2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(大纲全国卷)理

1、1 / 13 大纲全国理科大纲全国理科 一、选择题:本大题共 12小题,每小题 5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2013 大纲全国,理 1)设集合 a=1,2,3,b=4,5,m=x|x=a+b,aa,bb,则 m中元素的个数为( ). a.3 b.4 c.5 d.6 答案:b 解析:由题意知 x=a+b,aa,bb,则 x 的可能取值为 5,6,7,8.因此集合 m 共有 4 个元素.故选 b. 2.(2013 大纲全国,理 2)(1+3i)3=( ). a.-8 b.8 c.-8i d.8i 答案:a 解析:(1+3i)3=1+33i+3(3i)2+(3i

2、)3=-8.故选 a. 3.(2013 大纲全国,理 3)已知向量 m=(+1,1),n=(+2,2),若(m+n)(m-n),则 =( ). a.-4 b.-3 c.-2 d.-1 答案:b 解析:由(m+n)(m-n)|m|2-|n|2=0(+1)2+1-(+2)2+4=0=-3.故选 b. 4.(2013 大纲全国,理 4)已知函数 f(x)的定义域为(-1,0),则函数 f(2x+1)的定义域为( ). a.(-1,1) b.(-1,-12) c.(-1,0) d.(12,1) 答案:b 解析:由题意知-12x+10,则-1x0)的反函数 f-1(x)=( ). 2 / 13 a.12

3、x-1(x0) b.12x-1(x0) c.2x-1(xr) d.2x-1(x0) 答案:a 解析:由题意知 1+1x=2yx=12y-1(y0), 因此 f-1(x)=12x-1(x0).故选 a. 6.(2013 大纲全国,理 6)已知数列an满足 3an+1+an=0,a2=-43,则an的前 10项和等于( ). a.-6(1-3-10) b.19(1-310) c.3(1-3-10) d.3(1+3-10) 答案:c 解析:3an+1+an=0,an+1=-13an.数列an是以-13为公比的等比数列.a2=-43,a1=4. s10=41-(-13)101+13=3(1-3-10)

4、.故选 c. 7.(2013 大纲全国,理 7)(1+x)8(1+y)4的展开式中 x2y2的系数是( ). a.56 b.84 c.112 d.168 答案:d 解析:因为(1+x)8的展开式中 x2的系数为82,(1+y)4的展开式中 y2的系数为42,所以 x2y2的系数为8242=168.故选 d. 8.(2013 大纲全国,理 8)椭圆 c:x24+y23=1的左、右顶点分别为 a1,a2,点 p 在 c上且直线 pa2斜率的取值范围是-2,-1,那么直线 pa1斜率的取值范围是( ). a.12,34 b.38,34 3 / 13 c.12,1 d.34,1 答案:b 解析:设 p

5、点坐标为(x0,y0),则x024+y023=1, kpa2=y0 x0-2,kpa1=y0 x0+2,于是kpa1kpa2=y02x02-22=3-34x02x02-4=-34.故kpa1=-341kpa2. kpa2-2,-1, kpa1 38,34.故选 b. 9.(2013 大纲全国,理 9)若函数 f(x)=x2+ax+1x在(12, + )是增函数,则 a的取值范围是( ). a.-1,0 b.-1,+) c.0,3 d.3,+) 答案:d 解析:由条件知 f(x)=2x+a-1x20在(12, + )上恒成立,即 a1x2-2x在(12, + )上恒成立.函数 y=1x2-2x

6、在(12, + )上为减函数,ymax1(12)2-212=3.a3.故选 d. 10.(2013 大纲全国,理 10)已知正四棱柱 abcd-a1b1c1d1中,aa1=2ab,则 cd 与平面 bdc1所成角的正弦值等于( ). a.23 b.33 c.23 d.13 答案:a 解析:如下图,连结 ac交 bd 于点 o,连结 c1o,过 c作 chc1o于点 h. 4 / 13 bd acbd aa1acaa1= a bd 平面 acc1a1 ch 平面 acc1a1 ch bd ch c1o bdc1o = och平面 c1bd, hdc 为 cd与平面 bdc1所成的角. 设 aa1

