函数的微分及其在近似计算中的应用实用教案

1、11.实例函数增量(zn lin)的构成20 xA xx 0 xx 0 x2 x x0 x0 x 此此时时面面积积改改变变了了多多少少？变变到到边边长长由由热热正正方方形形金金属属薄薄片片，因因受受,xxx, 002xA 的的函函数数关关系系为为解解：正正方方形形边边长长与与面面积积2020202)(xxxxxxAx 时时，面面积积增增量量为为当当边边长长增增量量为为函数的增量由两部分构成：的的主主要要部部分分。的的线线性性式式，是是函函数数增增量量、等等式式右右边边第第一一项项， x 1.022的的高高阶阶无无穷穷小小时时，是是，当当、第第二二项项xxx 第1页/共24页第一页，共25页。2

2、2、微分(wi fn)的定义 设函数y=f(x)在某区间内有定义， 区间内，如果函数的增量)()(00 xfxxfy )( xoxAy .xAdy 可表示为 （1）其中 A是不依赖于 x 的常数，而 )( xo 是比x 高阶无穷小，)(xfy 那么称函数 在点 0 x是可微的，而 xA 叫做函数 相应于自变量增量x的微分， )(xfy 在点 0 x 记作dy，即： 及0 xxx 0在这 .),(为为函函数数的的微微分分则则称称若若xAdyxxAy dyyxdyyxA 很很小小时时，。的的线线性性主主部部，即即：称称为为第2页/共24页第二页，共25页。30 x设函数)(xfy 在点可微,则有(

3、1)成立，即)( xoxAy .)(xxoAxy 得得,x 等式两端除以).(0 xfA0 x因此, 如果函数)(xf在点可微，0 x则)(xf在点也一定可导, 且3、问题：函数可微的条件是什么？?A 于是, 当0 x 时, 由上式就得到xyx 0lim0 xfxxoAx 0lim.A)(lim00 xfxyx 根据极限与无穷小的关系, 上式可写为反之, 如果)(xfy 0 x在存在,可导, 即 第3页/共24页第三页，共25页。4），（0, 0)(0 xxfxy .)(0 xxxfy 则,)(,0 xxfxox 不不依依赖赖于于且且）（因因 故上式相当于(1)式, 在点0 x可微。)(xf则

4、).( ,)()(000 xfAxxfxxfy且且处可导处可导在在处可微处可微在在函数函数4.函数(hnsh)可微的充要条件： 如函数xycos的微分为xxxxdy sin)(cos显然，函数的微分xxfdy )( 与x和x 有关。函数在任意点的微分,称为函数的微分,记作.)(xxfdy ),(xdfdy或或即第4页/共24页第四页，共25页。55、微分的几何(j h)意义xyM0NPQx0 xx 0 x y dyTO)x(fy 当 x 很小时， . ydy 纵纵坐坐标标的的相相应应增增量量。就就是是曲曲线线的的切切线线上上点点的的，上上点点的的纵纵坐坐标标的的增增量量时时是是曲曲线线dyxf

5、y)( y:几何意 义第5页/共24页第五页，共25页。6例1 求函数处处的的微微分分。和和在在312xxxy处处的的微微分分为为在在3xxxxdyx 6|)(32解;2|)(12xxxdyx 处处的的微微分分为为在在12xxy 函数例2 求函数.x,xxy时时的的微微分分当当02023 .3)(23xxxxdy 时时的的微微分分再再求求函函数数当当0202.x,x .xxdy.xx.xx2400202332020220202 解 先求函数在任意点的微分第6页/共24页第六页，共25页。7).(0 xfdxdy从从而而有有：通常把自变量的增量称为自变量的微分.记作.dx即xdx .)(0dxx

6、fdy则函数 的微分又可记作： )(xfy 这表明, 函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数. 因此, 导数也叫“微商”.导数(do sh)（微商）即微分之商。第7页/共24页第七页，共25页。81. 基本初等(chdng)函数的微分公式导数(do sh)公式微分公式,xx1 ,cossinxx,sincosxx,sectan2xx,csccot2xx,tansecsecxxx,cotcsccscxxx,lnaaaxx,exxe,dxxxd1 ,cossinxdxxd,sincosxdxxd,sectan2xdxxd,csccot2xdxxd,tansecsecxdxxxd,cotcsc

