2011年普通高等学校招生全国统一考试数学(江苏卷)

1、1 / 16 2011 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学试题数学试题 参考公式： （1）样本数据 x1, x2, , xn的方差 s2 = 1nni=1(xi x )2，其中x = 1nni=1xi （2）直棱柱的侧面积 s = ch，其中 c 为底面周长，h为高 （3）棱柱的体积 v = sh，其中 s 为底面积，h 为高 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上 注注 意意 事事 项项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1本试卷共 4 页，均为非选择题（第 1 题第 2

2、0 题，共 20 题）本卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回 2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置 3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相2 / 16 1已知集合 a = 1, 1, 2, 4，b = 1, 0, 2，则 ab = 2函数 f(x) = log5(2x + 1)的单调增区间是 3设复数 i满足 i(z + 1) = 3 + 2i（i是虚数单位），则 z 的实部是 4根据如图所示的伪代码，当输入 a, b 分别为 2，3 时，最后输出的

3、m 的值是 5从 1，2，3，4 这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是 6某老师从星期一到星期五收到信件数分别是 10，6，8，5，6，则该组数据的方差 s2 = 7已知 tan(x + 4) = 2，则tan xtan 2x的值为 8在平面直角坐标系 xoy中，过坐标原点的一条直线与函数 f(x) = 2x的图象交于 p，q 两点，则线段 pq 长的最小值是 9函数 f(x) = asin(x + )（a，为常数，a 0， 0）的部分图象如图所示，则 f(0) = 10已知 e1，e2是夹角为23的两个单位向量，a = e1 2e2，b = ke1 + e2若 ab

4、 = 0，则实数 k的值为 11已知实数 a 0，函数 f(x) = 2x + a，x 1，x 2a，x1若 f(1 a) = f(1 + a)，则 a 的值为 12在平面直角坐标系 xoy 中，已知点 p是函数 f(x) = ex（x 0）的图象上的动点，该图象在 p处的切线 l交 y 轴于点 m，过点 p 作 l的垂线交 y轴于点 n设线段 mn 的中点的纵坐标为t，则 t的最大值是 13设 1 = a1a2a7，其中 a1, a3, a5, a7成公比为 q 的等比数列，a2, a4, a6成公差为 1的等差数列，则 q 的最小值是 14设集合 a =(x, y) | m2(x 2)2

5、+ y2m2，x, y r，b = (x, y) | 2mx + y2m + 1，x, y r若 ab ，则实数 m 的取值范围是 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15（本小题满分 14分） read a, b if a b then ma else （第 4 题） y x o 2 3 712 （第 9 题） 3 / 16 在abc中，角 a，b，c所对应的边为 a, b, c （1）若 sin(a + 6) = 2cos a，求 a的值； （2）若 cos a = 13，b = 3c，求 sin c 的值 16

6、（本小题满分 14分） 如图，在四棱锥 pabcd中，平面 pad平面 abcd，ab = ad，bad = 60，e，f分别是 ap，ad的中点求证： （1）直线 ef平面 pcd； （2）平面 bef平面 pad a b c d e f p （第 16 题） 4 / 16 17（本小题满分 14分） 请你设计一个包装盒，如图所示，abcd 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 a，b，c，d 四个点重合于图中的点 p，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒e，f 在 ab 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设 ae =

7、fb = x（cm） （1）某广告商要求包装盒侧面积 s（cm2）最大，试问 x应取何值？ （2）某广告商要求包装盒容积 v（cm3）最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值 18（本小题满分 16分） 如图，在平面直角坐标系 xoy 中，m，n 分别是椭圆x24 + y22 = 1 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于 p，a 两点，其中 p在第一象限，过 p作 x轴的垂线，垂足为 c，连结 ac，并延长交椭圆于点 b设直线 pa的斜率为 k （1）当直线 pa 平分线段 mn，求 k的值； （2）当 k = 2 时，求点 p到直线 ab的距离 d； （3）对任意的 k 0

