基于matlab的倒立摆设计

1、摘 要 .IAbstract .II第一章 绪论 .11.1 倒立摆的研究背景 .11.2 国内外现状 .21.3 应解决的问题和技术要求 .21.4 工作内容 .3第二章 MATLAB 仿真软件及应用.42.1 MATLAB 软件的基本介绍 .42.1.1 软件概述.42.1.2 软件的构成部分 .52.2 MATLAB 的仿真 .5第三章 倒立摆系统及数学建模 .73.1 倒立摆系统的组成.73.1.1 系统组成及分类 .73.1.2 倒立摆的控制方法 .73.1.3 实验设备简介.83.2 模型的建立 .93.2.1 模型的推导原理 .93.2.2 直线一级倒立摆数学模型的推导 .93.

2、2.4 采用 MATLAB 语句形式进行仿真 .15第四章 PID 控制理论.174.1 PID 控制概述 .174.2 PID 的控制规律 .184.3 PID 控制原理的特点 .204.4 PID 参数的调整 .20第五章 直线一级倒立摆的 PID 设计及仿真 .225.1 PID 控制器的设计 .225.1.1 PID 控制系统设计原理.225.2 PID 控制器设计 MATLAB 仿真 .255.2.1 摆杆角度控制算法仿真 .255.2.2 小车位置控制算法仿真 .285.2.3 结果分析.29总结 .30致谢 .31参考文献 .32I摘 要 自动控制原理（包括经典部分和现代部分）是

3、电气信息工程学院学生的一门必修专业基础课，课程中的一些概念相对比较抽象，如系统的稳定性、可控性、收敛速度和抗干扰能力等。倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等，对倒立摆系统的研究在理论上和方法上都有深远的意义。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。本设计以倒立摆为控制对象，设计 PID 控制器，利用 Matlab 软件对倒立摆模型的响应进行仿真，分析控制器参数对倒立摆响应的影响

4、。关键词：一级倒立摆；PID 控制器；MATLAB 仿真IIAbstractAutomatic control theory (including classical parts and modern parts) is a compulsory specialized fundamental course of the students majored in electrical engineering. Some of the curriculum concept is relatively abstract, such as the stability, controllability,

5、 convergence rate and the anti-interference ability of system.The control of inverted pendulum system is a nonlinear complex, unstable, system, is control theory teaching and carry out ideal experimental platform of various control experiments. The research on inverted pendulum system can reflect th

6、e effective control of many typical problems in nonlinear problems: such as, robustness, stabilization problem, the dynamic problem and the tracking problemto inverted pendulum in theory and methods on the research is of profound significance. Through the control of the inverted pendulum, ability to

7、 test whether the new control method has the strong nonlinear and instability problem.The design of the inverted pendulum as a control object, the design of PID controller, the response of the inverted pendulum model by using Matlab software simulation, analysis of the impact of the response paramet

8、ers of controller of the inverted pendulum.KeywordsKeywords: First-order inverted pendulum；PID controller ；MATLAB simulation 1第一章 绪论 这一章内容主要包括：毕业设计课题的背景、目的、意义；国内外发展现状（主要进行文献综述） ；应解决的主要问题及应达到的技术要求；本设计的基本理论依据和主要工作内容；各章节的安排。1.1 倒立摆的研究背景倒立摆源于 20 世纪 50 年代，是一个典型的非线性、高阶次、多变量、强耦合、不稳定的动态系统，能有效地反映诸如稳定性、鲁棒性等许多

9、控制中的关键问题，是检验各种控制理论的理想模型。很多被控对象都可以抽象成为倒立摆模型，在很多领域有着广泛的应用，如机器人，航天领域等。它不但是验证现代控制理论方法的典型实验装置，而且其控制方法和思路对处理一般工业过程亦有广泛的用途。倒立摆常规的控制算法如 LQR 在倒立摆的控制中已被广泛采用，模糊控制作为一种智能控制的方法，在一定程度上模仿了人的控制，它不需要有准确的控制对象模型，作为一种非线性智能控制方法，已在多变量、时变、非线性系统的控制中发挥了重要的作用。人们已利用多种控制策略实现了一至四级倒立摆系统的稳定控制。对于倒立摆系统的稳定控制，具有重要的理论意义和重要的工程实践意义。事实上,人

10、们一直在试图寻找不同的控制方法来实现对倒立摆的控制,以便检查或说明该方法对严重非线性和绝对不稳定系统的控制能力。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。故其研究意义广泛。倒立摆的研究具有重要的工程背景：(1) 机器人的站立与行走类似双倒立摆系统，尽管第一台机器人在美国问世至今已有三十年的历史

