线形系统的状态空间分析与综合ppt课件

1、 现代控制实际中用形状方程和输出方程描画系统，输现代控制实际中用形状方程和输出方程描画系统，输入和输出构成系统的外部变量，而形状为系统的内部变量，入和输出构成系统的外部变量，而形状为系统的内部变量，这就存在着系统内的一切形状能否可受输入影响和能否可由这就存在着系统内的一切形状能否可受输入影响和能否可由输出反映的问题，这就是可控性和可观测性问题。假设系统输出反映的问题，这就是可控性和可观测性问题。假设系统一切形状变量的运动都可以由输入来影响和控制而由恣意的一切形状变量的运动都可以由输入来影响和控制而由恣意的初态到达原点，那么称系统是可控的，或者更确切地是形状初态到达原点，那么称系统是可控的，或者

2、更确切地是形状可可控的。否那么，就称系统是不完全可控的，或简称为系统不控的。否那么，就称系统是不完全可控的，或简称为系统不可可控。相应地，假设系统一切形状变量地恣意方式的运动均可控。相应地，假设系统一切形状变量地恣意方式的运动均可由输出完全反映，那么称系统是形状可观测的，简称为系统由输出完全反映，那么称系统是形状可观测的，简称为系统可可观测。观测。二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性1 1 例：例： 给定系统的动态方程为给定系统的动态方程为 将其表示为标量方程组的方式，有将其表示为标量方程组的方式，有 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性2

3、2 1122401052xxuxx 1206xyxuxx114uxx252226xy这阐明形状变量这阐明形状变量 和和 都可经过选择控制量都可经过选择控制量 而由始点到达而由始点到达原点，因此系统完全可控。但是，输出原点，因此系统完全可控。但是，输出 只能反映形状变量只能反映形状变量 ，而与形状变量，而与形状变量 既无直接关系也无间接关系，所以系既无直接关系也无间接关系，所以系统是不完全可观测的。统是不完全可观测的。例：以下图所示网络，设例：以下图所示网络，设 ，输出，输出 。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性3 3 1x2xuy2x1x2121,CCuxux2x

4、y 当当 且初始形状且初始形状 时，那么不论时，那么不论将将输入输入 取为何种方式，对于一切取为何种方式，对于一切 ，只能是，只能是 ，不能够做到不能够做到 。也就是说，输入。也就是说，输入 可以做到使可以做到使和和 同时转移到恣意一样的目的值，但不能将同时转移到恣意一样的目的值，但不能将 和和 分别分别转移到不同的目的值。这阐明此电路不完全可控，简称电路转移到不同的目的值。这阐明此电路不完全可控，简称电路不可控。由于不可控。由于 ，故系统可观测。，故系统可观测。1、可控性、可控性 思索线性时变系统的形状方程思索线性时变系统的形状方程 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观

5、测性4 4 2121,CCRR)()(0201txtxu0tt )()(21txtx)()(21txtx21xxyu2x1x1x2x),()()()()(TutBtxtAtxtTt其中其中 为为 维形状向量；维形状向量； 为为 维输入向量；维输入向量； 为时间定义为时间定义区间；区间； 和和 分别为分别为 和和 矩阵。现对形状矩阵。现对形状可控、系统可控和不可控分别定义如下：可控、系统可控和不可控分别定义如下： 形状可控：形状可控： 对于上式所示线性时变系统，假设对取定对于上式所示线性时变系统，假设对取定初始时辰初始时辰 的一个非零初始形状的一个非零初始形状 ，存在一个，存在一个时辰时辰 和一

6、个无约束的允许控制和一个无约束的允许控制 ，使形状由使形状由 转移到转移到 时的时的 ，那么称此，那么称此 是是在在 时辰可控的。时辰可控的。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性5 5 xnuptT)(tA)(tBnnpn tTt 000)(xtx011,ttTtt10,),(ttttu00)(xtx1t0)(1tx0 x0t 系统可控：系统可控： 对于上式所示线性时变系统，假设形状空对于上式所示线性时变系统，假设形状空间中的一切非零形状都是在间中的一切非零形状都是在 时辰可控的，那么称时辰可控的，那么称系系统在统在 时辰是完全可控的，简称系统在时辰是完全可控的，简

