立体几何中的向量方法(二)——求空间角

1、6           B. 4             C. 3            D. A. 立体几何中的向量方法(二)求空间角一、选择题1.(2016·长沙模拟)在正方体 

2、;A B C D ABCD 中，AC 与 B D 所成的角的大小11111为)2解析建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为1，则 A(0，0，0)，C(1，1，0)，B (1，0，1)，D(0，1，10).ACB D(1，1，0)，  (1，1，1)，1B DAC·  1×(1)1×10×(1)0，1ACB D  ，1AC 与 B&

3、#160;D 所成的角为12.答案D2.(2017·郑州调研)在正方体 ABCDA B C D 中，BB 与平面 ACD 所成角的正弦111111值为()2           B.    3A.    33C.35D.25所以BB (0，0，1)，(1，1，0)，AD (1，0，1).A

4、C令平面 ACD 的法向量为 n(x，y，z)，则 n·xy0，n·AD xAC解析设正方体的棱长为 1，以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.则 B(1，1，0)，B (1，1，1)，A(1，0，0)，C(0，11，0)，D (0，0，1)，11111z0，令 x1，可得 n(1，1，1)，所以 sin  

5、|cosn，BB |3×1  3答案B11     3  .3.在正方体 ABCDA B C D 中，点 E 为 BB 的中点，则平面 A ED 与平面 ABCD 所111111成的锐二面角的余弦值为()A.12B.23C.33D.22Eç1，0，  ÷，D(0，1，0)，AEç1，0， 

6、 ÷，è2ø设 平 面  A ED  的 一 个 法 向 量 为  n  (1 ， y ， z) ， 所 以 有 í1E·n 0，ïîA解析以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为 1，则 

7、A (0，0，1)，1æ1öè2øA D  (0，1，1)，1æ1ö111A Dìï  ·n 0，11 1即ìyz0，í1î12z0，ì y2，解得íîz2.  cosn ，n     2  .3n (1，2，2).1平面 ABC

8、D 的一个法向量为 n (0，0，1)，22123×132即所成的锐二面角的余弦值为 .答案B4.(2017·西安调研)已知六面体 ABCA B C 是各棱长均等于 a 的111正三棱柱，D 是侧棱 CC 的中点，则直线 CC 与平面 AB D 所成的111角为()A.45°C.90°B.60°D.30°解析如图所示，取 AC 的中点&#

9、160;N，以 N 为坐标原点，建立空间直角坐标系.2ø         22èè0，n·AD0，可取 n(   3，1，2).由 n·AB·nCC |n|CCB(2，2，0)，D A (2，0，0)，DB(2，2，0)，0，ìïn·DAn(x，y，z)，则í|n|  aö

10、30;     è2ø       öæaö3aaæ      2a2              cosCC ，n， A.   3   &#

11、160;         2B.   2            2C.2   2            3D.2   3     

12、       D 到平面 A BD 的距离 d.aöæaöæ   3aöææaaöè         ø，Cè     øè  2  ，0，

13、aøè       ø则 Aç0，2，0÷ç0，2，0÷，B1ç÷，Dç0，2，2÷，C ç0， ，a÷，1AB ç， ，a÷，ADç0，a， ÷，CC (0，0，a).11设平面 AB D 的法向量为 n(x，y，z)，1111a×2&#

14、160;221直线 CC 与平面 AB D 所成的角为 45°.11答案A5.设正方体 ABCDA B C D 的棱长为 2，则点 D 到平面 A BD 的距离是()1111113解析如图建立坐标系 . 则 D (0 ，0 ，2) ， A (2 ，0 ，2) ，1111设平面 A 

15、;BD 的一个法向量11ïîn·DB0，ì2x2z0，í令 z1，得 n(1，1，1).î2x2y0，D A|  ·n|22 3111133答案D二、填空题6.(2017·昆明月考 )如图所示，在三棱柱 ABCA B C 中，AA1111底面 ABC，ABBCAA ，ABC90°，点 E，F 分别是棱1AB，BB 的中点，则直线 

