线性代数试题及答案

1、（试卷一）填空题（本题总计20分，每小题2分）1.排列7623451的逆序数是2./若:ai1ai2a21a22=1，则a11a2103a123a2263.已知n阶矩阵 阶单位矩阵，贝yA、B和C满足 ABC 二 E ,B-CAo其中E为n-3 -4. 若A为m n矩阵，则非齐次线性方程组 AX -b有唯一解的充分要条件是5. 设A为8 6的矩阵，已知它的秩为4,则以A为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数 为2o, “ 0 0）6. 设A为三阶可逆阵，A亠|2 1 0，则A*=（3 21.丿7.若A为m n矩阵，则齐次线性方程组A-0有 非零解的充分必要条件是3 0412已知五阶行列式D=1

2、 1 1 1 1110 235 43219. 向量：=（-2,1,0,2）t 的模（范数）。10. 若:=1 k 1T 与：=1 -2 1T 正交，则 k= 二、选择题（本题总计10分，每小题2分）1.向量组“2,，:线性相关且秩为s，则（D） A r =sE. r sDs r2.若 A 为三阶方阵，且 |A+ 2E = 0,2A + E= 0,3A 4E = 0 , 则 A =(A)A8E8C43 .设向量组A能由向量组B线性表示，贝UA R(B)乞 R(A)BR(B) ： R(A)C R(B) = R(A)D R(B) R(A)4. 设n阶矩阵A的行列式等于D，则（叭"等于(A)

3、 kA(C) knAn(B) k A(D) A5. 设n阶矩阵A , B和C，则下列说法正确的(A) AB 二 AC 则 B 二 C(B) AB =0 , 则A=0或B =0(C) (ab)t =atbt(D) (A B)(A_ B) = A2 _ B2三、计算题（本题总计分,4-7每小题9分）121.计算n阶行列式dJ2260分1-3每小题222222222322:畀：.22n-12222n2 设A为三阶矩阵，a *为A的伴随矩阵，且A =丄，求(3A尸2A* .2， J3. 求矩阵的逆 广111、A= 2-11J2°4. 讨论为何值时，非齐次线性方程组X-I X2 ：；跟3 _

4、2X1' X2 X3 = X-I x2 x3 =1-5 -解;有唯一解;无解。有无穷多5. 求下非齐次线性方程组所对应的齐次线 性方程组的基础解系和此方程组的通解。x-i x2 x3 X4 = 22x1 3x2 x3 x4 = 1x-i 2x3 2x4 = 56. 已知向量组：1 =勺0 2 3丁、= 1 1 3、： 3 = 1 -1 3 1T、： 4 = 1 2 4 9 T、： 5 = 1 1 2 5T 求此向 量组的一个最大无关组，并把其余向量用 该最大无关组线性表示.1 1 0、7. 求矩阵-4 3 0的特征值和特征向量.U 0 2丿四、证明题（本题总计10分）设"为A

5、X=b（b*0 ）的一个解，犒为对应 齐次线性方程组AX =0的基础解系，证明 1, 22线性无关。（答案一）一、填空题（本题总计20分，每小题2分）*1 0 0115； 2、3； 3、CA ； 4、R（A）=R（A,b） = n ； 5、2； 6、 2 1 0 ；<3 2 1 丿7、RA ：n； 8、0； 9、3； 10、1。.二、选择题（本 题总计10分，每小题2分1、D; 2、A; 3、D ； 4、C ； 5、B4-11 -二、计算题（本题总计60分，1-3每小题分，4-7他每小题9分）1、解：0D仃a (i =3,4，,n):011a0000003分122 220-2-2 -2-

6、2001 002 2r1a+3000n-30000 0n 2=1 (-2) 1 2 (n-3) (n- 2) - -2(n- 2)!n -300n -28分（此题的方法不唯一，可以酌情给分。Z11r121、* 11 r:（1）AB -2A =-111131-2-1 1 1-1 1丿<214u -1 1'4 64、'222"z242、2 22-222=400a 06<2-22>1°24p13X593、，Z-4-80-111210-6=-3-11<3-1h1117<_8-12-16>“2 2A B3.设A为三阶矩阵，为A的伴随