11、，机器人的关键技术机器人的行走控制至今仍未能很好解决。(2) 在火箭等飞行器的飞行过程中，为了保持其正确的姿态，要不断进行实时控制。(3) 通信卫星在预先计算好的轨道和确定的位置上运行的同时，要保持其稳定的姿态，使卫星天线一直指向地球，使它的太阳能电池板一直指向太阳。(4) 侦察卫星中摄像机的轻微抖动会对摄像的图像质量产生很大的影响，为了提高摄像的质量，必须能自动地保持伺服云台的稳定，消除震动。(5) 为防止单级火箭在拐弯时断裂而诞生的柔性火箭(多级火箭)， 其飞行姿态的1 2控制也可以用多级倒立摆系统进行研究。由于倒立摆系统与双足机器人，火箭飞行控制和各类伺服云台稳定有很大相似性，因此对倒立

12、摆控制机理的研究具有重要的理论和实3践意义。对倒立摆这样的一个典型被控对象进行研究，无论在理论上和方法上都具有重要意义。不仅由于其级数增加而产生的控制难度是对人类控制能力的有力挑战，更重要的是实现其控制稳定的过程中不断发现新的控制方法，探索新的控制理论，并进而将新的控制方法应用到更广泛的受控对象中。各种控制理论和方法都可以在这里得以充分实践，并且可以促成相互间的有机结合。1.2 国内外现状国内，在倒立摆系统实验平台先后出现了多种控制算法。用状态空间法设计的比例微分控制器来实现单级倒立摆的稳定控制；利用最优状态调节器实现双电机三级倒立摆实物控制；用变结构方法实现倒立摆的控制。用神经网络的自学习模

13、糊控制器的输入输出的对比，引起其他学者的关注，之后不断出现实时学习神经网络的方法来控制倒立摆。用两个模糊滑模并行的控制小车和摆杆偏角；采用留优遗传算法进行参数优化对倒立摆控制研究；用能量控制法对倒立摆系统进行研究。国内，倒立摆发展最前沿的有中国北京师范大学的李洪兴教授采用变论域自适应模糊控制理论完成了四级倒立摆系统的仿真和实物实验。北京航空航天大学的张飞舟等人利用拟人控制实现三级倒立摆的控制。中国科技大学的黄丹等人利用LQP最优控制完成倒立摆控制。国防科学技术大学的罗成教授等人利用基于LQR的模糊插值实现了五级倒立摆的控制。国外的有，日本的东京工业大学、东京电机大学、东京大学；韩国的釜山大学、

14、忠南大学，此外，俄罗斯的圣彼得堡大学、美国的东佛罗里达大学、俄罗斯科学院、波兰的波兹南技术大学、意大利的佛罗伦萨大学也对这个领域有持续的研究。近年来，虽然各种新型倒立摆不断问世，但是可自主研发并生产倒立摆装置的厂家并不多。目前，国内各高校基本上都采用香港固高公司和加拿大Quanser公司生产的系统【1，2】；其它一些生产厂家还包括（韩国）奥格斯科技发展有限公司（FT-4820型倒立摆）、保定航空技术实业有限公司；最近，郑州微纳科技有限公司的微纳科技直线电机倒立摆的研制取得了成功。1.3 应解决的问题和技术要求 倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实

15、验的理想实验平台。我们要熟悉MATLAB软件，特别是.m文件，知道怎么用MATLAB进行系统仿真，熟悉倒立摆系统，对倒立摆系统进行线性化的数学建模，设计PID控制器的，我会使用直线一级倒立摆作为研究对象，利用MATLAB软件对倒立摆模型的响应进行仿真，分析控制器参数对倒立摆响应的影响。1 451.4 工作内容本论文是对倒立摆PID控制器的设计及用MATLAB进行系统仿真的研究，具体内容有： 第一章 绪论：首先说明课题的背景与意义，然后介绍倒立摆系统的技术现状以及存在的问题。提出本设计方案的理论依据和主要工作内容。最后，简单介绍论文的设计内容和安排。 第二章 MATLAB 软件简介及应用：对 M

16、ATLAB 软件进行简单介绍，对其操作环境简单了解。 第三章 倒立摆系统及数学建模：首先介绍下实验的设备，说明系统是由哪些构成的。简单介绍下倒立摆系统，然后对直线一极倒立摆数学模型进行推导，最后对系统阶跃响应分析仿真。第 4 章 PID 控制器设计与调节：简单介绍 PID 控制器，PID 控制器的控制规律，分析 PID 控制器在倒立摆系统中的作用。第 5 章 直线一级倒立摆的 PID 控制器设计及调节：先设计 PID 控制器，然后进行 MATLAB 仿真。1 6第二章 MATLAB 仿真软件及应用 2.1 MATLAB 软件的基本介绍2.1.1 软件概述在科学研究和工程应用中，为了克服一般语言

17、对大量的数学运算，尤其当涉及到矩阵运算时编制程序复杂、调试麻烦等困难，美国 Math Works 软件公司于 1967 年构思并开发了矩阵实验室（Matrix Laboratory ,MATLAB）软件包。经过不断更新和扩充，该公司于 1984 年推出 MATLAB 的正式版，特别是 1992 年推出具有跨时代意义的MATLAB 4.0 版，并于 1993 年推出其微机版，以配合当时日益流行的 Microsoft Windows 操作系统。截止到 2005 年，该公司先后推出了 MATLAB 4.x、MATLAB 6.x，以及 MATLAB 7.x 等版本，该软件的应用范围越来越广。MATLA

