浙教版八年级上第1章三角形的初步知识小专题：构造全等三角形的方法技巧(含答案)

1、小专题（一）构造全等三角形的方法技巧类型1连结线段构造全等三角形【例11如图，已知 AB=AD, BC = CD,求证：/B = ZD.证明：连结AC,在BC和MDC中,AB=AD,BC = DC,I AC = AC, BC 分DC(SSS). .E = ZD.【方法归纳】 通过连结两点，构造出三角形，再证明两个三角形全等，然后利用全等三角形的性质说明角相等或边相等.变式训练1 .如图，已知AB /CD,AD BC,求证：/A=/C.证明：连结BD,.AB CD . ABD = /CDB.AD BC , . ADB = /CBD.又.BD = DB, .公BD*DB(ASA). .A=/C.2

2、.如图，在AABC中，AB=AC,点M为BC中点，MDgB于点D, MESC于点E.求证：MD=ME.证明：连结AM.在AABM和AACM中，AB=AC,A AM=AM , BM=CM,zABMACM(SSS).EAM = /CAM . .MD1AB, ME JAC,. MD = ME.类型2利用截长补短”构造全等三角形【例2】 如图，AD ZBC,点E在线段AB上，DE =/CDE , ZDCE =/ECB.求证：CD= AD + BC.证明：在CD上截取DF=DA,连结FE.在DE和AFDE中,AD = FD,A DE = / FDE de = de,.zADEzEDE. . A=ZDFE

3、.又，AD 伯C, 3 + 4 = 180.DFE + ZEFC = 180 °. .E = ZEFC.在在FC和至BC中，/ EFO / B,E ZECF = / ECBEC = EC, 6FCWzEBC. FC = BC. CD = DF + FC=AD + BC.【方法归纳】遇到证明线段的和差倍分问题时，通常利用截长法或补短法，具体的作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等， 或者延长某条线段，使之与特定线段相等, 再利用三角形全等的有关性质解决.变式训练3 .如图，在9BC中， =60° ,BD, CE分别平分/ABC和CB , BD , CE交于点O,试判断B

4、E, CD, BC的数量关系，并加以证明.解：BC = BE + CD.证明：在BC上截取BF = BE ,连结OF.BD 平分ZABC , .EBO = /FBO.又.BO = BO , zEBO-BO. .EOB = /FOB. A = 60° ,BD, CE 分另1J平分/ABC 和ZACB, EOC = 180° OBC /OCB = 180“BC -1ZACB =180 2211(180。aA) =120°. .EOB = /DOC = 60 EOF = 60° , FOC = ZDOC=60°.CE 平分/DCB zDCO = ZF

5、CO.又.CO = CO, .dDCO0zECO.CD = CF. BC = BF + CF = BE + CD.4 .（德州中考）问题背景:如图1,在四边形 ABCD中，AB = AD, /BAD = 120 ° ,区="DC =90°.点E, F分别是BE, EF, FD之间的数量关系.BC, CD上的点.且/EAF =60°.探究图中线段小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G,使DG = BE,连结AG.先证明MBEWzADG,再证明沙£5 0公65,可得出结论，他的结论应是 EF=BE+DF；(2)如图 2,若在四边形 ABCD 中

6、，AB=AD, ZB + ZD = 180 °.E, F 分别是 BC , CD1上的点，且/EAF =一宏AD,上述结论是否仍然成立，并说明理由. 2解：EF=BE + DF仍然成立.证明：延长FD到G,使DG = BE,连结AG,. E + /ADC=180° ,ADC + ZADG = 180° , .E = ZADG.在BE和DG中,BE = DG,B ZB = / ADGIAB=AD. ABEADG(SAS). AE=AG, ZBAE = /DAG.1v£AF = -ZBAD, 2GAF = ZDAG + /DAF = ZBAE + ZDAF

7、= /BAD ZEAF = /EAFEAF = /GAF.在办EF和aGF中，ZEAF = / GAF af=af,AEFzaGF(SAS),ef = fg.fg = dg + df = be + df,ef = be + df.类型3利用中线倍长”构造全等三角形AB + AC>2AD>AC【例3】 如图，在BBC中，AD是BC边上的中线，AC>AB,求证:-AB.AZKM/i / :/E证明：延长AD至E,使AD=DE,并连结CE ,.D是BC上的中点，. CD = BD.又.AD = DE, ZADB = /CDE,.zADBzEDC(SAS).AB = CE.,.AC

8、+ CE>2AD>AC-CE,. AB+AC>2AD>ACAB.【方法归纳】当题目中出现中线时，常常延长中线，使所延长部分与中线的长度相等, 然后连结相应的端点，便可以得到全等三角形.变式训练5,已知：如图，AD, AE分别是那BC和小BD的中线，且BA = BD.求证：AE = /aC.B E： .D CJ啰证明：延长AE至F,使EF = AE,连结DF.AE是BD的中线，.BE = DE.又jAEB = ZFED,.zABEzFDE.E = ZBDF, AB=DF.BA = BD, .EAD = ZBDA, BD = DF.v ADF = ZBDA + /BDF , ZADC = /BAD + ZB , . ADF = ZADC.AD是BC的中线，. BD = CD.DF = CD.又.AD = AD,.,.zADFzADC(SAS). AC=AF = 2AE,即 AE=1AC.26.如图，AB=AE, AB1AE, AD=AC, AD JAC ,点 M 为 BC 的中点，求证：DE = 2AM.证明：延长 AM至点N ,使MN = AM ,连结BN ,.M为BC中点，. BM = CM.又.AM = MN, /AMC = ZNMB, .AMCNMB(SAS). AC = BN, /C