公开课垂径定理实用教案

1、问题问题(wnt) (wnt) ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗? ?它是它是13001300多年前我国隋代建多年前我国隋代建造的石拱桥造的石拱桥, , 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形圆弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中点弧的中点到弦的距离到弦的距离) )为为7.2m7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径赵州桥主桥拱的半径(bnjng)(bnjng)是是多少？多少？ 第1页/共24页第一页，共25页。

2、实践探究实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复(chngf)几次，你发现了什么？由此你能得几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？到什么结论？可以发现：可以发现：圆是轴对称图形，任何一条圆是轴对称图形，任何一条(y tio)直径所在直线直径所在直线都是它的对称轴都是它的对称轴第2页/共24页第二页，共25页。如图，如图，AB是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E（1）这个图形是轴对称图形吗？如果）这个图形是轴对称图形吗？如果(rgu)是，它的对称轴是，它的对称轴是什么？是什么？（2）你能发现图中有那些相等的

3、线段和弧？为什么？）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？OABCDE活活 动动 二二（1）是轴对称图形直径）是轴对称图形直径CD所在所在(suzi)的直线是它的对称轴的直线是它的对称轴（2） 线段线段(xindun)： AE=BE弧：，弧：，第3页/共24页第三页，共25页。垂径定理(dngl)：垂直于弦的直径垂直于弦的直径(zhjng)(zhjng)平分弦平分弦, ,且平分弦所对的两条弧且平分弦所对的两条弧. .OABCDECDAB, CD是直径是直径,AE=BE, AC =BC, AD=BD.符号语言符号语言图形图形(txng)语言语言第4页/共24页第四页，共25页。（1 1）如何

4、）如何(rh)(rh)证明？证明？OABCDE已知：如图，已知：如图，CDCD是是OO的直径的直径(zhjng)(zhjng)，ABAB为弦，且为弦，且AE=BE.AE=BE.证明：证明：连接连接OAOA，OBOB，则，则OA=OBOA=OB AE=BE AE=BE CDAB CDAB AD=BD, AD=BD, 求证：求证：CDABCDAB，且，且AD=BD,AD=BD, AC =BC AC =BC AC =BC AC =BC第5页/共24页第五页，共25页。垂径定理垂径定理(dngl)(dngl)推论推论 平分弦（不是平分弦（不是(b shi)(b shi)直径）的直径）的直径垂直于弦直径

5、垂直于弦, ,并且平分弦所对的两条并且平分弦所对的两条弧。弧。 CDAB,CDAB, CD CD是直径是直径(zhjng)(zhjng)， AE=BE AE=BE AC =BC, AC =BC,AD =BD.AD =BD.OABCDE第6页/共24页第六页，共25页。（2 2）“不是直径不是直径”这个这个(zh ge)(zh ge)条件能去条件能去掉吗？如果不能，请举出反例。掉吗？如果不能，请举出反例。 平分弦（不是平分弦（不是(b shi)(b shi)直径）的直径垂直径）的直径垂直于弦直于弦, ,并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。OABCD第7页/共24页第七页，共25页。1

6、如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离的距离(jl)为为3cm，求，求 O的半径的半径OABE练习练习(lin(linx)x)解：解：OEAB2222= 3 +4 =5cmAOOEAE答：答： O的半径的半径(bnjng)为为5cm.118422AEAB 在在Rt AOE 中中 第8页/共24页第八页，共25页。2如图，在 O中，AB、AC为互相垂直(chuzh)且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形DOABCE证明证明(zhngmng)： OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四边形四边形AD

7、OE为矩形为矩形(jxng)，又又AC=AB11 22AEAC ADAB， AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.第9页/共24页第九页，共25页。课堂课堂(ktng)讨论讨论根据已知条件进行推导：根据已知条件进行推导：过圆心过圆心垂直于弦垂直于弦 平分平分(pngfn)(pngfn)弦弦 平分平分(pngfn)(pngfn)弦所对优弧弦所对优弧 平分平分(pngfn)(pngfn)弦所对劣弧弦所对劣弧（1 1）平分弦（不是）平分弦（不是(b shi)(b shi)直径）的直径垂直于弦，并且平分直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所弦所 对的两条弧。对的两条弧。（3 3）弦的垂直平分线

8、经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（2 2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。弦所对的另一条弧。只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.第10页/共24页第十页，共25页。试一试试一试1.判断(pndun)：( )(1)垂直于弦的直线平分(pngfn)这条弦, 并且平分(pngfn) 弦所对的两条弧.( )(2)平分弦所对的一条弧的直径(zhjng)一定平分 这条弦所对的另一条弧.( )(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.( )(4)弦的垂直平分线一定平

9、分这条弦所对的弧. 第11页/共24页第十一页，共25页。1.已知P为 O内一点，且OP2cm，如果 O的半径是3cm,那么(n me)过P点的最短的弦等于.EDCBAPO2 5cm2.过过 O内一点内一点(y din)M的最长弦长为的最长弦长为4厘米，厘米，最短弦长为最短弦长为2厘米，则厘米，则OM的长是多少？的长是多少？OMA第12页/共24页第十二页，共25页。2 2、如图，点、如图，点P P是半径为是半径为5cm5cm的的OO内一点，且内一点，且OP=3cm, OP=3cm, 则过则过P P点的弦中，点的弦中，（1 1）最长的弦）最长的弦= cm= cm（2 2）最短的弦）最短的弦=