18、B 以它的“语言”化的数值计算，强大的矩阵处理及绘图功能，以及灵活的可扩充性和产业化的开发思路，很快就为自动控制界的研究人员所瞩目。目前，在自动控制、图像处理、语言处理、信号分析、振动原理、优化设计、时序分析和系统建模等领域广泛应用。1990 年,Math Works 软件公司为 MATLAB 提供了新的控制系统图形化模型输入与仿真工具 Simulink。Simulink 是 MATLAB 最重要的组件之一，它提供一个动态系统建模、仿真和综合分析的集成环境。在该环境中，无需大量书写程序，而只需要通过简单直观的鼠标操作，就可构造出复杂的系统。Simulink 具有适应面广、结构和流程清晰及仿真精

19、细、贴近实际、效率高、灵活等优点，并基于以上优点 Simulink 已被广泛应用于控制理论和数字信号处理的复杂仿真和设计。同时有大量的第三方软件和硬件可应用于或被要求应用于 Simulink。 Simulink 是 MATLAB 中的一种可视化仿真工具，是一种基于 MATLAB 的框图设计环境，是实现动态系统建模、仿真和分析的一个软件包，被广泛应用于线性系统、非线性系统、数字控制及数字信号处理的建模和仿真中。Simulink 可以用连续采样时间、离散采样时间或两种混合的采样时间进行建模，它也支持多速率系统，也就是系统中的不同部分具有不同的采样速率。为了创建动态系统模型，Simulink 提供了

20、一个建立模型方块图的图形用户接口(GUI) ，这个创建过程只需单击和拖动鼠标操作就能完成，它提供了一种更快捷、直接明了的方式，而且用户可以立即看到系统的仿真结果。Simulink&reg 是用于动态系统和嵌入式系统的多领域仿真和基于模型的设计工具。对各种时变系统，包括通讯、控制、信号处理、视频处理和图像处理系统，Simulink提供了交互式图形化环境和可定制模块库来对其进行设计、仿真、执行和测试。构架在 Simulink 基础之上的其他产品扩展了 Simulink 多领域建模功能，也提供了7用于设计、执行、验证和确认任务的相应工具。Simulink 与 MATLAB&reg 紧

21、密集成，可以直接访问 MATLAB 大量的工具来进行算法研发、仿真的分析和可视化、批处理脚本的创建、建模环境的定制以及信号参数和测试数据的定义。另外，模型输入与仿真环境 Simulink 更使 MATLAB 为控制系统的仿真与在 CAD中的应用开辟了崭新的局面，使 MATLAB 成为目前国际上最流行的控制系统计算机辅助设计的软件工具。MATLAB 不仅流行于控制界，在生物医学工程、语言处理、图像信号处理、雷达工程、信号分析，以及计算机技术等行业中也都广泛应用。2.1.2 软件的构成部分 MTALAB系统由五个主要部分组成，下面分别加以介绍。 (1)MATALB语言体系：MATLAB是高层次的矩

22、阵数组语言具有 条件控制、函数调用、数据结构、输入输出、面向对象等程序语言特性。利用它既可以进行小规模编程，完成算法设计和算法实验的基本任务，也可以进行大规模编程，开发复杂的应用程序。 (2)MATLAB工作环境：这是对MATLAB提供给用户使用的管理功能的总称包括管理工作空间中的变量据输入输出的方式和方法，以及开发、调试、管理M文件的各种工具。 (3)图形句相系统：这是MATLAB图形系统的基础，包括完成2D和3D数据图示、图像处理、动画生成、图形显示等功能的高层MATLAB命令，也包括用户对图形图像等对象进行特性控制的低层MATLAB命令，以及开发GUI应用程序的各种工具。 (4)MATL

23、AB数学函数库：这是对MATLAB使用的各种数学算法的总称包括各种初等函数的算法，也包括矩阵运算、矩阵分析等高层次数学算法。 (5)MATLAB应用程序接口(API)：这是MATLAB为用户提供的一个函数库，使得用户能够在MATLAB环境中使用c程序或FORTRAN程序，包括从MATLAB中调用于程序(动态链接)，读写MAT文件的功能。 可以看出MATLAB是一个功能十分强大的系统，是集数值计算、图形管理、程序开发为一体的环境。除此之外，MATLAB还具有根强的功能扩展能力，与它的主系统一起，可以配备各种各样的工具箱，以完成一些特定的任务。2.2 MATLAB 的仿真 工具SIMULINKMA

24、TLAB的SIMULINK子库是一个建模、分析各种物理和数学系统的软件。由于在WINDOWS界面下工作,所以对控制系统的方块图编辑、绘制很方便。MATLAB命令窗口启动SIMULINK程序后,出现的界面如下。8分别为信号源、输出、离散系统库、线性系统库、非线性系统库、系统连接及扩展系统。下面分别介绍: （1）信号源程序提供了八种信号源,分别为阶跃信号、正弦波信号、白噪声、时钟、常值信号、文件、信号发生器等可直接使用。而信号发生器(singal gein)可产生正弦波、方波、锯齿波、随机信号等。（2）信号输出程序提供了三种输出方式,可将仿真结果通过三种方式之一如仿真窗口、文件等形式输出。 （3）

