二次函数中的存在性问题

1、一、选择4（2012江苏连云港3分）向如图所示的正三角形区域扔沙包(区域中每一个小正三角形除颜色外完全相同)，假设沙包击中每一个小三角形是等可能的，扔沙包1次击中阴影区域的概率等于【 】A B C D【答案】C。8（2012江苏连云港3分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值是【 】A1 B1 C2.5 D【分析】将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，ABBE，AEBEAB45°

2、，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，AEEF，EAFEFA22.5°。FAB67.5°。设ABx，则AEEFx，an67.5°tanFABt。故选B。16（2012江苏连云港3分）如图，直线yk1xb与双曲线交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1xb的解集是（ ）A、x>5 B、x1 C、x0。 D、5x1或x0【答案】5x1或x0。【考点】不等式的图象解法，平移的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，对称的性质。【分析】不等式k1xb的解集即k1xb的解集，根据不等式与直线和双曲线解析式的关系，可以理解为直线yk1xb在双

3、曲线下方的自变量x的取值范围即可。而直线yk1xb的图象可以由yk1xb向下平移2b个单位得到，如图所示。根据函数图象的对称性可得：直线yk1xb和yk1xb与双曲线的交点坐标关于原点对称。由关于原点对称的坐标点性质，直线yk1xb图象与双曲线图象交点A、B的横坐标为A、B两点横坐标的相反数，即为1，5。由图知，当5x1或x0时，直线yk1xb图象在双曲线图象下方。不等式k1xb的解集是5x1或x0。1、（2012江苏南京2分）如图，菱形纸片ABCD中，A=600，将纸片折叠，点A、D分别落在A、D处，且AD经过B，EF为折痕，当DFCD时，的值为【 】A. B. C. D. 【答案】A。【考

4、点】翻折变换（折叠问题），菱形的性质，平行的性质，折叠的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。2、（2012江苏苏州3分）已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上若正方形A1B1C1D1的边长为1，B1C1O=60°，B1C1B2C2B3C3，则点A3到x轴的距离是【 】A. B. C. D. 【答案】D。【考点】正方形的性质，平行的性质，三角形内角和定理，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】过小正方形的一个顶点W作FQx轴于点Q，过点A3FFQ于点F，正方形A1B

5、1C1D1的边长为1，B1C1O=60°，B1C1B2C2B3C3，B3C3 E4=60°，D1C1E1=30°，E2B2C2=30°。D1E1=D1C1=。D1E1=B2E2=。解得：B2C2=。B3E4=。，解得：B3C3=。WC3=。根据题意得出：WC3 Q=30°，C3 WQ=60°，A3 WF=30°，WQ=，FW=WA3cos30°=。点A3到x轴的距离为：FW+WQ=。故选D。二、填空16、（2012江苏南京2分）在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿x轴翻折，再向右平移两个单位称为一次变换，如图，

6、已知等边三角形ABC的顶点B、C的坐标分别是，（-1，-1），（-3，-1），把三角形ABC经过连续9次这样的变换得到三角形ABC，则点A的对应点A的坐标是 【答案】（16，）。【考点】分类归纳（图形的变化类），翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，等边三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】先由ABC是等边三角形，点B、C的坐标分别是（1，1）、（3，1），求得点A的坐标；再寻找规律，求出点A的对应点A的坐标： 如图，作BC的中垂线交BC于点D，则 ABC是等边三角形，点B、C的坐标分别是（1，1）、（3，1）， BD=1，。A（2，）。 根据题意，可得规律：第n次变换后

7、的点A的对应点的坐标：当n为奇数时为（2n2，），当n为偶数时为（2n2， ）。 把ABC经过连续9次这样的变换得到ABC，则点A的对应点A的坐标是：（16，）。17. （2012江苏苏州3分）如图，已知第一象限内的图象是反比例函数图象的一个分支，第二象限内的图象是反比例函数图象的一个分支，在轴上方有一条平行于轴的直线与它们分别交于点A、B，过点A、B作轴的垂线，垂足分别为C、D.若四边形ACDB的周长为8且AB<AC，则点A的坐标是 .【答案】（，3）。【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，矩形的性质，解分式方程。【分析】点A在反比例函数图象上，可设A点坐标为（）。 A

