2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(浙江卷)文

1、1 / 11 浙江文科浙江文科 1.(2012 浙江,文 1)设全集 u=1,2,3,4,5,6,集合 p=1,2,3,4,q=3,4,5,则 p(uq)=( ). a.1,2,3,4,6 b.1,2,3,4,5 c.1,2,5 d.1,2 d 由已知得,uq=1,2,6,所以 p(uq)=1,2. 2.(2012 浙江,文 2)已知 i是虚数单位,则3i1 i+=( ). a.1-2i b.2-i c.2+i d.1+2i d 3i1 i+=(3i)(1 i)(1 i)(1 i)+=233iii2+ +=1+2i, 选 d. 3.(2012 浙江,文 3)已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如

2、图所示,则该三棱锥的体积是( ). a.1 cm3 b.2 cm3 c.3 cm3 d.6 cm3 a 由三视图得,该三棱锥底面面积 s=12 2 1=1(cm2),高为 3 cm,由体积公式,得v=13sh=13 1 3=1(cm3). 2 / 11 4.(2012 浙江,文 4)设 ar,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0与直线 l2:x+2y+4=0 平行”的( ). a.充分不必要条件 b.必要不充分条件 c.充分必要条件 d.既不充分也不必要条件 c l1与 l2平行的充要条件为 a 2=2 1且 a 4-1 1,得 a=1,故选 c. 5.(2012 浙江,文 5)设

3、l是直线, 是两个不同的平面,( ). a.若 l,l,则 b.若 l,l,则 c.若 ,l,则 l d.若 ,l,则 l b a 选项中由 l,l不能确定 与 的位置关系,c 选项中由 ,l 可推出 l或 l,d 选项由 ,l不能确定 l与 的位置关系. 6.(2012 浙江,文 6)把函数 y=cos 2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变),然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图象是( ). a y=cos 2x+1图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍得 y1=cos x+1,再向左平移 1 个单位长度得y2=cos(x+1)+1,

4、再向下平移 1 个单位长度得 y3=cos(x+1),故相应图象为 a. 7.(2012 浙江,文 7)设 a,b是两个非零向量.( ). a.若|a+b|=|a|-|b|,则 ab b.若 ab,则|a+b|=|a|-|b| c.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 ,使得 b=a 3 / 11 d.若存在实数 ,使得 b=a,则|a+b|=|a|-|b| c 由|a+b|=|a|-|b|两边平方可得,|a|2+2a b+|b|2=|a|2-2|a|b|+|b|2,即 a b=-|a|b|, cos=-1,即 a 与 b反向,根据向量共线定理,则存在实数 ,使得 b=a. 8.(2012

5、 浙江,文 8)如图,中心均为原点 o 的双曲线与椭圆有公共焦点,m,n是双曲线的两顶点.若m,o,n将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是( ). a.3 b.2 c.3 d.2 b 由题意可知椭圆的长轴长 2a1是双曲线实轴长 2a2的 2倍,即 a1=2a2,而椭圆与双曲线有相同的焦点. 故离心率之比为21caca=12aa=2. 9.(2012 浙江,文 9)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y的最小值是( ). a.245 b.285 c.5 d.6 c x+3y=5xy,15y+35x=1. 3x+4y=(3x+4y) 1=(3x+4y)135y5x+=

6、3x5y+95+45+12y135x5+23x 12y5y 5x=5, 当且仅当3x5y=12y5x,即 x=1,y=12时等号成立. 10.(2012 浙江,文 10)设 a0,b0,e 是自然对数的底数,( ). a.若 ea+2a=eb+3b,则 ab b.若 ea+2a=eb+3b,则 ab d.若 ea-2a=eb-3b,则 ab.故选 a. 11.(2012 浙江,文 11)某个年级有男生 560人,女生 420人,用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为 280的样本,则此样本中男生人数为 . 160 根据分层抽样的特点,此样本中男生人数为560560420+ 280=1

7、60. 12.(2012 浙江,文 12)从边长为 1的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为22的概率是 . 25 五点中任取两点的不同取法共有25c=10 种,而两点之间距离为22的情况有 4 种,故概率为410=25. 13.(2012 浙江,文 13)若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 . 1120 当 i=1时,t=11=1,当 i=2 时,t=12,当 i=3 时,t=123=16,当 i=4时,t=164=124,当 i=5 时,t=1245=1120,当 i=6 时,结束循环,输出 t=1120. 14.(2012 浙江,文 14)设

8、z=x+2y,其中实数 x,y满足xy10,xy20,x0,y0,+ +则 z的取值范围是 . 5 / 11 70,2 不等式组表示的可行域如图阴影部分, 结合图象知,o 点,c点分别使目标函数取得最小值、最大值,代入得最小值为 0,最大值为72. 15.(2012 浙江,文 15)在abc 中,m 是线段 bc的中点,am=3,bc=10,则abac= . -16 abac=(am+mb) (am+mc)=2am+ammc+ammb+mbmc=|am|2+(mb+mc)am+|mb|mc|cos =9-25=-16. 16.(2012 浙江,文 16)设函数 f(x)是定义在 r上的周期为

9、2 的偶函数,当 x0,1时,f(x)=x+1,则f32= . 32 f32=f322=f12=f12=12+1=32. 17.(2012 浙江,文 17)定义:曲线 c上的点到直线 l的距离的最小值称为曲线 c到直线 l的距离.已知曲线 c1:y=x2+a到直线 l:y=x的距离等于曲线 c2:x2+(y+4)2=2到直线 l:y=x 的距离,则实数a= . 94 x2+(y+4)2=2到直线 y=x的距离为42-2=2, 所以 y=x2+a到 y=x 的距离为2,而与 y=x平行且距离为2的直线有两条,分别是 y=x+2 与y=x-2,而抛物线 y=x2+a 开口向上,所以 y=x2+a与