7、=2ab=2,则 oc=ac2=22,c1o=oc2+ cc12=(22)2+ 22=92=322. 由等面积法,得 c1och=occc1,即322ch=222, ch=23. sinhdc=hcdc=231=23.故选 a. 11.(2013 大纲全国,理 11)已知抛物线 c:y2=8x与点 m(-2,2),过 c的焦点且斜率为 k 的直线与 c 交于a,b两点.若ma mb =0,则 k=( ). a.12 b.22 c.2 d.2 答案:d 解析:由题意知抛物线 c的焦点坐标为(2,0),则直线 ab的方程为 y=k(x-2),将其代入 y2=8x,得 k2x2-4(k2+2)x+4

8、k2=0. 设 a(x1,y1),b(x2,y2),则 x1+x2=4(k2+2)k2,x1x2=4. 5 / 13 由y1= k(x1-2)y2= k(x2-2) y1+ y2= k(x1+ x2)-4k,y1y2= k2x1x2-2(x1+ x2) + 4. ma mb =0, (x1+2,y1-2)(x2+2,y2-2)=0. (x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=0, 即 x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2-2(y1+y2)+4=0. 由解得 k=2.故选 d. 12.(2013 大纲全国,理 12)已知函数 f(x)=cos xsin 2x,下列结论中错误的是(

9、). a.y=f(x)的图像关于点(,0)中心对称 b.y=f(x)的图像关于直线 x=2对称 c.f(x)的最大值为32 d.f(x)既是奇函数,又是周期函数 答案:c 解析:由题意知 f(x)=2cos2xsin x=2(1-sin2x)sin x. 令 t=sin x,t-1,1, 则 g(t)=2(1-t2)t=2t-2t3. 令 g(t)=2-6t2=0,得 t=33. 当 t= 1 时,函数值为 0; 当 t=-33时,函数值为-439; 当 t=33时,函数值为439. g(t)max=439, 6 / 13 即 f(x)的最大值为439.故选 c. 二、填空题:本大题共 4小题

10、,每小题 5分. 13.(2013 大纲全国,理 13)已知 是第三象限角,sin =-13,则 cot = . 答案:22 解析:由题意知 cos =-1-2=-1-19=-223. 故 cot =22. 14.(2013 大纲全国,理 14)6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.(用数字作答) 答案:480 解析:先排除甲、乙外的 4人,方法有44种,再将甲、乙插入这 4 人形成的 5 个间隔中,有52种排法,因此甲、乙不相邻的不同排法有4452=480(种). 15.(2013 大纲全国,理 15)记不等式组x 0,x + 3y 4,3x + y 4所表示的平面区域为

11、d.若直线 y=a(x+1)与 d有公共点,则 a的取值范围是 . 答案:12,4 解析:作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示. 直线 y=a(x+1)过定点 c(-1,0),由图并结合题意可知 kbc=12,kac=4, 要使直线 y=a(x+1)与平面区域 d 有公共点, 则12a4. 7 / 13 16.(2013 大纲全国,理 16)已知圆 o和圆 k是球 o的大圆和小圆,其公共弦长等于球 o 的半径,ok=32,且圆 o与圆 k所在的平面所成的一个二面角为 60 ,则球 o的表面积等于 . 答案:16 解析:如右图,设 mn为两圆的公共弦,e为 mn的中点, 则 oemn,

12、kemn,结合题意可知oek=60 . 又 mn=r,omn 为正三角形.oe=32r. 又 okek,32=oesin 60 =32r32. r=2. s=4r2=16. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(2013 大纲全国,理 17)(本小题满分 10 分)等差数列an的前 n项和为 sn.已知 s3=a22,且 s1,s2,s4成等比数列,求an的通项公式. 解:设an的公差为 d. 由 s3=a22得 3a2=a22,故 a2=0或 a2=3. 由 s1,s2,s4成等比数列得s22=s1s4. 又 s1=a2-d,s2=2a2-d,s4=4a2+2d, 故

13、(2a2-d)2=(a2-d)(4a2+2d). 若 a2=0,则 d2=-2d2,所以 d=0,此时 sn=0,不合题意; 若 a2=3,则(6-d)2=(3-d)(12+2d),解得 d=0或 d=2. 因此an的通项公式为 an=3 或 an=2n-1. 8 / 13 18.(2013 大纲全国,理 18)(本小题满分 12 分)设abc的内角 a,b,c的对边分别为 a,b,c,(a+b+c)(a-b+c)=ac. (1)求 b; (2)若 sin asin c=3-14,求 c. 解:(1)因为(a+b+c)(a-b+c)=ac,所以 a2+c2-b2=-ac. 由余弦定理得 cos