8、，求证：papb d a c b e f x x 60 p （第 17 题） y p b c o m n a （第 18 题） x 5 / 16 19（本小题满分 16分） 已知 a，b 是实数，函数 f(x) = x3 + ax，g(x) = x2 + bx，f(x)和 g(x)分别是 f(x)和 g(x)的导函数若 f(x)g(x)0在区间 i 上恒成立，则称 f(x)和 g(x)在区间 i 上单调性一致 （1）设 a 0若函数 f(x)和 g(x)在区间1, +)上单调性一致，求实数 b 的取值范围； （2）设 a 0且 a b若函数 f(x)和 g(x)在以 a，b为端点的开区间上单调

9、性一致，求 | a b |的最大值 20（本小题满分 16分） 设 m 为部分正整数组成的集合，数列an的首项 a1 = 1，前 n项的和为 sn，已知对任意的6 / 16 整数 k m，当整数 n k时，sn + k + sn k = 2(sn + sk)都成立 （1）设 m = 1，a2 = 2，求 a5的值； （2）设 m = 3, 4，求数列an的通项公式 2011 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学（附加题） 21【选做题】本题包括 a、b、c、d 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应

10、写出文字说明、证明过程或演算步骤 a选修 4-1：几何证明选讲 （本小题满分 10分） 如图，圆 o1与圆 o2内切于点 a，其半径分别为 r1与 r2（r1 r2）圆 o1的弦 ab交圆 o2于点 c（o1不在 ab 上）求证：ab : ac 为定值 注注 意意 事事 项项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1本试卷共 2 页，均为非选择题（第 21 题第 23 题）本卷满分为 40 分，考试时间为30 分钟考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回 2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置 3请认真核对监考员在答题卡上所粘

11、贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相7 / 16 b选修 4-2：矩阵与变换 （本小题满分 10分） 已知矩阵 a = 1 12 1，向量 = 12求向量 ，使 a2 = c选修 4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分 10分） 在平面直角坐标系 xoy 中，求过椭圆 x = 5cos ，y = 3sin （为参数）的右焦点，且与直线 x = 4 2t，y = 3 t（t为参数）平行的直线的普通方程 d选修 4-5：不等式选讲 （本小题满分 10分） 解不等式 x + | 2x 1 | 3 a o1 b c o2 （第 21a8 / 16 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10

12、 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22（本小题满分 10分） 如图，在正四棱柱 abcda1b1c1d1中，aa1 = 2，ab = 1，点 n 是 bc 的中点，点 m 在cc1上设二面角 a1dnm 的大小为 （1）当 = 90时，求 am的长； （2）当 cos = 66时，求 cm 的长 23（本小题满分 10分） 设整数 n4，p(a, b)是平面直角坐标系 xoy 中的点，其中 a, b 1, 2, 3, , n，a b （1）记 an为满足 a b = 3 的点 p 的个数，求 an； （ 2 ） 记bn为 满 足13(a b

13、) 是 整 数 的 点p的 个 数 ， 求bna1 a b n c m d b1 d1 c1 （第 229 / 16 数学试题参考答案 一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法每小题 5 分，共计 70 分 11, 22(12, +)314351363.2749849621054 11341212(e + e1)13331412, 2 + 2 二、填空题 15本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能力满分 14分 （1）由题设知 sin a cos6 + cos a sin6 = 2cos a从而 sin a = 3cos a，所以 cos a

14、 0， tan a = 3因为 0 a ，所以 a = 3. （2）由 cos a = 13，b = 3c 及 a2 = b2 + c2 2bccos a，和 a2 = b2 c2 故abc是直角三角形，且 b = 2所以 sin c = cos a = 13 16本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力满分 14 分 （1）在pad 中，因为 e，f分别为 ap，ad 的中点，所以 efpd 又因为 ef 平面 pcd，pd 平面 pcd， 所以直线 ef平面 pcd （2）连结 bd因为 ab = ad，bad = 60，所以ab 为 正三角形因为 f

15、是 ad的中点，所以 bf ad 因为平面 pad 平面 abcd，bf 平面 abcd， 平面 pad平面 abcd = ad，所以 bf 平面 pad a b c d e f p （第 16 题） 10 / 16 又因为 bf 平面 bef，所以平面 bef 平面 pad 17本小题主要考查函数的概念、导数等基础知识，考查数学建模能力、空间想象能力、数学阅读能力及解决实际问题的能力满分 14分 设包装盒的高为 h（cm），底面边长为 a（cm）由已知得 a = 2x，h = 60 2x2 = 2(30 x)，0 x 30 （1）s = 4ah = 8x(30 x) = 8(x 15)2 +