8、B平行于x轴，点B的纵坐标为。点B在反比例函数图象上，B点的横坐标，即B点坐标为（ ）。AB=a（2a）=3a，AC=。四边形ABCD的周长为8，而四边形ABCD为矩形，ABAC=4，即3a=4，整理得，3a24a1=0，即（3a1）（a1）=0。a1= ，a2=1。ABAC，a=。A点坐标为（，3）。18. （2012江苏苏州3分）如图，在梯形ABCD中，ADBC，A=60°，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着ABCD的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止.已知PAD的面积S（单位：）与点P移动的时间t（单位：s）的函数关系式如图所示，则点P从开始移动到停止移动一共用了 秒

9、（结果保留根号）.【答案】4。【考点】动点问题的函数图象，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。【分析】由图可知，t在2到4秒时，PAD的面积不发生变化，在AB上运动的时间是2秒，在BC上运动的时间是42=2秒。动点P的运动速度是1cm/s，AB=2，BC=2。过点B作BEAD于点E，过点C作CFAD于点F，则四边形BCFE是矩形。BE=CF，BC=EF=2。A=60°，。由图可ABD的面积为，即， 解得AD=6。DF=ADAEEF=612=3。 18（2012江苏泰州3分）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，

10、AB、CD相交于点P，则tanAPD的值是 【答案】2。【考点】正方形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义。【分析】如图，连接BE，四边形BCED是正方形，DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE，BECD，BF=CF。根据题意得：ACBD，ACPBDP。DP：CP=BD：AC=1：3。DP=PF=CF= BF。在RtPBF中，。APD=BPF，tanAPD=2。16. （2012江苏常州2分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（3，0），P是以点P为圆心，2为半径的圆。若一次函数的图象过点A（1，0）且与P相切，则的值为 。【答案】或。【考点】一次函数综合题，直线与圆相切的性质

11、，勾股定理，相似三角形的判定和性质，一次函数的性质。【分析】如图，设一次函数与y轴交于点C，与P相切于点P。 则OA=1，OC=b，OP=3，BP=2，AP=4。 。 由AOCABP，得，即，解得。 。 由图和一次函数的性质可知，k，b同号，或。17. （2012江苏常州2分）如图，已知反比例函数和。点A在y轴的正半轴上，过点A作直线BCx轴，且分别与两个反比例函数的图象交于点B和C，连接OC、OB。若BOC的面积为，AC：AB=2：3，则= ，= 。【答案】2，3。【考点】反比例函数综合题，反比例函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】设点A（0，a）（点A在y轴的正半轴上，a0），

12、则点B（），点C（）。 OA= a，AB=（），AC=（），AB=。 BOC的面积为，即。 又AC：AB=2：3，即。 联立，解得=2，=3。三、解答题（本大题共11题，共88分）27、（2012江苏南京10分）如图，A、B为O上的两个定点，P是O上的动点（P不与A、B重合），我们称APB为O上关于A、B的滑动角。（1）已知APB是上关于点A、B的滑动角。 若AB为O的直径，则APB= 若O半径为1，AB=，求APB的度数（2）已知为外一点，以为圆心作一个圆与相交于A、B两点，APB为上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交于点M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索AP

13、B与MAN、ANB之间的数量关系。【答案】解：（1）900。如图，连接AB、OA、OB在AOB中，OA=OB=1AB=，OA2+OB2=AB2。AOB=90°。当点P在优弧 AB 上时（如图1），APB=AOB=45°；当点P在劣弧 AB 上时（如图2），APB=（360°AOB）=135°。（2）根据点P在O1上的位置分为以下四种情况第一种情况：点P在O2外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图3，MAN=APB+ANB，APB=MAN-ANB。第二种情况：点P在O2外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图4，MAN=APB