16、;EF 和 BC 所成的角是_.11则(0，1，1)，BC (2，0，2)，·BC 2，EFEF解析以 BC 为 x 轴，BA 为 y 轴，BB 为 z 轴，建立空间直角坐标系.设 ABBC1AA 2，1则 C (2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，111cos，BC EF2×2   2  212 

17、60;   1 ，1，2)，则(0，1，0)，DB(1，1，0)，DC (0，1，2).DCîy2z0，|ï  n·DC ï2.|n|ï设 CD 与平面 BDC 所成的角为 ，则 sin  |cosn，DCDC答案  22            &#

18、160;         BH  3答案   2EF 和 BC 所成的角为 60°.1答案60°7.在正四棱柱 ABCDA B C D 中，AA 2AB，则 CD 与平面 BDC 所成角的正弦值111111等于_.解析以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图.设 A

19、A 12AB2，则 D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，C (0，11设平面 BDC 的一个法向量为n (x ， y ， z) ，则 n DB，1ìxy0，nDC ，所以有í令 y2，得平面 BDC 的一个法向量为 n (2，112，1).ï ï1ïï3ï38.已知点 E，F 分别在正方体&

20、#160;ABCDA B C D 的棱 BB ，CC 上，且 B E2EB，CF11111112FC ，则平面 AEF 与平面 ABC 所成的二面角的正切值等于_.1解析延长 FE，CB 相交于点 G，连接 AG，如图所示.设正方体的棱长为 3，则 GBBC3，作 BHAG 于点 H，连接 EH，则EHB 为所求二面角的平面角.3 2EB

21、2BH，EB1，tanEHB.3三、解答题9.(2015·全国卷)如图，四边形 ABCD 为菱形， ABC120°，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面 ABCD，BE2DF，AEEC.(1)证明：平面 AEC平面 AFC，(2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值.(1) 证明如图，连接 BD，设 BDACG，连接 EG，FG，EF.在菱形 ABCD 

22、;中，不妨设 GB1.由ABC120°，可得AGGC 3.由 BE平面 ABCD，ABBC，可知 AEEC.又 AEEC，所以 EG 3，且 EGAC.在 Rt  FDG 中，可得 FG    6在 Rt EBG 中，可得 BE 2，故 DF.222.在直角梯形 BDFE 中，由 BD2，BE  &

23、#160;2，DF  ，可得 EF   ，由(1)可得 A(0，   3，0)，E(1，0，   2)，Fç1，0，  ÷，23 222从而 EG2FG2EF2，所以 EGFG.又 ACFGG，可得 EG平面 AFC.因为 EG 平面 AEC，所以平面 AEC平面 AFC.GCGB(2)解如图，以 G

24、0;为坐标原点，分别以GB，的方向为 x 轴，y 轴正方向，|为单位长度，建立空间直角坐标系 Gxyz，æ2öè2 øC(0， 3，0).(1，   3，   2)，æçAECF所以2ö1， 3，  ÷.è 2 ø，  AE·CF     3.|AE

25、|CF故 cosAE CF3所以直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值为33.10.(2016·全国卷)如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，平面 ABEF 为正方形， AF2FD，AFD90°，且二面角 DAFE 与二面角 CBEF 都是60°.(1)证明：平面 ABEF平面 EFDC；(2)求二面角 EBCA 的余弦值.(1)证明由已知可得 AF

26、DF，AFEF，所以 AF平面 EFDC.又 AF 平面 ABEF，故平面 ABEF平面 EFDC.(2)解过 D 作 DGEF，垂足为 G.由(1)知 DG平面 ABEF.GFGF以 G 为坐标原点，的方向为 x 轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 Gxyz.由(1)知DFE 为二面角 DAFE 的平面角，故DFE60°，则|DF|2，|DG| 3.