16、 1 800， 所以当 x = 15时，s取得最大值 （2）v = a2h = 2 2(x3 + 30 x2)，v = 6 2x(20 x) 由 v = 0得 x = 0（舍）或 x = 20 当 x (0, 20)时，v 0；当 x (20, 30)时，v 0 所以当 x = 20时，v取得极大值，也是最大值 此时ha = 12即包装盒的高与底边长的比值为12 18本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力满分 16 分 （1）由题设知，a = 2，b = 2，故 m(2, 0)，n(0, 2)，所以线段 mn中

17、点的坐标为(1,22)由于直线 pa 平分线段 mn，故直线 pa 过线段 mn 的中点，又直线pa 过坐标原点，所以 k = 221 = 22 （2）直线 pa 的方程为 y = 2x，代入椭圆方程得 x24 + 4x22 = 1，解得 x = 23，因此 p(23, 43)，a(23, 43) 于是 c(23, 0)，直线 ac 的斜率为0 + 4323 + 23 = 1，故直线 ab 的方程为 x y 23 = 0 因此，d = |23 43 23|12 + 12 = 2 23 11 / 16 （2）解法 1 将直线 pa 的方程 y = kx 代入x24 + y22 = 1，解得 x

18、= 21 + 2k2记 u = 21 + 2k2， 则 p(u, uk)，a(u, uk)于是 c(u, 0)故直线 ab 的斜率为0 + uku + u = k2， 其方程为 y = k2(x u)，代入椭圆方程得(2 + k2)x2 2uk2x u2(3k2 + 2) = 0， 解得 x = u(3k2 + 2)2 + k2或 x = u因此 b(u(3k2 + 2)2 + k2, uk32 + k2) 于是直线 pb 的斜率 k1 = uk32 + k2 uku(3k2 + 2)2 + k2 u k3 k(2 + k2)3k2 + 2 (2 + k2) = 1k 因此 k1k = 1，所

19、以 pa pb 解法 2 设 p(x1, y1), b(x2, y2)，则 x1 0, x2 0, x1 x2, a(x1, y1), c(x1, 0)设直线 pb，ab 的斜率分别为 k1, k2因为 c 在直线 ab 上，所以 k2 = 0 (y1)x1 (x1) = y12x1 = k2从而 k1k + 1 = 2k1k2 + 1 = 2y2 y1x2 x1y2 (y1)x2 (x1) + 1 = 2y22 2y12x22 x12 + 1 = (x22 + 2y22) (x12 + 2y12)x22 x12 = 4 4x22 x12 = 0 因此 k1k = 1，所以 pa pb 19本

20、小题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力满分 16 分 f(x) = 3x2 + a，g(x) = 2x + b （1）由题意知 f(x)g(x)0 在1, +)上恒成立因为 a 0，故 3x2 + a 0， 进而 2x + b0，即 b2x 在区间1, +)上恒成立，所以 b2因此 b的取值范围是2, +) （2）令 f(x) = 0，解得 x = a3 12 / 16 若 b 0，由 a 0 得 0 (a, b)又因为 f(0)g(0) = ab 0，所以函数 f(x)和 g(x)在(a, b) 上不是单调性一

21、致的因此 b0 现设 b0当 x (, 0)时，g(x) 0；当 x (, a3)时，f(x) 0因此， 当 x (, a3)时，f(x)g(x) 0故由题设得 aa3且 ba3， 从而13a 0，于是13b0因此 | a b |13，且当 a = 13，b = 0 时等号成立 又当 a = 13，b = 0时，f(x)g(x) = 6x(x2 19)，从而当 x (13, 0)时 f(x)g(x) 0， 故函数 f(x)和 g(x)在(13, 0)上单调一致因此| a b |的最大值为13 20本小题考查数列的通项与前 n 项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究及逻辑推理