25、离散系统程序提供了五种标准模式,延迟、零-极点、滤波器、传递函数、状态空间等。并且每种标准模式都可方便地改变参数以符合被仿真系统。 （4）线性系统程序提供了七种标准模式,加法器、比例、积分器、微分、传递函数、零-极点、状态空间等。同离散系统一样,每种标准模式都可方便地改变参数以符合被仿真系统。 （5）非线性系统非线性系统库提供了十三种常用标准模式,如绝对值、乘法、函数、回环特性、死区特性、斜率、继电器特性、饱和特性、开关特性等。 （6）系统连接系统连接库提供了四种模式,输入、输出、多路转换等。 （7）系统扩展考虑到各种复杂系统的要求,另外提供了十二种类型的扩展系统库,每一种又有不同的选择模式。

26、1 9第三章 倒立摆系统及数学建模3.1 倒立摆系统的组成3.1.1 系统组成及分类 倒立摆系统由计算机、运动控制卡、伺服机构、传感器和倒立摆本体五部分构成。 倒立摆系统的分类：（1）依据摆杆数目的不同，可以把倒立摆系统分为一级、二级和三级倒立摆等；（2）依据摆杆间连接形式的不同，可以把倒立摆系统分为并联式倒立摆和串联式倒立摆；（3）依据运动轨道的不同，可以把倒立摆系统分为倾斜轨道倒立摆和水平轨道的倒立摆；（4） 依据控制电机的不同，可以把倒立摆系统分为多电机倒立摆和单电机倒立摆；（5）依据摆杆与小车连接方式的不同，可以把倒立摆系统分为刚性倒立摆和柔性倒立摆；（6）依据运动方式的不同，可以把倒

27、立摆系统分为平面倒立摆、直线倒立摆和旋转倒立摆。3.1.2 倒立摆的控制方法（1） 线性理论控制方法将倒立摆系统的非线性模型进行近似线性化处理，获得系统在平衡点附近的线性化模型，然后再利用各种线性系统控制器设计方法，得到期望的控制器。PID 控制、状态反馈控制、LQR 控制算法是其典型代表。这类方法对于一、二级倒立摆（线性化误差较小、模型较简单）控制时，可以解决常规倒立摆的稳定控制问题。但对于像非线性较强、模型较复杂的多变量系统（三、四级以及多级倒立摆）线性系统设计方法的局限性就十分明显，这就要求采用更有效的方法来进行合理的设计。（2） 预测控制和变结构控制方法由于线性控制理论与倒立摆系统多变

28、量、非线性之间的矛盾，使人们意识到针对多变量、非线性对象，采用具有非线性特性的多变量控制解决多变量、非线性的必由之路。人们先后开展了预测控制、变结构控制和自适应控制的研究。（3） 智能控制方法8在倒立摆系统中用到的智能控制方法主要有神经网络控制、模糊控制、仿人智能控制、拟人智能控制和云模型控制等。（4） 鲁棒控制方法虽然，目前对倒立摆系统的控制策略有如此之多，而且有许多控制策略都对倒立摆进行了稳定控制，但大多数都没考虑倒立摆系统本身的大量不确定因素和外界干扰，目前对不确定倒立摆系统的鲁棒控制问题进行了研究并取得了一系列成果。3.1.3 实验设备简介一级倒立摆系统的简单的结构示意图如图 3-1

29、所示 小小车车滑滑轨轨皮皮带带电电机机摆摆杆杆 图3-1一阶倒立摆结构示意图系统组成框图如图3-2所示 图 3-2 一级倒立摆组成框图计算机运动控制卡伺服驱动器伺机电器倒立摆光电码盘 1光电码盘 29系统是由计算机、运动控制卡、伺服机构、倒立摆本体和光电码盘几大部分组成的闭环系统。光电码盘 1 将小车的位移、速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，摆杆的角度、角速度信号由光电码盘 2 反馈给运动控制卡。计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策（小车运动方向、移动速度、加速度等），并由运动控制卡来实现该控制决策，产生相应的控制量，使电机转动，通过皮带，带动小车运动，保持摆杆平衡。3.2 模型

30、的建立3.2.1 模型的推导原理系统建模可以分为两种:机理建模和实验建模.实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者先确定的输入信号,激励研究对象并通过传感器的检测其可观测的输出,应用数学手段建立起系统输入-输出关系.这里包括输入信号的设计选取,输出信号的精确检测,数学算法的研究等等内容.机理建模就是在了解研究对象在运动规律基础上,通过物理,化学的知识和数学手段建立起的系统内部的输入输出状态关系.系统的建模原则：1) 建模之前，要全面了解系统的自然特征和运动机理，明确研究目的和准确性要求，选择合适的分析方法。2) 按照所选分析法，确定相应的数学模型的形式；3) 根据允许的误差范围，进行准确