7、矩阵，求(3A ) 2 A* .因 A * A =A E=1E，故 An-111 A*=2A(3A) J -2A164、解:J100100入2 +1r100100、1-100103+10-10110J1-1001丿<01-1101.丿3 427(A, E)二广100100(-1)卩00-100、3 +20-101102 十(1)010-1-10I00-1211丿)1°01-2-1一1丿006 分故A-1-1-2-1一1丿(利用 AA=pAA*公式求得结果也正确。)5、解;什111、1311九n 2、A- -21儿1/u210儿一11 一人/u Zjm 2 m巾 2m 3J 1k

8、扎丿3-<01 一扎1 - A1 一扎,(A,b)二222(2 ' )(1 - ) (1 )(1 一 )(1)唯 解：R(A) = R(代 b)=3(2)无穷多解： R(A) =R( A, b)：3-=1(3)无解:R(A) = R(A,b)(利用其他方法求得结果也正确。)6、解：(A,b)二11112)'10225、23111T01-1-1-3J0225e000021X +2x3 +2x4 =0x? X3 X4 = 0基础解系为0-13 -广5、X +2x3 +2x4 =5X2 - X3 - x4令 x3 =X4 =0，得一特解：* = 03 -7 分<0>

9、故原方程组的通解为:广5、J2、-31*1010k1 1 k2 2,其中kk2 R9分（此题结果表示不唯一，只要正确可以给分。）、-1-扎 1 07、解：特征方程 A &E = 4 3 人0 =仏2）仏1）2 从而102-Z1 =2, '2 虫；3 =1（4 分）当1=2时，由即对应于"2的全部特征向量为 皿（5（7 分）当”3=1时，由即对应于2=1的全部特征向量为k2 2（k2=0）四、证明题（本题总计10分）证：由1，2为对应齐次线性方程组AX =0的基础解系，贝U 1,2线性无关。（3分）反证法：设也幕,”线性相关，则”可由滤U 线性表示，即：=1 1 r r

10、（6分）因齐次线性方程组解的线性组合还是齐次线性方 程组解，故 必是AX =0的解。这与已知条件 为 Abb"的一个解相矛盾。（9分）. 有上可知， 1,22,线性无关。（10分）（试卷二）一、填空题（本题总计20分，每小题2 分）1. 排列6573412的逆序数是.2x 1-12. 函数f（x）= -x -x x中X3的系数是12 x3 .设三阶方阵A的行列式|A=3,则（A*）=A/34. n元齐次线性方程组AX=0有非零解的 充要条件是卜2）5 .设向量=（仁丈,，P =入正交，则26. 三阶方阵A的特征值为1 , -1, 2,贝UA =h 2 -们7. 设 A 0 2 -1，

11、则宀<0 03 >设A为8 6的矩阵，已知它的秩为4,则以-8 -A为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维 数为.9 设A为n阶方阵，且a = 2贝U1d*(3 A宀 A = .f2 0 0) ，(1)10已知A= 2 x 2相似于B=2,贝U< 3 1 b<y>x = , y =二、选择题(本题总计10分，每小题2分) 1 设n阶矩阵A的行列式等于D，贝U |-5A等 于(A) (®D(B)-5 D (C) 5 D(D)(-5)nS2. n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条 件是(A) 矩阵A有n个线性无关的特征向量(B) 矩阵A有n个特征值(C) 矩阵

12、A的行列式A.0(D) 矩阵A的特征方程没有重根3A为m n矩阵，则非齐次线性方程组AX=b有 唯一解的充要条件是-17 -(A)R( A, b) ： m-19 -(B)R(A) :：: m(C)(D)R(A)二 R(A,b) :：: n4.设向量组()(A).(B) R(B) < R(A)(C)(D) R(B)_R(A)5.向量组则(A)心r s(D)R(B)aaiR(A) = R(A, b) = nA能由向量组B线性表示，贝UR(B)乞 R(A)R(A)宀线性相关且秩为r ,(B)岂rr : s(C)三、计算题分）（本题总计60分，每小题101.计算n阶行列式:122 22222 2

13、2223 22*aI222 n T2222 2nD =2 已知矩阵方程 AX-A X ,求矩阵X,其中'2 2 0A= 2133.设n阶方阵A满足A22A 4E=0,证明A 一 3E可逆， 并求（AH）：4 求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系：禺 x2 冷 2x4 二 32xi - X2 3x3 8x4 = 83xi * 2x2 X3 9x4 = 5卞2 2x3 3x4 = 45 求下列向量组的秩和一个最大无关组，并 将其余向量用最大无关组线性表示.3C(1 =4,a2 -1,a3 =3,tt4 -5ZI0z6 . 已 知 二 次 型：2 2 2f (x1,