10、cm= cm（3 3）弦的长度）弦的长度(chngd)(chngd)为整数的共有（为整数的共有（ ） A A、2 2条条 b b、3 3条条 C C、4 4条条 D D、5 5条条AOCD54P3B第13页/共24页第十三页，共25页。3 3、如图，点、如图，点A A、B B是是OO上两点，上两点，AB=8,AB=8,点点P P是是OO上的动点（上的动点（P P与与A A、B B不重合）不重合）, ,连接连接(linji)AP(linji)AP、BP,BP,过点过点O O分别作分别作OEAPOEAP于于E,OFBPE,OFBP于于F,EF= F,EF= 。4第14页/共24页第十四页，共25页

11、。OABOAB 已知已知 O的半径为的半径为5厘米厘米(l m)，弦，弦AB的长为的长为8厘米厘米(l m)，求此弦的中点到这条弦所对的弧的，求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距离。中点的距离。 EEDD练习练习(lin(linx)x)第15页/共24页第十五页，共25页。1.1.过过oo内一点内一点M M的最长的弦长为的最长的弦长为1010, ,最短弦长为最短弦长为8 8, ,那那么么(n me)o(n me)o的半径是的半径是2.2.已知已知oo的弦的弦AB=6AB=6, ,直径直径CD=10CD=10, ,且且ABCD,ABCD,那么那么(n (n me)Cme)C到到ABAB的距离等

12、于的距离等于3.3.已知已知OO的弦的弦AB=4AB=4, ,圆心圆心O O到到ABAB的中点的中点(zhn din)C(zhn din)C的距离为的距离为1 1, ,那么那么OO的半径为的半径为4.4.如图如图, ,在在O O中弦中弦ABAC,ABAC,OMAB,ONAC,OMAB,ONAC,垂足分别为垂足分别为M,M,N,N,且且OM=2,0N=3,OM=2,0N=3,则则AB= ,AB= ,AC= ,OA=AC= ,OA=BAMCON51或或956413Cm第16页/共24页第十六页，共25页。归纳： 已知：直径，弦长，弦心距，拱高四者知其二，即可根据(gnj)勾股定理求出另外的两个量。

13、第17页/共24页第十七页，共25页。问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗? ?它是它是13001300多年前我国隋代建造的石拱桥多年前我国隋代建造的石拱桥, , 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离(jl)(jl)为为7.2m7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径赵州桥主桥拱的半径(bnjng)(bnjng)是是多少？多少？ 第18页/

14、共24页第十八页，共25页。解得：解得：R279（m）BODACR解决求赵州桥拱半径(bnjng)的问题在RtOAD中，由勾股定理(u dn l)，得即 R2=18.72+（R7.2）2赵州桥的主桥拱半径(bnjng)约为27.9m.OA2=AD2+OD2,7.184.372121ABADAB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2在图中如图，用如图，用 表示主桥拱，设表示主桥拱，设 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为半径为R经过圆心经过圆心O 作弦作弦AB 的垂线的垂线OC，D为垂足，为垂足，OC与与AB 相交于点相交于点D，根据前面的结论，根据前面的结论，D 是是AB 的中点

15、，的中点，C是是 的中点，的中点，CD 就是拱高就是拱高第19页/共24页第十九页，共25页。某圆直径(zhjng)是10,内有两条平行弦,长度分别为6和8求这两条平行弦间的距离.第20页/共24页第二十页，共25页。船能过拱桥船能过拱桥(gngqio)(gngqio)吗吗? ?例例3.3.如图如图, ,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥, ,桥下水面桥下水面(shu min)(shu min)宽为宽为7.27.2米米, ,拱顶高出水面拱顶高出水面(shu (shu min)2.4min)2.4米米. .现有一艘宽现有一艘宽3 3米、船舱顶部为长方形并高出水面米、船舱顶部为长方形并高出水面(

16、shu min)2(shu min)2米的货船米的货船要经过这里要经过这里, ,此货船能顺利通过这座拱桥吗？此货船能顺利通过这座拱桥吗？第21页/共24页第二十一页，共25页。船能过拱桥船能过拱桥(gngqio)(gngqio)吗吗解解: :如图如图, ,用用 表示桥拱表示桥拱, , 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O,O,半径半径为为Rm,Rm,经过圆心经过圆心O O作弦作弦ABAB的垂线的垂线OD,DOD,D为垂足为垂足, ,与与 相交相交(xingjio)(xingjio)于点于点C.C.根根据垂径定理据垂径定理,D,D是是ABAB的中点的中点,C,C是是 的中点的中点,CD,CD就是拱高就

17、是拱高. .由题设得由题设得. 5 . 121, 4 . 2, 2 . 7MNHNCDABABAD21, 6 . 32 . 721DCOCOD. 4 . 2 R在在RtOAD中，由勾股定理中，由勾股定理(u dn l)，得，得,222ODADOA.)4 . 2(6 . 3222RR即解得解得 R3.9（m）.在在RtONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,22HNONOH. 6 . 35 . 19 . 322OH即. 21 . 25 . 16 . 3DH此货船能顺利通过这座拱桥此货船能顺利通过这座拱桥.第22页/共24页第二十二页，共25页。OABC 已知已知A、B、C是是 O上三点，且上三点，且AB=AC，圆，圆心心O到到BC的距离的距离(jl)为为3厘米，圆的半径为厘米，圆的半径为5厘米，求厘米，求AB长。长。DD试一试试一试OABC第23页/共24页第二十三页，共25页。 中学数学网（群英学