31、性考虑，然后建立尽量简化的合理的数学模型。无法通过测量频率特性方法获取其数学模型。,实验建模存在一定的困难,但经过小心的假设忽略一些次要的因素外,倒立摆系统就是一个典型的运动刚体系统,可以在惯性坐标系内应用经典力学理论基础建立系统的动力学方程.3.2.2 直线一级倒立摆数学模型的推导采用牛顿欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图 3-3 所示。本系统内部各相关参数定义如下： 9 小车质量 Mm 摆杆质量 m 小车摩擦系数 Fb 摆杆转动轴心到杆质心的长度 lc 摆杆惯量 I 加在小车上的力 Fx 小车

32、位置 x 摆杆与垂直方向的夹角 图 3-3 直线一级倒立摆系统 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）图 3-4 是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，和为小车与摆杆相互作用NP力的水平和垂直方向的分量。注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图，图示方向为矢量正方向。 P N F bx mg 图 3-4 小车及摆杆受力分心 应用牛顿方法来建立系统的动力学方程过程如下：分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： (3.1)MxFbxN由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： M M XXN11 (3.2)22(sin )dNm

33、xldt 即： (3.3)2cossinNmxmlml把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程： (3.4)2()cossinMm xbxmlmlF为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程： (3.5)22( cos )dPmgmldt 即： (3.6)2sincosPmgmlml力矩平衡方程如下： (3.7) INlPlcossin注意：此方程中力矩的方向，由于，因此等,coscos ,sinsin 式前面有负号。合并这两个方程，约去和，得到第二个运动方程：PN (3.8)2()sincosImlmglmlx 微分方程模型设，当摆杆与垂直向上

34、方向之间的夹角与 1（单位是弧度）相比很小，即 时，则可以进行近似处理：，。为了与控1cos1 sin 2()0ddt制理论的表达习惯相统一，即一般表示控制量，用来代表被控对象的输入力，线uuF性化后得到该系统数学模型的微分方程表达式： (3.9)2()()ImlmglmlxMm xbxmlu传递函数模型对方程组（3-9）进行拉普拉斯变换，得到:12 (3.10)22222()( )( )( )()( )( )( )( )Imls smglsmlX s sMm X s sbX s smls sU s注意：推导传递函数时假设初始条件为 0。由于输出为角度，求解方程组（3-10）的第一个方程，可以

35、得到: (3.11)22()( ) ( )ImlgX ssmls或 : (3.12)222( )( )()smlsX sImlsmgl如果令，则有：vx (3.13)22( )( )()smlV sImlsmgl把上式代入方程组（3-10）的第二个方程，得到: (3.14)()()()()()()(22222sUssmlsssgmlmlIbsssgmlmlImM整理后得到以输入力为输入量，以摆杆摆角为输出量的传递函数：u (3.15)22432( )( )()()mlssqU sb ImlMm mglbmglssssqqq其中: )()(22mlmlImMq状态空间数学模型由现代控制理论原理可

36、知，控制系统的状态空间方程可写成如下形式： (3.16)XAXBuYCXDu方程组(3-9)对解代数方程，得到如下解： , x13 (3.17)2222222222()()()()()()()()()xxImlbm glImlxxuI MmMmlI MmMmlI MmMmlmlbmgl MmmlxuI MmMmlI MmMmlI MmMml整理后得到系统状态空间方程：uMmlmMImlMmlmMImlIxxMmlmMImMmglMmlmMImlbMmlmMIglmMmlmMIbmlIxx2222222222)(0)(00)()()(010000)()()(00010 (3.18)1000000

37、100 xxxyu 由(3.9)的第一个方程为：2()Imlmglmlx对于质量均匀分布的摆杆有：213Iml于是可以得到：2213mlmlmglmlx化简得到： (3.19)3344gxll设，则有：TXxxux 0100000001000103300044xxxxugll 14 1000000 100 xxxyu 实际的系统模型如下：M 小车质量 1.096 Kg m 摆杆质量 0.109 Kg b 小车摩擦系数 0 .1N/m/sec l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.2 5m I 摆杆惯量 0.0034 kg*m*m T 采样频率 0.005秒 注意：在进行实际系统的MATLAB仿真

38、时，我们将采样频率改为实际系统的采样频率。我们的在实际操作中自行检查系统参数是否与实际系统相符，否则的改用实际参数进行实验。 3.2.3 实际系统模型把上述参数代入，可以得到系统的实际模型 摆杆角度和小车位移的传递函数： (3.20)22( )0.0275( )0.01021250.26705ssX ss摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为： (3.21)2( )0.02725( )0.01021250.26705sV ss摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数： (3.22)32( )2.35655( )0.088316727.91692.30942ssU ssss以外界作用力作为输入的系统

