2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(上海卷)理

1、上海数学(理工农医类)1.(2012上海,理1)计算:=(i为虚数单位). 1-2i=1-2i.2.(2012上海,理2)若集合a=x|2x+1>0,b=x|x-1|<2,则ab=. a=x|2x+1>0=,b=x|x-1|<2=x|-1<x<3,ab=.3.(2012上海,理3)函数f(x)=的值域是. f(x)=2×(-1)-sin xcos x=-2-,sin 2x-1,1,f(x).4.(2012上海,理4)若n=(-2,1)是直线l的一个法向量,则l的倾斜角的大小为(结果用反三角函数值表示). ar

2、ctan 2n=(-2,1)是直线l的一个法向量,v=(1,2)是直线l的一个方向向量,l的斜率为2,即倾斜角的大小为arctan 2.5.(2012上海,理5)在的二项展开式中,常数项等于. -160的二项展开式中的常数项为·(x)3·=-160.6.(2012上海,理6)有一列正方体,棱长组成以1为首项、为公比的等比数列,体积分别记为v1,v2,vn,则(v1+v2+vn)=. 棱长是以1为首项、为公比的等比数列,则体积v1,v2,vn是以1为首项、为公比的等比数列,所以v1+v2+vn=·,(v1+v2+vn)=.7.(2012上海,理7

3、)已知函数f(x)=e|x-a|(a为常数),若f(x)在区间1,+)上是增函数,则a的取值范围是. (-,1f(x)=当x>a时f(x)单调递增,当x<a时,f(x)单调递减,又f(x)在1,+)上是增函数,所以a1.8.(2012上海,理8)若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面,则该圆锥的体积为. 如图,由题意知l2=2,l=2.又展开图为半圆,l=2r,r=1,故圆锥的高为,体积v=r2h=.9.(2012上海,理9)已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2,则g(-1)=. -1令h(x)=f(x)+x2,则

4、h(1)+h(-1)=f(-1)+1+f(1)+1=0,f(-1)=-3,g(-1)=f(-1)+2=-1.10.(2012上海,理10)如图,在极坐标系中,过点m(2,0)的直线l与极轴的夹角=.若将l的极坐标方程写成=f()的形式,则f()=. 如图所示,根据正弦定理,有=,=.11.(2012上海,理11)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是(结果用最简分数表示). 若每人都选择两个项目,共有不同的选法=27种,而有两人选择的项目完全相同的选法有=18种,故填.12.(2012上海,理12)在平行四

5、边形abcd中,a=,边ab,ad的长分别为2,1.若m,n分别是边bc,cd上的点,且满足=,则·的取值范围是. 2,5如图,设=,则0,1,·=(+)·(+)=(+)·(+(-1)=·+(-1)·+·+(-1)·=1×2×+(-1)×(-4)+×1+(-1)×(-1)=1+4-4+-2+=-(+1)2+6.0,1,·2,5.13.(2012上海,理13)已知函数y=f(x)的图像是折线段abc,其中a(0,0),b,c(1,0).函数y=xf

6、(x)(0x1)的图像与x轴围成的图形的面积为. 由题意f(x)=则xf(x)=xf(x)与x轴围成图形的面积为10x2dx+(-10x2+10x)dx=x3+=×+-=.14.(2012上海,理14)如图,ad与bc是四面体abcd中互相垂直的棱,bc=2.若ad=2c,且ab+bd=ac+cd=2a,其中a,c为常数,则四面体abcd的体积的最大值是. 如图:当ab=bd=ac=cd=a时,该棱锥的体积最大.作ambc,连接dm,则bc平面adm,am=,dm=.又ad=2c,sadm=c.vd-abc=vb-adm+vc-adm=.15.(2012上海,理1