7、称系统在 时辰可控。假设系时辰可控。假设系统统在一切时辰都是可控的，那么称系统是一致可控的。在一切时辰都是可控的，那么称系统是一致可控的。 系统不完全可控：系统不完全可控： 对于上式所示线性时变系统，取定对于上式所示线性时变系统，取定初始时辰初始时辰 ，假设形状空间中存在一个或一些非零状，假设形状空间中存在一个或一些非零状态在态在 时辰是不可控的，那么称系统在时辰是不可控的，那么称系统在 时辰是不完全可控时辰是不完全可控的，的，也称为系统是不可控的。也称为系统是不可控的。 可控性是表征系统形状运动的一个定性特性。可控性是表征系统形状运动的一个定性特性。 必需必需是允许控制，即是允许控制，即 的

8、每个分量均在时间的每个分量均在时间 区间上平方可区间上平方可积，即积，即 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性6 6 )(00tTtt0t0ttTt 00t0t)(tu)(tutT02( ),titu tdt tTtt, 0此外，对于线性时变系统，其可控性与初始时辰此外，对于线性时变系统，其可控性与初始时辰 的选取有的选取有关，是相对于关，是相对于 中的一个取定时辰来定义的。而对于线性定中的一个取定时辰来定义的。而对于线性定常系统，其可控性与初始时辰常系统，其可控性与初始时辰 的选取无关。的选取无关。 形状与系统可达：形状与系统可达： 假设存在能将形状假设存在能将形状

9、 转移到转移到 的控制造用，那么称形状的控制造用，那么称形状 是是 时辰可达的。时辰可达的。假设假设 对一切时辰都是可达的，那么称形状对一切时辰都是可达的，那么称形状 为完全可达或为完全可达或一一致可达。假设系统对于形状空间中的每一个形状都是致可达。假设系统对于形状空间中的每一个形状都是 时辰时辰可可达的，那么称该系统是达的，那么称该系统是 时辰形状完全可达的，或简称该系时辰形状完全可达的，或简称该系统统是是 时辰可达的。时辰可达的。 对于线性定常延续系统，可控性与可达性是等价的。但对于线性定常延续系统，可控性与可达性是等价的。但对于离散系统和时变系统，严厉地说两者是不等价的。对于离散系统和时

10、变系统，严厉地说两者是不等价的。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性7 7 0ttT0t0)(0txffxtx)(fx0tfxfx0t0t0t2 2、可观测性、可观测性 可观测性表征形状可由输出完全反映的性能，所以可观测性表征形状可由输出完全反映的性能，所以应同时考应同时考虑系统的形状方程和输出方程虑系统的形状方程和输出方程 其中，其中， 分别为分别为的满足形状方程解的存在独一性条件的时变矩阵。的满足形状方程解的存在独一性条件的时变矩阵。形状方程形状方程的解为的解为 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性8 8 tTttutBtxtAtx),

11、()()()()( 00)(),()()()()(xtxtutDtxtCty)()(),(),(tDtCtBtA和)()(),(),(pqnqpnnn和ttduBtxtttx0)()(),(),()(00其中其中 为系统的形状转移矩阵。将上式代入输出方程，为系统的形状转移矩阵。将上式代入输出方程，可得输出呼应为可得输出呼应为假设定义假设定义 那么输出呼应可写为那么输出呼应可写为 这阐明可观测性即是这阐明可观测性即是 可由可由 完全估计的性能。由于完全估计的性能。由于 和和可取恣意值，所以这又等价于研讨可取恣意值，所以这又等价于研讨 时由时由 来估计来估计 的的能够性，即研讨零输入方程能够性，即

12、研讨零输入方程 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性9 9 ),(0tt)()()()(),()(),()()(00tutDduBttCxtttCty)()()()(),()()()(tutDduBttCtyty00),()()(xtttCtyy0 x0uy0 xy0 x的可观测性。输出呼应成为的可观测性。输出呼应成为下面给出系统可观测性的有关定义。下面给出系统可观测性的有关定义。 系统完全可观测：对于线性时变系统，假设取定初始时辰系统完全可观测：对于线性时变系统，假设取定初始时辰 ，存在一个有限时辰，存在一个有限时辰 ，对于一切，对于一切 ，系统的输出系统的输出 能

13、独一确定形状向量能独一确定形状向量 的初值，那么称系统的初值，那么称系统在在 内是完全可观测的，简称可观测。假设对于一切内是完全可观测的，简称可观测。假设对于一切系统都是可观测的，那么称系统在系统都是可观测的，那么称系统在 内完全可观测。内完全可观测。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性10 10 tTttxtxtxtAtx,)(),()()(000)()()(txtCty00),()()(xtttCtytTt 0011,ttTtt10,ttt)(ty)(0tx10,tt01tt ,0t 系统不可观测：系统不可观测： 对于线性时变系统，假设取定初始时对于线性时变系统