14、 x2, x3 2x1 5x2 5x3 4X4X2-4X4X318X2X3 ,四、证明题 分）设 3=4,用正交变换化f(Xl,X2,X3)为标准形，并求出 其正交变换矩阵Q.(本题总计10分，每小题10= ai a2 ,Q = a, a? Q , 且向量-21 -组印,去,ar线性无关，证明向量组Sb,6线性 无关.（答案二）一、填空题1. 17 2. -2 3（本题总计20分，每小题2分）-a4. r（a）：n5. - -26. -27 . a，J3或3 61 2 -11 0 2 -1 8. 2 9、10、0,-2 6b 0 3J2二、选择题(本题总计10分，每小题2分)1.A 2. A

15、3.C 4.D 5. Bn -300n - 2二计算题（本题总计60分，每小题10分）4分2 一21100a00222 -201330000222-20a0an_ 300n 21222221、解：D A D(i =3,4, ,n) 001a0 0 00 0 0=1 （-2） 1 2（n-3） （n - 2）2（n-2）! 10 分（此题的方法不唯一，可以酌情给分。）2 求解AX=A X，其中解：由AX = A X得分)广1202(A -E,A )= 2 0320 1-10“00-226 )r：01020-3卫012-1-3;2 2 0、A= 2131° 1 °1X hA-E

16、 一 A2 0131 °(3(6分)广-2 26X = 20-3(10 分)3.解：利用由 A2_2A_4E=0 可得：(A_3E)(A+E)_E = 05即 (A-3E)(A E) = E7 分 故A-3E可逆且(A-3E)' =(A E)10 分4.求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐 次线性方程组的基础解系.X1 X2 X3 2X4 =32论-x2 3x3 8x4 =8I 3x( ' 2x2 '2x3 '9x4 = -5x<i -'2x2 3x3 = _451123、n1123 A2-1388r01-2-34-32-1-9-50

17、0112<01-2-3<00000n0021 =#176;0000解：（A b）=（2分）（4分）则有x1 2x4 =1x2 -沧=0X3 X4 = 2取X4为（6分）J2、X210=c+X3-12W丿Jc R（8 分）对应齐次线性方程组的基础解系为：11-1<1 >（10 分）5. 求下列向量组的秩和一个最大无关组，并将其余«1 =4,«2 =1<0j：35 .解:'2123'勺 123 "勺 12 3"（口1口3 口4 ）=4135*0-1-1 -1*0 111<20 1

18、 2 ><0-1-1 -1 丿<00 0 0 >11 0 120 1110 0 0 0向量用最大无关组线性表示.-27 -（2分）：12为一个极大无关组.（4 分）设二 3 二 XH - X2 二 2 ,：4iy2-24x1 x3 - 8x2x3yi 二 1y2 = 1解得（8分）则有2 2 2f (x1, x2, x32x1 5x2 5x3 4x1 x2-29 -f的矩阵A =2225-2-4-2145(2分）A的特征多项式（）八（i）2（ 一10）(4 2 =1的两个正交的特征向量Pi =01,JJ-4-13 =10的特征向量P3二正交矩阵Q =2-2一-04/3*

19、21/31近-1/3 运23仲VW2 -23f =2 =yi+ y；+10y；交变换 标准形四、证明题（本题总计 b, =a1,b2 =aa?,br =aa?一a. 且向量纟组 明向量组为,曲,V - R ,使得入a粉(a +a厂2片a( + a 1a =)10分）若a®, ,a线性无关，证明：设存在 也即 简 得lbi+ 2匕2+ rbr =0(12r a 1 ( 2r a) 2ra r 0知+ Z.2 +打=0 又因为aw线性无关，则 "+：+“ = 0入r = 0 （8 分）解得.1 = .2=“'=和=0所以，bi, b2/ , br线性无关.（试卷三）、填