39、状态方程： (3.23)0100000.08831670.62931700.8831670001000.22565527.828502.356551000000100 xxxxuxxxyu 15以小车加速度作为输入的系统状态方程： 0100000001000100029.403xxxxu （3.24）uxxxy0001000001需要说明的是，在固高科技所有提供的控制器设计和程序中，采用的都是以小车的加速度作为系统的输入，如果、用户需要采用力矩控制的方法，可以参考以上把外界作用力作为输入的各式。3.2.4 采用 MATLAB 语句形式进行仿真 编写的程序如下：%一级倒立摆传递函数求取clear

40、 all;close all;M=1.096;m=0.109;b=0.1;I=0.0034;g=9.8;l=0.25;q=(M+m)*(I+m*l2)2-(m*l)2;num=m*l/q 0den=1 b*(I+m*l2)/q-(M+m)*m*g*l/q-b*m*g*l/q%impluse responce 开环脉冲响应t=0:0.005:5;impulse(num,den,t)16axis(0 1 0 60)MATLAB仿真的开环脉冲响应曲线如图3.5所示，系统不稳定。 图 3.5 系统开环脉冲响应 17第四章 PID 控制理论 4.1 PID 控制概述在工业自动化设备中，常采用由比例、积分

41、、微分控制策略形成的校正装置作为系统的控制器。 自从计算机进入控制领域以来，用数字计算机代替模拟计算机调节器组成计算机控制系统，不仅可以用软件实现PID控制算法，而且可以利用计算机的逻辑功能，使PID控制更加灵活。数字PID控制在生产过程中是一种最为普遍的控制方法，将偏差的比例、积分、和微分通过线性组合构成控制量，对被控对象进行控制，故称为PID控制器。当今的自动控制技术都是基于反馈的概念。反馈理论的要素包括三个部分：测量、比较和执行。测量关心的变量，与期望值相比较，用这个误差纠正调节控制系统的响应。这个理论和应用自动控制的关键是，做出正确的测量和比较后，如何才能更好地纠正系统。PID（比例-

42、积分-微分）控制作为最早实用化的控制器已有70多年历史，现在仍然是应用最广泛的工业控制器。PID控制简单易懂，使用中不需精确的系统模型等先决条件，因而成为应用最为广泛的控制器。PID控制由比例单元（P）、积分单元（I）和微分单元（D）组成。其输入e (t)与输出u (t)的关系为 (4.1)因此它的传递函数为： (4.2)它由于用途广泛、使用灵活，已有系列化产品，使用中只需设定三个参数（Kp， Ki和Kd）即可。在很多情况下，并不一定需要全部三个单元，可以取其中的一到两个单元，但比例控制单元是必不可少的。PID控制之所以广泛使用：首先，PID应用范围广。虽然很多工业过程是非线性或时变的，但通过

43、简化可以变成基本线性和动态特性不随时间变化的系统，这样PID就可控制了。其次，PID参数较易整定。也就是，PID参数Kp，Ki和Kd可以根据过程的动态特性及时整定。如果过程的动态特性变化，例如可能由负载的变化引起系统动态特性变化，PID参数就可重新整定。第三，PID控制在实践中也不断的得到改进，下面两个改进的例子。在工厂，总是能看到许多回路都处于手动状态，原因是很难让过程在“自动”模式下平稳工作。由于这些不足，采用PID的工业控制系统总是受产品质量、安全、产量和能源浪费等问题的困扰。PID参数自整定就是为了处理PID参数整定这个问题而产生0( )( )( )( )tpidde tu tK e

44、tKedKdt0( )( )( )ipdKU sG sKKE ss1 18的。现在，自动整定或自身整定的PID控制已是商业单回路控制器和分散控制系统的一个标18准。在一些情况下针对特定的系统设计的PID控制控制得很好，但它们仍存在一些问题需要解决：如果自整定要以模型为基础，为了PID参数的重新整定在线寻找和保持好过程模型是较难的。闭环工作时，要求在过程中插入一个测试信号。这个方法会引起扰动，所以基于模型的PID参数自整定在工业应用不是太好。如果自整定是基于控制律的，经常难以把由负载干扰引起的影响和过程动态特性变化引起的影响区分开来，因此受到干扰的影响控制器会产生超调，产生一个不必要的自适应转换

45、。另外，由于基于控制律的系统没有成熟的稳定性分析方法，参数整定可靠与否存在很多问题。因此，许多自身整定参数的PID控制经常工作在自动整定模式而不是连续的自身整定模式。自动整定通常是指根据开环状态确定的简单过程模型自动计算PID参数。但仍不可否认PID也有其固有的缺点：PID在控制非线性、时变、耦合及参数和结构不确定的复杂过程时，工作地不是太好。最重要的是，如果PID控制器不能控制复杂过程，无论怎么调参数都没用。虽然有这些缺点，PID控制是最简单的有时却是最好的控制方法8。4.2 PID 的控制规律PID控制就是对偏差信号进行比例、积分、微分运算后，形成的一种控制规律。)(te在模拟控制系统中,