14、+ANP=APB+（180°ANB），APB=MAN+ANB180°。第三种情况：点P在O2外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图5，APB+ANB+MAN=180°，APB=180°MANANB。第四种情况：点P在O2内，如图6，APB=MAN+ANB。【考点】圆周角定理，勾股定理逆定理，三角形内角和定理和外角性质。【分析】（1）根据直径所对的圆周角等于90°即可得APB=900。根据勾股定理的逆定理可得AOB=90°，再分点P在优弧上；点P在劣弧上两种情况讨论即可。（2）根据点P在O1上的位置分为四种情况得到APB

15、与MAN、ANB之间的数量关系。25（2012江苏南通9分）甲、乙两地相距300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地如图，线段OA表示货车离甲地距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系请根据图象，解答下列问题：(1)线段CD表示轿车在途中停留了 h；(2)求线段DE对应的函数解析式；(3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车【答案】解：（1）0.5。（2）设线段DE对应的函数解析式为y=kx+b（2.5x4.5）， D点坐标为（2.5，80），E点坐标为（4.5，300），代入y=kx+b，得： ，解得：。线段D

16、E对应的函数解析式为：y=110x195（2.5x4.5）。 【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）利用图象得出CD这段时间为2.5-2=0.5，得出答案即可。（2）由D点坐标（2.5，80），E点坐标（4.5，300），用待定系数法求出线段DE对应的函数解析式。（3）用待定系数法求出OA的解析式，列60x=110x195时，求解即为轿车追上货车的时间。26（2012江苏南通10分）如图，菱形ABCD中，B60º，点E在边BC上，点F在边CD上(1)如图1，若E是BC的中点，AEF60º，求证：BEDF；(2)如图2，若EAF60&#

17、186;，求证：AEF是等边三角形【答案】证明：（1）连接AC。菱形ABCD中，B=60°，AB=BC=CD，C=180°B=120°。ABC是等边三角形。E是BC的中点，AEBC。AEF=60°，FEC=90°AEF=30°。CFE=180°FECC=180°30°120°=30°。FEC=CFE。EC=CF。BE=DF。（2）连接AC。四边形ABCD是菱形，B=60°，AB=BC，D=B=60°，ACB=ACF。ABC是等边三角形。AB=AC，ACB=60

18、76;。B=ACF=60°。ADBC，AEB=EAD=EAF+FAD=60°+FAD，AFC=D+FAD=60°+FAD。AEB=AFC。在ABE和AFC中，B=ACF，AEB=AFC， AB=AC， ABEACF（AAS）。AE=AF。EAF=60°，AEF是等边三角形。【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理 全等三角形的判定和性质。 27（2012江苏南通12分）如图，在ABC中，ABAC10cm，BC12cm，点D是BC边的中点点P从点B出发，以acm/s(a0)的速度沿BA匀速向点A运动；点Q同时以1cm/s的速度从点D出发

19、，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为ts(1)若a2，BPQBDA，求t的值；(2)设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形若a，求PQ的长；是否存在实数a，使得点P在ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）ABC中，AB=AC=10，BC=12，D是BC的中点，BD=CD=BC=6。a=2，BP=2t，DQ=t。BQ=BDQD=6t。BPQBDA，即，解得：。（2）过点P作PEBC于E，四边形PQCM为平行四边形，PMCQ，PQCM，PQ=CM。PB：AB=CM：AC。AB=AC，PB=CM。PB

20、=PQ。BE=BQ=（6t）。a=，PB=t。ADBC，PEAD。PB：AB=BE：BD，即。解得，t=。PQ=PB=t=（cm）。不存在理由如下：四边形PQCM为平行四边形，PMCQ，PQCM，PQ=CM。PB：AB=CM：AC。AB=AC，PB=CM，PB=PQ。若点P在ACB的平分线上，则PCQ=PCM，PMCQ，PCQ=CPM。CPM=PCM。PM=CM。四边形PQCM是菱形。PQ=CQ。PB=CQ。PB=at，CQ=BD+QD=6+t，PM=CQ=6+t，AP=ABPB=10at，且 at=6+t。PMCQ，PM：BC=AP：AB，化简得：6at+5t=30。把代入得，t=。不存在实