22、的能力满分 16 分 （1）由题设知，当 n2时，sn + 1 + sn 1 = 2(sn + s1)，即(sn + 1 sn) (sn sn 1) = 2s1 从而 an + 1 an = 2a1 = 2又 a2 = 2，故当 n2 时，an = a2 + 2(n 2) = 2n 2 所以 a5的值为 8 （2）由题设知，当 k m = 3, 4且 n k时， sn + k + sn k = 2sn + 2sk且 sn + 1 + k + sn + 1 k = 2sn + 1 + 2sk， 两式相减得 an + 1 + k + an + 1 k = 2ak + 1，即 an + 1 + k

23、an + 1 = an + 1 an + 1 k所以当n8时，an 6，an 3，an，an + 3，an + 6成等差数列，且 an 6，an 2，an + 2，an + 6成等差数列 从而当 n8时，2an = an + 3 + an 3 = an + 6 + an 6， （*） 且 an + 6 + an 6 = an + 2 + an 2 所以当 n8时，2an = an + 2 + an 2，即 an + 2 an = an an 2 13 / 16 于是当 n9时，an 3，an 1，an + 1，an + 3成等差数列，从而 an + 3 + an 3 = an + 1 + an

24、 1， 故由（*）式知 2an = an + 1 + an 1，即 an + 1 an = an an 1 当 n9时，设 d = an an 1 当 2m8时，m + 68，从而由（*）式知 2am + 6 = am + am + 12， 故 2am + 7 = am + 1 + am + 13从而 2(am + 7 am + 6) = am + 1 am + (am + 13 am + 12)， 于是 am + 1 am = 2d d = d 因此，an + 1 an = d 对任意 n2都成立又由 sn + k + sn k 2sn = 2sk（k 3, 4）可知(sn + k sn)

25、(sn sn k) = 2sk，故 9d = 2s3且 16d = 2s4解得 a4 = 72d，从而 a2 = 32d，a1 = d2因此，数列an为等差数列由 a1 = 1 知 d = 2 所以数列an的通项公式为 an = 2n 1 数学（附加题）参考答案 21【选做题】 a选修 41：几何证明选讲 本小题主要考查两圆内切、相似比等基础知识，考查推理论证能力满分 10分 连结 ao1，并延长分别交两圆于点 e和点 d连结 bd，ce 因为圆 o1与圆 o2内切于点 a，所以点 o2在 ad上故 ad， ae 分别为圆 o1，圆 o2的直径 从而abd = ace = 2所以 bdce，

26、于是abac = adae = 2r12r2 = r1r2所以 ab : ac为定值 b选修 42：矩阵与变换 本小题主要考查矩阵运算等基础知识，考查运算求解能力满分 10分 a o1 b c o2 （第 21ad e 14 / 16 a2 = 1 12 11 12 1 = 3 24 3 设 = xy由 a2 = ，得 3 24 3xy过且过= 12，从而 3x + 2y = 1，4x + 3y = 2 解得 x = 1，y = 2，所以 = 12 c选修 44：坐标系与参数方程 本小题主要考查椭圆及直线的参数方程等基础知识，考查转化问题的能力满分 10分 由题设各，椭圆的长半轴长 a = 5

27、，短半轴长 b = 3，从而 c = a2 b2 = 4，所以右焦点为(4,0) 将已知直线的参数方程化为普通方程：x 2y + 2 = 0 故所求直线的斜率为12，因此其方程为 y = 12(x 4)，即 x 2y 4 = 0 d选修 45：不等式选讲 本小题主要考查解绝对值不等式的基础知识，考查分类讨论、运算求解能力满分 10分 原不等式可化为 2x 10，x + (2x 1) 3或 2x 1 0，x (2x 1) 3 解得 12x 43或2 x 12 所以原不等式的解集是x | 2 x 43 22【必做题】本小题主要考查空间向量的基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力满分 10分 建立如图所示的空间直角坐标系 dxyz设 cm = t（0t2），则各点的坐标为 a(1, 0, 0), a1(1, 0, 2), n(12, 1, 0), m(0, 1, t)所以dn = (12, 1, 0), dm = (0, 1, t), da1 = (1, 0, 2) 15 / 16 设平面 dmn 的法向量为 n1 =