14、 b=a2+c2-b22ac=-12, 因此 b=120 . (2)由(1)知 a+c=60 , 所以 cos(a-c)=cos acos c+sin asin c=cos acos c-sin asin c+2sin asin c=cos(a+c)+2sin asin c=12+23-14=32, 故 a-c=30 或 a-c=-30 , 因此 c=15 或 c=45 . 19.(2013 大纲全国,理 19)(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 p-abcd中,abc=bad=90 ,bc=2ad,pab 和pad都是等边三角形. (1)证明:pbcd; (2)求二面角 a-pd-c 的

15、大小. (1)证明:取 bc 的中点 e,连结 de,则 abed 为正方形. 过 p作 po平面 abcd,垂足为 o. 9 / 13 连结 oa,ob,od,oe. 由pab和pad都是等边三角形知 pa=pb=pd, 所以 oa=ob=od,即点 o为正方形 abed 对角线的交点, 故 oebd,从而 pboe. 因为 o是 bd 的中点,e是 bc 的中点, 所以 oecd.因此 pbcd. (2)解法一:由(1)知 cdpb,cdpo,pbpo=p, 故 cd平面 pbd. 又 pd平面 pbd,所以 cdpd. 取 pd的中点 f,pc 的中点 g,连结 fg, 则 fgcd,f

16、gpd. 连结 af,由apd 为等边三角形可得 afpd. 所以afg 为二面角 a-pd-c 的平面角. 连结 ag,eg,则 egpb. 又 pbae,所以 egae. 设 ab=2,则 ae=22,eg=12pb=1, 故 ag=ae2+ eg2=3. 在afg 中,fg=12cd=2,af=3,ag=3, 所以 cosafg=fg2+af2-ag22fgaf=-63. 因此二面角 a-pd-c的大小为 -arccos63. 10 / 13 解法二:由(1)知,oe,ob,op两两垂直. 以 o 为坐标原点,oe 的方向为 x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 o-xyz. 设|

17、ab |=2,则 a(-2,0,0),d(0,-2,0),c(22,-2,0),p(0,0,2). pc =(22,-2,-2),pd =(0,-2,-2). ap =(2,0,2),ad =(2,-2,0). 设平面 pcd的法向量为 n1=(x,y,z),则 n1pc =(x,y,z)(22,-2,-2)=0, n1pd =(x,y,z)(0,-2,-2)=0, 可得 2x-y-z=0,y+z=0. 取 y=-1,得 x=0,z=1,故 n1=(0,-1,1). 设平面 pad 的法向量为 n2=(m,p,q),则 n2ap =(m,p,q)(2,0,2)=0,n2ad =(m,p,q)(

18、2,-2,0)=0,可得 m+q=0,m-p=0. 取 m=1,得 p=1,q=-1,故 n2=(1,1,-1). 于是 cos=12|1|2|=-63. 由于等于二面角 a-pd-c的平面角,所以二面角 a-pd-c的大小为 -arccos63. 20.(2013 大纲全国,理 20)(本小题满分 12 分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为12,各局比赛的结果相互独立,第 1 局甲当裁判. (1)求第 4 局甲当裁判的概率; (2)x表示前 4 局中乙当裁判的次数,求 x 的数学期望. 解:(1)记

19、 a1表示事件“第 2局结果为甲胜”, a2表示事件“第 3局甲参加比赛时,结果为甲负”,a 表示事件“第 4 局甲当裁判”. 11 / 13 则 a=a1a2. p(a)=p(a1a2)=p(a1)p(a2)=14. (2)x的可能取值为 0,1,2. 记 a3表示事件“第 3局乙和丙比赛时,结果为乙胜丙”,b1表示事件“第 1局结果为乙胜丙”,b2表示事件“第 2 局乙和甲比赛时,结果为乙胜甲”,b3表示事件“第 3局乙参加比赛时,结果为乙负”. 则 p(x=0)=p(b1b2a3)=p(b1)p(b2)p(a3)=18,p(x=2)=p(b1b3)=p(b1)p(b3)=14,p(x=1)=1-p(x=0)-p(x=2)=1-1814=58,ex=0p(x=0)+1p(x=