27、可得 A(1，4，0)，B(3，4，0)，E(3，0，0)，D(0，0， 3).由已知得 ABEF，所以 AB平面 EFDC.又平面 ABCD平面 EFDCCD，故 ABCD，CDEF.由 BEAF，可得 BE平面 EFDC，所以CEF 为二面角 CBEF 的平面角，CEF60°.从而可得 C(2，0， 3).ECEBACAB所以(1，0， 3)，(0，4，0)，(3，4， 3)，(4，ì

28、9;n·EC0，ìx   3z0，ìïm·AC0，ïîm·AB0，|n|m|    190，0).设 n(x，y，z)是平面 BCE 的法向量，则í即íïîn·EB0，î4y0，所以可取 n(3，0， 3).设 m 是平面 ABCD 的法向量，则í同理可取 m(0， 3

29、，4).n·m2 19则 cosn，m.故二面角 EBCA 的余弦值为 2   1919.11.(2017·济南质检 )如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABCA B C ，CACC 2CB，则直线 BC 与直线 AB111111夹角的余弦值为()5            B.

30、60;   53            C. 2   5A.    55D.35BC (0，2，1)，AB (2，2，1)， ，AB   BC1·AB1     41    1   

31、; 50.cosBC|BC |AB |BC 与AB 的夹角即为直线 BC 与直线 AB 的夹角，解析不妨令 CB1，则 CACC 2，可得 O(0，0，0)，B(0，0，1)，C (0，112，0)，A(2，0，0)，B (0，2，1)，111115× 955111111直线 BC 与直线 AB 夹角的余弦值为1155.答案A12.在正四棱锥 SABCD 中，O

32、60;为顶点在底面上的射影，P 为侧棱 SD 的中点，且 SOOD，则直线 BC 与平面 PAC 所成的角是()A.30°B.45°C.60°D.90°æaaöC(a，0，0)，Pç0，  ，  ÷.22ø(2a，0，0)，APæça，a，aö÷，则CA22øCB(a，a，0)，ìïn·CA0，ìx

33、0，     解得í则  cosCB，n CB   a|·|n|  2a2·   2  ，CB又CB，n(0°，180°)，CB，n60°，解析  CD，CA   ABBD解析如图，以 O 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz.设 ODSOOAOBOCa.则 A

34、(a，0，0)，B(0，a，0)，èè设平面 PAC 的一个法向量为 n(x，y，z)，则í可取 n(0，1，1)，ïîn·AP0，îyz，·n12直线 BC 与平面 PAC 所成的角为 90°60°30°.答案A13.如图所示，二面角的棱上有 A，B 两点，直线 AC，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB.已知 AB4

35、 ， AC  6 ， BD  8 ， CD  217 ， 则 该 二 面 角 的 大 小 为_.  cos，  .CACACABD·BD|·|· cos，BD24.1CABD2BD又所求二面角与CA，互补，所求的二面角为 60°.答案60°BC，ADCPAB90

36、6;，BCCD  AD.E 为棱 AD 的中14.(2016·四川卷 )如图，在四棱锥 PABCD 中， AD12点，异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90°.(1)在平面 PAB 内找一点 M，使得直线 CM平面 PBE，并说明理由；(2)若二面角 PCDA 的大小为 45°，求直线 PA 与平面 PCE

37、0;所成角的正弦值.解(1)在梯形 ABCD 中，AB 与 CD 不平行.延长 AB，DC，相交于点 M(M平面 PAB)，点 M 即为所求的一个点.理由如下：由已知，知 BCED，且 BCED.所以四边形 BCDE 是平行四边形.从而 CMEB.又 EB 平面 PBE，CM 平面 PBE，所以 CM平面 PBE.(说明：延长 AP 至点 N，使得 APPN，则所找的点可以是直线 MN 上任意一点)(2)法一由已知，CDPA，CDAD，PAADA，所以 CD平面 PAD.从而 CDPD.所以PDA 是二面角 PCDA 的平面角.所以PDA45°.设 BC1，则在 RtPAD 中，PAAD2.过点 A 作 AHCE，交 CE