7、cscxdxxxd,lnadxaadxx,dxedxxe第8页/共24页第八页，共25页。92.函数(hnsh)的和、差、积、商的微分法则,ln1logaxxa ,1lnx,11arcsin2xx,11arccos2xx,11arctan2xx.11cot2xxarc,ln1logdxaxxda,1lndxxxd,11arcsin2dxxxd,11arccos2dxxxd,11arctan2dxxxd.11cot2dxxxarcd第9页/共24页第九页，共25页。10函数(hnsh)和、差、积、商的求导法则 ,vuvu ，是是常常数数CuCCu,vuvuuv.vvvuvuvu02函数(hnsh

8、)和、差、积、商的微分法则 ,dvduvud，是常数是常数CCduCud,udvvduuvd.vvudvvduvud023. 复合函数的微分法则微分公式(gngsh)的形式不变性。由此可见，无论是自变量还是中间变量的可微函数，微分形式duufdy)( 保持不变 。这一性质叫做微分形式不变性。:)(,)(),(的的微微分分为为则则复复合合函函数数都都可可导导设设xfyxuufy .)()(dxxufdxydyx duydyduufdyu或或或或写写为为：)(dxxdu)( 第10页/共24页第十页，共25页。114、利用(lyng)微分公式的形式不变性计算 利用微分公式(gngsh)的形式不变性

9、，不仅可以求函数的微分，而且可以求导数，只要把微分运算进行到只剩自变量的微分，就可以得到函数的导数。例3：. ,2cos2dxdydyxy求：求： )2(cos2cos2)2(cos2xxdxddy )2(2sin2cos2xxdx dxxx 2)2sin(2cos2xdx4sin2 .4sin2xdxdy 第11页/共24页第十一页，共25页。122、分别按照(nzho)dx、dy合并同类项。 得到g1(x,y) dy = g2 (x,y) dx利用微分公式的形式(xngsh)不变性，求隐函数的微分和导数的步骤：1、不论自变量还是(hi shi)函数，对方程两边求微分。并将微分进行到dy、d

10、x 。dxyxgyxgdyyxgyxgdxdy),(),(),(),(1212或或微微分分求求得得导导数数：3、第12页/共24页第十二页，共25页。13在求复合函数(hnsh)的微分时，也可以不写出中间变量。)12()12cos( xdx )(sinuddy uducosdxx2)12cos( .)12cos(2dxx .dxexexx221221lnxeddy解22111xxede22211xdeexxxdxeexx2122解把2x+1看成中间变量u ，则例4),12sin(xy求.dy例5),1ln(2xey求.dy第13页/共24页第十三页，共25页。14)cos(31xeddyx例7

11、 在下列等式左端的括号中填入适当的函数(hnsh)，使等式成立。.)sincos3(31dxxxex)(cos)(cos3131xdeexdxx tdtdxdxd cos(_)2( ;(_)1( 解:,22xdxxd即即，解应用积的微分法则得：.2)(2xdxxd(1)因为dxexx3cos31xdxexsin31 221xdxdx可可见见，,xd22例6 ,cos31xeyx求.dy第14页/共24页第十四页，共25页。15,cos)(sin)2(tdttd 因因为为,cossin1tdttd 即即，)( ,cossin1为为任任意意常常数数一一般般地地，有有：CtdtCtd tdtdt s

12、in1cos可可见见，,sin1td 第15页/共24页第十五页，共25页。16dyxfxxfdyyx00, 即即很很小小时时在在dxxfxfdyxfxxfxxfxxxxdxdxxfdyyyx)( )()()()(2)()( 1000000000 的的函函数数值值点点附附近近的的点点、求求应应增增量量点点的的微微分分，求求函函数数的的相相、利利用用有有两两方方面面的的应应用用：微微分分在在近近似似计计算算中中主主要要23434RV,RV 体积体积.RRRVV 24 近近似似值值为为：铁铁球球的的体体积积的的改改变变量量的的 解： -502.401020143432毫米毫米.102024.RRR