14、，假设取定初始时刻刻 ，存在一个有限时辰，存在一个有限时辰 ，对于一切，对于一切 ，系统的输出系统的输出 不能独一确定一切形状不能独一确定一切形状 的的初值，即至少有一个形状的初值不能被初值，即至少有一个形状的初值不能被 确定，那么称系统确定，那么称系统在在时间区间时间区间 内是不完全可观测的，简称不可观测。内是不完全可观测的，简称不可观测。3、线性定常延续系统的可控性判据、线性定常延续系统的可控性判据 思索线性定常延续系统的形状方程思索线性定常延续系统的形状方程 其中其中 为为 维形状向量；维形状向量； 为为 维输入向量；维输入向量； 和和 分别为分别为 和和 常阵。常阵。 二、二、 线性系

15、统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性11 11 tTt 0011,ttTtt10,ttt)(tynitxi, 2 , 1),(0)(ty10,tt0,)0(),()()(0txxtButAxtx xupnAB)(nn ()np下面根据下面根据 和和 给出系统可控性的常用判据。给出系统可控性的常用判据。 格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据 线性定常延续系统完全可控的充分必线性定常延续系统完全可控的充分必要条件是，存在时辰要条件是，存在时辰 ，使如下定义的格拉姆矩阵：，使如下定义的格拉姆矩阵：为非奇特。为非奇特。 格拉姆矩阵判据主要用于实际分析。线性定常延续系统格拉姆矩阵判据主要用于实际分析。

16、线性定常延续系统可控性的常用判据是直接由矩阵可控性的常用判据是直接由矩阵 和和 判别可控性的秩判据。判别可控性的秩判据。 凯莱哈密顿定理凯莱哈密顿定理 设阶矩阵的特征多项式为设阶矩阵的特征多项式为 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性12 12 AB01tdteBBetWtATAtT), 0(1AB0111)(aaaAIfnnn那么那么 满足其特征方程，即满足其特征方程，即推论推论1 矩阵矩阵 的的 次幂可表示为次幂可表示为 的的 阶多项式阶多项式推论推论2 矩阵指数矩阵指数 可表示为可表示为 的的 阶多项式阶多项式 秩判据秩判据 线性定常延续系统完全可控的充分必要条

17、件是线性定常延续系统完全可控的充分必要条件是其中其中 为矩阵为矩阵 的维数，的维数， 称为系统的称为系统的可控性判别阵。可控性判别阵。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性13 13 A0)(0111IaAaAaAAfnnn)(nkk) 1( nAA10nmmmkAaAAte) 1( nA10)(nmmmAtAtaenBAABBrankn1nABAABBSn 1例：例： 桥式网络如下图，试用可控性判据判别其可控性。桥式网络如下图，试用可控性判据判别其可控性。解：解： 该桥式电路的微分方程为该桥式电路的微分方程为选取形状变量选取形状变量 ，消去消去 ，可得形状方程，可得

18、形状方程 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性14 14 uiRiRdtdiLiRuciRiRuciRiiiiiLL3311221133444321CLuxix21,4321,iiii其可控性矩阵为其可控性矩阵为 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性15 15 uLxRRRRRRLxRRRRRRRRLx1112433211143432121124321143421221111xRRRRCxRRRRRRCx2124344343212121011RRRRRRLCRRRRRRRRLLAbbS当当 时，时， ，系统可控。，系统可控。当电桥处于平衡形状

19、，即当电桥处于平衡形状，即 时，时，及及 成立，这时形状方程变为成立，这时形状方程变为 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性16 16 212434RRRRRRnrankS 23241RRRR433211RRRRRR434212RRRRRRuLxRRRRRRRRLx111434321211243212111xRRRRCx可控性矩阵为可控性矩阵为 ，系统不可控，系统不可控， 不能控制不能控制 ， 是不可控是不可控形状变量。形状变量。例：例： 判别以下系统的可控性：判别以下系统的可控性： 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性17 17 00114

20、34321212RRRRRRRRLLAbbSnrankS1u2x2x21321321111112310020231uuxxxxxx解解 可控性判别矩阵为可控性判别矩阵为显见矩阵的第二行与第三行线性相关，显见矩阵的第二行与第三行线性相关， ，系统，系统不可控。不可控。 PBH秩判据秩判据 线性定常延续系统完全可控的充分必要条线性定常延续系统完全可控的充分必要条件是，对矩阵件是，对矩阵 的一切特征值的一切特征值 ，均成立，或等价地表示为均成立，或等价地表示为即即 和和 是左互质的。是左互质的。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性18 18 442211442211452

