分 10 分)(2015 陕西,文 22)选修 41:几何证明选讲 如图,ab切o于点b,直线ao交o于d,e两点,bcde,垂足为c. (1)证明:cbd=dba; (2)若ad=3dc,bc=2,求o的直径. (1)证明:因为de为o直径, 则bed+edb=90. 又bcde,所以cbd+edb=90. 从而

18、cbd=bed. 又ab切o于点b,得dba=bed, 所以cbd=dba. (2)解:由(1)知bd平分cba,则=3, 又bc=2,从而ab=32. 所以ac=2-2=4,所以ad=3. 由切割线定理得ab2=adae,即ae=2=6, 故de=ae-ad=3,即o直径为 3. 23.(本小题满分 10 分)(2015 陕西,文 23)选修 44:坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy中,直线l的参数方程为 = 3 +12, =32(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,c的极坐标方程为=23sin . (1)写出c的直角坐标方程; (2)p为直线l上一动点,当p到圆心c的距离最小时,求p的直角坐标. 解:(1)由=23sin ,得2=23sin , 从而有x2+y2=23y,所以x2+(y-3)2=3. (2)设p(3 +12,32), 又c(0,3), 则|pc|=(3 +12)2+