20、空题（本题总计20分，每小题2分） 1、按自然数从小到大为标准次序，则排列 （2n）（2n -2） 2的逆序数为 abed2、设4阶行列式D，d de d，则azzz产 b d e a 丿a d e bq i0 3)3、已知 A= 0 2 7，贝U (A*)=0 2丿4、已知n阶矩阵A、B满足A+B = BA，则（E-B=5、若A为n m矩阵，则齐次线性方程组Ax = 0只 有零解的充分必要条件是6、若A为n m矩阵，且R（A） =3： min n,m，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中包含解向 量的个数为7、若向量：=1 -2 3T与向量：=1 正交，则一8、若三阶方阵A的特征多项式为A_

21、&E =-（&+1）（入-1）2，贝寸 A =9、设三阶方阵A = 21、厲丿B=陷,已知 |A=6®丿B=1 ,贝H A_B =10、设向量组宀宀宀线性无关，则当常数l满 足时,向量组1>2_>1宀_2宀3线性无关.1、选择题（本题总计10分，每小题2分）1、以下等式正确的是（）C.A.a c.cb + d、fad丿飞E.D.acbdbd2、4阶仃列式deg）中的项 a11a33a44a22 和 824831842 的 符号分别为（）A.正、正E.正、负C.负、负D.负、正3、设A是矩阵，C是n阶可逆阵，满 足B = AC.若A和B的秩分别为rA和rB

22、, 则有（）A. rA rBB. 1： rBC.心=BD.以上都不正确4、设A是矩阵，且R（A） = m<n，则非齐次-39 -线性方程组A-b （）A.有无穷多解B.有唯一解c.无解 的情况5、已知向量组 性无关的向量组是（A.B.C.D.：'1,：'-：'2,：' -2 ,*2,-：'2,*4,-a-：'4,*4,-：'4,D.无法判断解线性无关，则以下线-：i-：'1三、计算题（本题总计60分，每小题10分）1.2.求矩阵A二2 ；的特征值和特征向量. 计算n 1阶行列式Dn 1 -3.已知矩阵A二1 1 a。0 a1

23、1iaand0 10 00 1*010、I.'1 0 0*1 -43、1 0 0,B=0 0 1,C =2 0-13 0 1<0 1 °<1-20 ji00 an且满足AXB=C，求矩阵X.4.求下列非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系及此方程组的通解/ +x? +X3 +& +X5 =13x)+ 2x? + X3 + X4 3 X5 = 3x2 2x3 2x4 6X5 =0J 5x-| ' 4X2 3X3 ' 3X4 - X5 二 5r-1 2 -1 1 -2、'5. 已知矩阵A= ； ： 22 ； ：I，求矩阵A的3

24、3 -97-9列向量组的一个最大无关组，并把其余 向量用该最大无关组线性表示.6. 已知A为三阶矩阵，且a-,求'丄A+(3A*112丿四、证明题(本题总计10分)设向量组中前n_1个向量线性相 关，后n-1个向量线性无关，试证：(1) 9可由向量组a?®,叫线性表示；(2) : n不能由向量组"2；，G线性表示.(试卷四)一、填空题(本题总计16分，每小题2分) 1、按自然数从小到大为标准次序，则排列1 3(2n-1) 2 4(2n)的逆序数为1 21 1166425 1252、4阶行列式；1 41 5, G -1 10）3、已知A= 0 2 9 ,*为A的伴随矩

25、阵，贝山A1° 0 2丿4、已知n阶方阵A和B满足BA = A + B，则（E 5已知A为m n矩阵，且R（A）=r为系数矩阵的齐次线性方程组A-0的基础解系中包含解向量的个数为6、 已知四维列向量 a0 =（2 5 0 3$、 = （10 0 5 0°f、5=（4 0 -0 0 /，且 3。1-x） + 2（c（2+x）= 5+ x），则 x=7、把向量a = （0 0 -2 2 ）单位化得8、若三阶方阵A的特征多项式为f（Q 一a+0）供_0）2，贝U A2E=1、选择题（本题总计04分，每小题2分）0、已知a,b,c,d,k R则以下等式正确的是A.C.ika b=ka b(kc d 丿<cd丿Ekakcaaa 十 c b + d、(a b l cd 丿 lc d ；D.2、设A和B为n阶方阵，下列说法正确 的是（）A若 AB 二 AC ，贝U B 二CE若 AB=0，则A =0或B =0C若 AB|=O，则 |A=O 或 |B=OD 若 a-e=o，