21、数a，使得点P在ACB的平分线上。【考点】等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行的性质，菱形的判定和性质，反证法。线分线段成比例定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。用反证法，假设存在点P在ACB的平分线上，由四边形PQCM为平行四边形，可得四边形PQCM是菱形，即可得PB=CQ，PM：BC=AP：PB，及可得方程组，解此方程组求得t值为负，故可得不存在。27（2012江苏泰州12分）如图，已知直线l与O相离，OAl于点A，OA=5，OA与O相交于点P，AB与O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；（2）若PC=，求

22、O的半径和线段PB的长；（3）若在O上存在点Q，使QAC是以AC为底边的等腰三角形，求O的半径r的取值范围【答案】解：（1）AB=AC。理由如下：连接OB。AB切O于B，OAAC，OBA=OAC=90°。OBP+ABP=90°，ACP+CPB=90°。OP=OB，OBP=OPB。OPB=APC，ACP=ABC。AB=AC。（2）延长AP交O于D，连接BD，设圆半径为r，则由OA=5得，OP=OB=r，PA=5r。又PC=， 。由（1）AB=AC得，解得：r=3。AB=AC=4。PD是直径，PBD=90°=PAC。DPB=CPA，DPBCPA。，即，解得。

23、 （3）作线段AC的垂直平分线MN，作OEMN，则OE=AC=AB=。又圆O要与直线MN交点，OE=r，r。又圆O与直线l相离，r5。O的半径r的取值范围为r5（2）延长AP交O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5r，根据AB=AC推出，求出r，证DPBCPA，得出 ，代入求出PB即可。（3）根据已知得出Q在AC的垂直平分线上，作出线段AC的垂直平分线MN，作OEMN，求出OEr，求出r范围，再根据相离得出r5，即可得出答案。28（2012江苏泰州12分） 如图，已知一次函数的图象与x轴相交于点A，与反比例函数的图象相交于B（1，5）、C（，d）两点点P（m，n）是一次函数

24、的图象上的动点（1）求k、b的值；（2）设，过点P作x轴的平行线与函数的图象相交于点D试问PAD的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a的取值范围【答案】解：（1）将点B 的坐标代入，得 ，解得。 反比例函数解析式为。 将点C（，d）的坐标代入，得。C（，2）。 一次函数的图象经过B（1，5）、C（，2）两点， ，解得。 DPx轴，且点D在的图象上， ，即D（）。 PAD的面积为。 S关于n的二次函数的图象开口向下，有最大值。 又n=，得，而。 当时，即P（）时，PAD的

25、面积S最大，为。 （3）由已知，P（）。 易知mn，即，即。 若，则。 由题设，解出不等式组的解为。 若，则。 由题设，解出不等式组的解为。 综上所述，数a的取值范围为，。【考点】反比例函数和一次函数综合问题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行的性质，二次函数的性质，不等式组的应用。【分析】（1）根据曲线上点的坐标与方程的关系，由B 的坐标求得，从而得到；由点C在上求得，即得点C的坐标；由点B、C在上，得方程组，解出即可求得k、b的值。 （2）求出PAD的面积S关于n的二次函数（也可求出关于m），应用二次函数的最值原理即可求得面积的最大值及此时点P的坐标。（3）由mn得到。分和两种情况求解。23. （2012江苏镇江6分）如图，AB是O的直径，DFAB于点D，交弦AC于点E，FC=FE。（1）求证：FC是O的切线；（2）若O的半径为5，求弦AC的长。【答案】解：（1）连接OC， FC=FE，FCE=FEC（等边对等角）。 OA=OC，OAC=OC