46、控制器最常用的控制规律是PID控制。模拟PID控制系统原理框图如图4.1所示。系统由模拟PID控制器和被控对象组成。19 比分 微分 积分被控系统 图 4.1 模拟 PID 控制系统原理框图PID 控制器是一种线性控制器，它根据给定值 rin(t)与实际输出值 yout(t)构成控制偏差 error(t)=rin(t)-yout(t) PID 的控制规律为： (4.3)也可以写成传递函数的形式 (4.4)其中，比例系数，积分时间常数；微分时间常数。pkITDT 简单的说来，PID控制器各校正环节的作用如下：比例环节：成比例的反映控制系统的偏差信号error(t)，偏差一旦产生，控制器立即产生控

47、制作用，以减少偏差。积分环节：主要用于消除静差，提高系统的无差度。积分作用的强弱取决于积分时间常数，越大，积分作用越弱，反之越强。ITIT微分环节：反映偏差信号的变化趋势（变化速率），并能在偏差信号变的太大之前，在系统中引入一个有效的早期修正信号，从而加快系统的动作速度，减少调节时间。( )1( )(1)( )pDIU sG skT sE sT s0( )1( )( )( )tDpIT derror tu tkerror terror t dtTdtRink 204.3 PID 控制原理的特点 PID控制器就是根据系统的误差，利用比例、积分、微分计算出控制量进行控制的。 比例（P）控制 比例控

48、制是一种最简单的控制方式。其控制器的输出与输入误差信号成比例关系。当仅有比例控制时系统输出存在稳态误差（Steady-state error）。 积分（I）控制 在积分控制中，控制器的输出与输入误差信号的积分成正比关系。对一个自动控制系统，如果在进入稳态后存在稳态误差，则称这个控制系统是有稳态误差的或简称有差系统（System with Steady-state Error）。为了消除稳态误差，在控制器中必须引入“积分项”。积分项对误差取决于时间的积分，随着时间的增加，积分项会增大。这样，即便误差很小，积分项也会随着时间的增加而加大，它推动控制器的输出增大使稳态误差进一步减小，直到等于零。因此

49、，比例+积分(PI)控制器，可以使系统在进入稳态后无稳态误差。 微分（D）控制 在微分控制中，控制器的输出与输入误差信号的微分（即误差的变化率）成正比关系。自动控制系统在克服误差的调节过程中可能会出现振荡甚至失稳。其原因是由于存在有较大惯性组件（环节）或有滞后(delay)组件，具有抑制误差的作用，其变化总是落后于误差的变化。解决的办法是使抑制误差的作用的变化“超前”，即在误差接近零时，抑制误差的作用就应该是零。这就是说，在控制器中仅引入“比例”项往往是不够的，比例项的作用仅是放大误差的幅值，而目前需要增加的是“微分项”，它能预测误差变化的趋势，这样，具有比例+微分的控制器，就能够提前使抑制误

50、差的控制作用等于零，甚至为负值，从而避免了被控量的严重超调。所以对有较大惯性或滞后的被控对象，比例+微分(PD)控制器能改善系统在调节过程中的动态特性。4.4 PID 参数的调整PID控制器的参数整定是控制系统设计的核心内容。它是根据被控过程的特性确定PID控制器的比例系数、积分时间和微分时间的大小。PID控制器参数整定的方法很多，概括起来有两大类：一是理论计算整定法。它主要是依据系统的数学模型，经过理论计算确定控制器参数。这种方法所得到的计算数据未必可以直接用，还必须通过工程实际进行调整和修改。二是工程整定方法，它主要依赖工程经验，直接在控制系统的试验中进行，且方法简单、易于掌握，在工程实际

51、中被广泛采用。PID控制器参数的工程整定方法，主要有临界比例法、反应曲线法和衰减法。三种方法各有其特点，其共同点都是通过试验，然后按照工程经验公式对控制器参数进行整定。但无论采用哪一1 21种方法所得到的控制器参数，都需要在实际运行中进行最后调整与完善。现在一般采用的是临界比例法。利用该方法进行 PID控制器参数的整定步骤如下：首先预选择一个足够短的采样21周期让系统工作；其次仅加入比例控制环节，直到系统对输入的阶跃响应出现临界振荡，记下这时的比例放大系数和临界振荡周期；再次在一定的控制度下通过公式计算得到PID控制器的参数。PID控制器的控制质量如何，很大程度上取决于其三个参数，和，因此需要

52、对这三个参数进行整定。pKiKdK22第五章 直线一级倒立摆的 PID 设计及仿真5.1 PID 控制器的设计5.1.1 PID 控制系统设计原理首先，对于倒立摆系统输出量为摆杆的角度，它的平衡位置为垂直向上。系统控制结构框图如5.1下： f(s)=F r(s)=0 e(s) PID 控制器 KD(s)被控制对象 G(s) 图 5.1 直线一级倒立摆闭环系统简化图该系统的输出为：)()()()()()()(1)()()(1)()(sFnumnumPIDdendenPIDdenPIDnumsFdendenPIDnumnumPIDdennumsFsGsKDsGsy f(s)=F u(s) y(s)