10、 y=x+2相切,可求得 a=94. 18.(2012 浙江,文 18)在abc 中,内角 a,b,c的对边分别为 a,b,c,且 bsin a=3acos b. (1)求角 b的大小; (2)若 b=3,sin c=2sin a,求 a,c 的值. 6 / 11 解:(1)由 bsin a=3acos b及正弦定理aasin=bbsin, 得 sin b=3cos b, 所以 tan b=3,所以 b=3. (2)由 sin c=2sin a及aasin=ccsin,得 c=2a. 由 b=3及余弦定理 b2=a2+c2-2accos b, 得 9=a2+c2-ac. 所以 a=3,c=23

11、. 19.(2012 浙江,文 19)已知数列an的前 n项和为 sn,且 sn=2n2+n,nn*,数列bn满足 an=4log2bn+3,nn*. (1)求 an,bn; (2)求数列an bn的前 n项和 tn. 解:(1)由 sn=2n2+n,得当 n=1 时,a1=s1=3; 当 n2时,an=sn-sn-1=4n-1. 所以 an=4n-1,nn*. 由 4n-1=an=4log2bn+3,得 bn=2n-1,nn*. (2)由(1)知 anbn=(4n-1) 2n-1,nn*. 所以 tn=3+7 2+11 22+(4n-1) 2n-1,2tn=3 2+7 22+(4n-5) 2

12、n-1+(4n-1) 2n, 所以 2tn-tn=(4n-1)2n-3+4(2+22+2n-1)=(4n-5)2n+5. 故 tn=(4n-5)2n+5,nn*. 7 / 11 20.(2012 浙江,文 20)如图,在侧棱垂直底面的四棱柱 abcd-a1b1c1d1中,adbc,adab,ab=2,ad=2,bc=4,aa1=2,e是 dd1的中点,f是平面 b1c1e 与直线 aa1的交点. (1)证明:efa1d1; ba1平面 b1c1ef; (2)求 bc1与平面 b1c1ef所成的角的正弦值. (1)证明:因为 c1b1a1d1,c1b1平面 add1a1, 所以 c1b1平面 a

13、1d1da. 又因为平面 b1c1ef平面 a1d1da=ef, 所以 c1b1ef,所以 a1d1ef. 因为 bb1平面 a1b1c1d1,所以 bb1b1c1. 又因为 b1c1b1a1,所以 b1c1平面 abb1a1, 所以 b1c1ba1. 在矩形 abb1a1中,f 是 aa1的中点,tana1b1f=tanaa1b=22, 即a1b1f=aa1b,故 ba1b1f. 所以 ba1平面 b1c1ef. (2)解:设 ba1与 b1f交点为 h,连结 c1h. 由(1)知 ba1平面 b1c1ef, 所以bc1h 是 bc1与面 b1c1ef 所成的角. 在矩形 aa1b1b 中,

14、ab=2,aa1=2,得 bh=46. 8 / 11 在直角bhc1中,bc1=25,bh=46, 得 sinbc1h=1bhbc=3015. 所以 bc1与平面 b1c1ef所成角的正弦值是3015. 21.(2012 浙江,文 21)已知 ar,函数 f(x)=4x3-2ax+a. (1)求 f(x)的单调区间; (2)证明:当 0 x1时,f(x)+|2-a|0. (1)解:由题意得 f(x)=12x2-2a. 当 a0 时,f(x)0 恒成立,此时 f(x)的单调递增区间为(-,+). 当 a0时,f(x)=12aaxx66+, 此时函数 f(x)的单调递增区间为 a,-6和a,6+.

15、 单调递减区间为aa,66. (2)证明:由于 0 x1,故当 a2时,f(x)+|a-2|=4x3-2ax+24x3-4x+2. 当 a2时,f(x)+|a-2|=4x3+2a(1-x)-24x3+4(1-x)-2=4x3-4x+2. 设 g(x)=2x3-2x+1,0 x1, 则 g(x)=6x2-2=633xx33+, 于是 9 / 11 x 0 30,3 33 3,13 1 g(x) - 0 + g(x) 1 减 极小值 增 1 所以,g(x)min=g33=1-4 390. 所以当 0 x1 时,2x3-2x+10. 故 f(x)+|a-2|4x3-4x+20. 22.(2012 浙

16、江,文 22)如图,在直角坐标系 xoy中,点 p11,2到抛物线 c:y2=2px(p0)的准线的距离为54.点 m(t,1)是 c上的定点,a,b 是 c 上的两动点,且线段 ab 被直线 om 平分. (1)求 p,t的值; (2)求abp面积的最大值. 解:(1)由题意知2pt1,p51,24=+=得1p,2t1.= (2)设 a(x1,y1),b(x2,y2),线段 ab的中点为 q(m,m). 由题意知,设直线 ab 的斜率为 k(k0). 10 / 11 由211222yx ,yx ,=得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2, 故 k 2m=1. 所以直线 ab 方程为 y-m=12m(x-m), 即 x-2my+2m2-m=0. 由22x2my2mm0,yx, += 消去 x,整理得 y2-2my+2m2-m=0, 所以 =4m-4m20,y1+y2=2m,y1 y2=2m2-m.