7、5)若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,则().a.b=2,c=3b.b=-2,c=3c.b=-2,c=-1d.b=2,c=-1b由题意知b2-4c<0,则该方程的复数根为:,故=1+i.b=-2,c=3.16.(2012上海,理16)在abc中,若sin2a+sin2b<sin2c,则abc的形状是().a.锐角三角形b.直角三角形c.钝角三角形d.不能确定c由正弦定理可知a2+b2<c2,从而cos c=<0,c为钝角,故该三角形为钝角三角形.17.(2012上海,理17)设10x1<x2<x3<x4104,x5=105.随

8、机变量1取值x1,x2,x3,x4,x5的概率均为0.2,随机变量2取值,的概率也均为0.2.若记d1,d2分别为1,2的方差,则().a.d1>d2b.d1=d2c.d1<d2d.d1与d2的大小关系与x1,x2,x3,x4的取值有关a18.(2012上海,理18)设an=sin,sn=a1+a2+an.在s1,s2,s100中,正数的个数是().a.25b.50c.75d.100dan=sin,当n24时,an均大于0,a25=0,可知s1,s2,s25均大于0.又a26=sin=-sin=-a1,s26=a1+a2+a25>0,而a27=sin=-sin=-a2,a27

9、+a2>0.同理可得a28+a3>0,a49+a24>0,而a51到a74均为正项,a75=0,a76到a99均为负项,且|a76|<a51,|a77|<a52,|a99|<a74,a100=0,故sn中前100项均为正数.19.(2012上海,理19)如图,在四棱锥p-abcd中,底面abcd是矩形,pa底面abcd,e是pc的中点.已知ab=2,ad=2,pa=2.求:(1)三角形pcd的面积;(2)异面直线bc与ae所成的角的大小.解:(1)因为pa底面abcd,所以pacd.又adcd,所以cd平面pad.从而cdpd.因为pd=2,cd=2,所以三

10、角形pcd的面积为×2×2=2.(2)解法一:如图所示,建立空间直角坐标系,则b(2,0,0),c(2,2,0),e(1,1).=(1,1),=(0,2,0).设与的夹角为,则cos =,=.由此知,异面直线bc与ae所成的角的大小是.解法二:取pb中点f,连接ef,af,则efbc,从而aef(或其补角)是异面直线bc与ae所成的角.在aef中,由ef=,af=,ae=2,知aef是等腰直角三角形.所以aef=.因此,异面直线bc与ae所成的角的大小是.20.(2012上海,理20)已知函数f(x)=lg(x+1).(1)若0<f(1-2x)-f(x)<1,求

11、x的取值范围;(2)若g(x)是以2为周期的偶函数,且当0x1时,有g(x)=f(x),求函数y=g(x)(x1,2)的反函数.解:(1)由得-1<x<1.由0<lg(2-2x)-lg(x+1)=lg<1,得1<<10.因为x+1>0,所以x+1<2-2x<10x+10,-<x<.由得-<x<.(2)当x1,2时,2-x0,1,因此y=g(x)=g(x-2)=g(2-x)=f(2-x)=lg(3-x).由单调性可得y0,lg 2.因为x=3-10y,所以所求反函数是y=3-10x ,x0,lg 2.21.(2012上

12、海,理21)海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰好在失事船正南方向12海里a处,如图.现假设:失事船的移动路径可视为抛物线y=x2;定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;救援船出发t小时后,失事船所在位置的横坐标为7t.(1)当t=0.5时,写出失事船所在位置p的纵坐标.若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?解:(1)t=0.5时,p的横坐标xp=7t=,代入抛物线方程y=x2,得p的纵坐标yp=3.由|ap|=,得救援船速度的大小为海里/时.