53、 u(s)+_+PID 控制器 KD（s）y(s)23 + _ 图 5.2 摆杆角度控制结构框图其中： 被控对象传递函数的分子项num被控对象传递函数的分母项PID 控制器传递函数的分子项numPIDPID 控制器传递函数的分母项denPID通过分析上式就可以得到系统的各项性能。由式子(3-13)可以得到摆杆角度和小车加速度的传递函数： 22smlV sImlsmglPID 控制器的传递函数为：denPIDnumPIDsKsKsKsKKsKsKDIPDIPD2)(只需调节 PID 控制器的参数，就可以得到满意的控制效果。前面的讨论只考虑了摆杆角度，那么，在控制的过程中，小车位置如何变化呢？考虑

54、小车位置，得到改进的系统框图如下： x(s) f(s)=F + r(s)=0 e(s) + + _ 图 5.3 同时考虑摆角和小车位置且考虑输入信号的系统框 其中，)(1sG是摆杆传递函数，)(2sG是小车传递函数。由于输入信号0)(sr，所以可以把结构图转换成： 被控制对象G（s）PID 控制器 KD(s)被控对象 1 1( )G s被控对象 2 2( )G su(s)(s) 被控对象 2 2( )G s24 f(s)=F u(s) x(s) + - 图 5.4 同时考虑摆角和小车位置但不考虑输入信号的系统框图其中，反馈环代表我们前面设计的摆杆的控制器。注：从此框图我们可以看出此处只对摆杆角

55、度进行了控制，并没有对小车位置进行控制。小车位置输出为：)()()()()()()()()()(1)()()(1)()(212112112212sFdennumnumPIDdendendenPIDdendenPIDnumsFdendenPIDnumnumPIDdennumsFsGsKDsGsX 其中，1num，1den，2num，2den分别代表被控对象 1 和被控对象 2 传递函数的分子和分母。numPID和denPID代表 PID 控制器传递函数的分子和分母。下面我们来求)(2sG，根据第三章的推导，有： )()()(22ssgmlmlIsX 可以推出小车位置的传递函数为qbmglsqmg

56、lmMsqmlIbsqmglsqmlIsUsXsG)()()()()()(223222 其中：)()(22mlmlImMq可以看出，小车的算式可以简化成：12=dendenden )()()()()(12sFnumnumPIDkdendenPIDdenPIDnumsX PID 控制器 KD(s) 被控对象 1 1( )G s255.2 PID 控制器设计 MATLAB 仿真PID 控制仿真，我们可以从两个方面进行讨论，即摆杆角度讨论和小车位置讨论。5.2.1 摆杆角度控制算法仿真 假设，我们施加 0.1N 的脉冲信号，观察指标。脉冲信号仿真源程序为：M = 1.096;m = 0.109;b

57、= 0.1;I = 0.0034;g = 9.8;l = 0.25;q = (M+m)*(I+m*l2)-(m*l)2; num1 = m*l/q 0 0;den1 = 1 b*(I+m*l2)/q -(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q 0;Kp = 1;Ki = 1; Kd = 1;numPID = Kd Kp Ki;denPID = 1 0;num = conv(num1,denPID);den = polyadd(conv(denPID,den1),conv(numPID,num1);r,p,k=residue(num,den);s=p t=0:0.005:5;impuls

58、e(num,den,t)axis(0 2 0 50)grid 仿真结果为： 当 Kp = 1;Ki = 1; Kd = 1 时 2600.20.40.60.811.21.41.61.8205101520253035404550Impulse ResponseTime (sec)Amplitude 图 5.5 未调整 PID 参数系统响应图 由图可知系统响应是不稳定的，需要调整参数 Kp，Kd 和 Ki，直到获得满意的控制结果。首先增加比例系数 Kp，观察它对响应的影响，取 Kp=100，Kd=1.系统响应如下：当 Kp=100;Ki=1;Kd=1;时0.20.40.60.811.21.41.6

59、1.8-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.2Impulse ResponseTime (sec)Amplitude图 5.6 参数 Kp = 100;Ki = 1; Kd = 1 时系统响应图系统稳定时间约为 2 秒。由于此时稳态误差为 0，所以不需要改变积分环节（可以改变积分系数，观察系统响应会变坏） ；系统响应的超调量比较大，为了减小超调，增27加微分系数 Kd，取 Kd=20，观察响应曲线：当 Kp = 100;Ki = 1; Kd = 20;时00.511.522.533.544.5500.010.020.030.040.050.06Impulse Response

60、Time (sec)Amplitude图 5.7 参数 Kp = 100;Ki = 1; Kd = 20 时系统响应图由图可知，系统稳定时间约为 1 秒，稳态误差为 0，超调量为 5。如果再加积分，则结果会变。当 Kp = 100;Ki = 20; Kd = 20;时，00.511.522.533.544.55-0.03-0.02-0.0100.010.020.030.040.050.06Impulse ResponseTime (sec)Amplitude图 5.8 参数 Kp = 100;Ki = 20; Kd = 20 时系统响应图相对图 5.7 来讲，这次结果明显变坏。但是作出调整：Kp = 45;K