13、RV 多多少少？试试估估计计铁铁球球体体积积减减少少了了毫毫米米以以后后其其直直径径缩缩小小了了使使用用一一段段时时间间毫毫米米铁铁球球直直径径为为用用于于研研磨磨水水泥泥原原料料用用的的,.,2040 例1：第16页/共24页第十六页，共25页。17 式式得得：应应用用取取236060,x,x 3606sin0330sin 3602321 3606cos6sin 507600076050000.36060330 ;cos,sinxxfxxf则则设设解：例2：近近似似值值。利利用用微微分分计计算算0330sin 第17页/共24页第十七页，共25页。18 ,1 4xex . xx 1ln5利用

14、上式可导出工程上常用的几个公式 （ ）： 假定x很小 ;xnxn111 1 为为弧弧度度制制xxx sin2 为为弧弧度度制制xxx tan3在 式中，取00 x得 xffxf00dxxfxfdyxfxxf)( )()()(0000 xx 第18页/共24页第十八页，共25页。19.的的近近似似值值求求3997 331000311000997利利用用近近似似公公式式得得：解300301 10.3997 999003031110.的的近近似似值值求求051 得得：利利用用近近似似公公式式 1 ,05. 0105. 1 ,.0251050211051,.024701051如如直直接接开开方方得得：

15、.00100511.025 的的近近似似值值其其误误差差不不超超过过作作解第19页/共24页第十九页，共25页。20用用微微分分在在误误差差估估计计中中的的应应.,间间接接测测量量误误差差叫叫作作果果也也会会有有误误差差差差的的数数据据计计算算所所得得的的结结带带有有误误差差而而根根据据带带有有误误测测得得的的结结果果必必然然响响围围环环境境等等各各种种因因素素的的影影测测量量方方法法以以及及测测量量时时周周由由于于测测量量仪仪器器的的精精度度、经经常常需需要要测测量量各各种种数数据据在在实实际际工工作作中中 绝绝对对误误差差和和相相对对误误差差 1.绝对误差(ju du w ch)：,Aa它

16、的近似值为设某个量的精确值为相对误差(xin du w ch)：.a,aaAaaA的相对误差的相对误差称为称为的比值的比值与与绝对误差绝对误差.aA称称为为的的绝绝对对误误差差则则在实际工作中，由于某个量的精确值往往(wngwng)是无法知道的，所以绝对误差和相对误差无法求得。第20页/共24页第二十页，共25页。21.A,aA,a,AAAA的的绝绝对对误误差差限限为为测测量量则则称称即即差差不不超超过过它它门门之之间间的的误误测测得得它它的的近近似似值值为为某某个个量量的的精精确确值值为为 绝对误差(ju du w ch) 限：相对误差(xin du w ch)限：.AaA的相对误差限的相对

17、误差限称为测量称为测量 利用微分估计误差利用微分估计误差 2. .,值计算可按公式值设根据直接测量yxfyx,x,xxx 即即的的绝绝对对误误差差限限是是如如果果已已知知测测量量.yyyyxy 的的相相对对误误差差限限约约为为xyxydyyyy ,0的的绝绝对对误误差差时时则则当当,yyxy 的的绝绝对对误误差差限限约约为为即即第21页/共24页第二十一页，共25页。22.mm.D,mm.DD试估计截面积的误差试估计截面积的误差的绝对误差限的绝对误差限测得测得设测得圆钢截面的直径设测得圆钢截面的直径0500360 ,DA24 面积公式面积公式,DDDdAAD 22 的的绝绝对对误误差差限限约约

18、为为A 的的相相对对误误差差限限约约为为A 050.DD 及及解：050.DD 的的绝绝对对误误差差限限这这里里dAA 242DDADA DD 2A,mm.2715405003602 DD 2%常把绝对误差(ju du w ch)限与相对误差限简称为绝对误差(ju du w ch)与相对误差。,DDDA 2例5：第22页/共24页第二十二页，共25页。23小 结：4近似计算公式(gngsh)xxfdyy )( )1(xxfxfxxf )( )()()2(000)( )()()3(000 xxxfxfxf 5工业上常用的几个(j )近似公式6.绝对误差与相对误差(xin du w ch)的定义及计算1微分的定义、公式2微分的几何意义3基本初等函数的微分公式与微分运算法则 xffxf00)4( 第23页/共24页第二