13、由tanoap=,得oap=arctan,故救援船速度的方向为北偏东arctan弧度.(2)设救援船的时速为v海里,经过t小时追上失事船,此时位置为(7t,12t2).由vt=,整理得v2=144+337.因为t2+2,当且仅当t=1时等号成立.所以v2144×2+337=252,即v25.因此,救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.22.(2012上海,理22)在平面直角坐标系xoy中,已知双曲线c1:2x2-y2=1.(1)过c1的左顶点引c1的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积;(2)设斜率为1的直线l交c1于p,q两点.若l与圆x2+y2=

14、1相切,求证:opoq;(3)设椭圆c2:4x2+y2=1.若m,n分别是c1,c2上的动点,且omon,求证:o到直线mn的距离是定值.解:(1)双曲线c1:-y2=1,左顶点a,渐近线方程:y=±x.过点a与渐近线y=x平行的直线方程为y=,即y=x+1.解方程组得所以所求三角形的面积为s=|oa|y|=.(2)设直线pq的方程是y=x+b.因直线pq与已知圆相切,故=1,即b2=2.由得x2-2bx-b2-1=0.设p(x1,y1),q(x2,y2),则又y1y2=(x1+b)(x2+b),所以·=x1x2+y1y2=2x1x2+b(x1+x2)+b2=2(-1-b2

15、)+2b2+b2=b2-2=0.故opoq.(3)当直线on垂直于x轴时,|on|=1,|om|=,则o到直线mn的距离为.当直线on不垂直于x轴时,设直线on的方程为y=kx(显然|k|>),则直线om的方程为y=-x.由得所以|on|2=.同理|om|2=.设o到直线mn的距离为d,因为(|om|2+|on|2)d2=|om|2|on|2,所以=+=3,即d=.综上,o到直线mn的距离是定值.23.(2012上海,理23)对于数集x=-1,x1,x2,xn,其中0<x1<x2<<xn,n2,定义向量集y=a|a=(s,t),sx,tx.若对任意a1y,存在a2

16、y,使得a1·a2=0,则称x具有性质p.例如-1,1,2具有性质p.(1)若x>2,且-1,1,2,x具有性质p,求x的值;(2)若x具有性质p,求证:1x,且当xn>1时,x1=1;(3)若x具有性质p,且x1=1,x2=q(q为常数),求有穷数列x1,x2,xn的通项公式.解:(1)选取a1=(x,2),y中与a1垂直的元素必有形式(-1,b).所以x=2b,从而x=4.(2)证明:取a1=(x1,x1)y.设a2=(s,t)y满足a1·a2=0.由(s+t)x1=0得s+t=0,所以s,t异号.因为-1是x中唯一的负数,所以s,t之中一为-1,另一为1,

17、故1x.假设xk=1,其中1<k<n,则0<x1<1<xn.选取a1=(x1,xn)y,并设a2=(s,t)y满足a1·a2=0,即sx1+txn=0,则s,t异号,从而s,t之中恰有一个为-1.若s=-1,则x1=txn>tx1,矛盾;若t=-1,则xn=sx1<sxn,矛盾.所以x1=1.(3)解法一:猜测xi=qi-1,i=1,2,n.记ak=-1,1,x2,xk,k=2,3,n.先证明:若ak+1具有性质p,则ak也具有性质p.任取a1=(s,t),s,tak,当s,t中出现-1时,显然有a2满足a1·a2=0;当s-1且t

18、-1时,则s,t1.因为ak+1具有性质p,所以有a2=(s1,t1),s1,t1ak+1,使得a1·a2=0,从而s1和t1中有一个是-1,不妨设s1=-1.假设t1ak+1且t1ak,则t1=xk+1.由(s,t)·(-1,xk+1)=0,得s=txk+1xk+1,与sak矛盾.所以t1ak,从而ak也具有性质p.现用数学归纳法证明:xi=qi-1,i=1,2,n.当n=2时,结论显然成立;假设n=k时, ak=-1,1,x2,xk有性质p,则xi=qi-1,i=1,2,k;当n=k+1时,若ak+1=-1,1,x2,xk,xk+1有性质p,则ak=-1,1,x2,xk也有性质p,所以ak+1=-1,1,q,qk-1,xk+1.取a1=(xk+1,q),并设a2=(s,t)满足a1·a2=0.由此可得s=-1或t=-1.若t=-1,则xk+1=q,不可能;所以s=-1,xk+1=qtqk且x