21、3122BAABBS32rankS), 2 , 1(niiA; nBArankini, 2 , 1CsnBAsIrank,)(AsI B由于这一判据是由波波夫和贝尔维奇首先提出，并由豪塔斯由于这一判据是由波波夫和贝尔维奇首先提出，并由豪塔斯最先指出其可广泛运用性，故称为最先指出其可广泛运用性，故称为PBH秩判据。秩判据。例：例： 知线性定常系统的形状方程为知线性定常系统的形状方程为 试判别系统的可控性。试判别系统的可控性。解：解： 根据形状方程可写出根据形状方程可写出 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性19 19 ,021001100500100001000010u

22、xx4n思索到思索到 的特征值为的特征值为 ，所以只，所以只需对它们来检验上述矩阵的秩。经过计算知，当需对它们来检验上述矩阵的秩。经过计算知，当时，有时，有 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性2020 02500101000101010001ssssBAsI5, 5, 04321A021s42050010010100001rankBAsIrank当当 时，有时，有当当 时，有时，有计算结果阐明，系统完全可控。计算结果阐明，系统完全可控。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性21 21 53s40200100001501015rankBAsI

23、rank54s40200100001501015rankBAsIrank PBH特征向量判据特征向量判据 线性定常延续系统完全可控的充分线性定常延续系统完全可控的充分必要条件是，必要条件是， 不能有与不能有与 的一切列相正交的非零左特征向的一切列相正交的非零左特征向量。即量。即 对的任一特征值对的任一特征值 ，使同时满足，使同时满足 的特征向量的特征向量 。 普通地说，普通地说，PBH特征向量判据主要用于实际分析中，特特征向量判据主要用于实际分析中，特别是线性系统的复频域分析中。别是线性系统的复频域分析中。 约当规范型判据约当规范型判据 线性定常延续系统完全可控的充分必要线性定常延续系统完全可

24、控的充分必要条件分两种情况：条件分两种情况：1矩阵矩阵 的特征值的特征值 是两两相异的。是两两相异的。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性2222 ABiA,TiTA0BT0n,21A由线性变换可将形状方程变为对角线规范型由线性变换可将形状方程变为对角线规范型那么系统完全可控的充分必要条件是，在上式中，不包含元那么系统完全可控的充分必要条件是，在上式中，不包含元素素全为零的行。全为零的行。 2矩阵的特征值为矩阵的特征值为 ，且，且 。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性2323 uBxxn21)(,),(),(2211重重重llnl21由

25、线性变换化为约当规范型由线性变换化为约当规范型其中其中 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性2424 uBxAxlpnlnnBBBBJJJA,21)(21)(,21)(1iiiJiaJJJiiiiiaiipiBBBB21)(而而 ，由，由 的最后一的最后一行所组成的矩阵行所组成的矩阵对对 均为行线性无关。均为行线性无关。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性2525 rikikikprikiiirrikbbbBJikikik,11121)()(iiaiiirrr)(21), 2 , 1(ikikBiiririribbbB21li, 2 , 1

26、4 4、输出可控性、输出可控性 假设系统需求控制的是输出量而不是形状，那么需假设系统需求控制的是输出量而不是形状，那么需研讨系统的研讨系统的输出可控性。输出可控性。 输出可控性：输出可控性： 假设在有限时间间隔假设在有限时间间隔 内，存在无约束内，存在无约束分段延续控制函数分段延续控制函数 ，能使恣意初，能使恣意初始输出始输出 转转移到恣意最终输出移到恣意最终输出 ，那么称此系统是输出完，那么称此系统是输出完全可控，简称全可控，简称输出可控。输出可控。 输出可控性判据输出可控性判据 设线性定常延续系统的形状设线性定常延续系统的形状方程和输方程和输出方程为出方程为 二、二、 线性系统的可控性与可

27、观测性线性系统的可控性与可观测性2626 10,tt10,),(ttttu)(0ty)(1ty10, 0,)0(,ttxxBuAxxDuCxy式中，式中， 为为 维输入向量；维输入向量； 为为 维输出向量；维输出向量； 为为 维形状维形状向量。形状方程的解为向量。形状方程的解为 那么输出那么输出不失普通性，令不失普通性，令 ，有，有 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性2727 upyqxn10)(01, 0,)()(111ttdttBuexetxtttAAt)()()(10)(01111tDudttBueCxCetytttAAt0)(1ty 1001010110)(

28、011111)()()()()()()(nmtmmtnmmmtttAAttDudttutBACtDudttBuAtCtDudteCxCe令令 ，那么，那么 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性2828 101)()()(tmmdttuttu10110)()(1nmmmAttDutBuACxCe)()()()(11111110tDutBuCAtCAButCBunn)()()()(11111101tutututuDBCACABCBnn令令 为为 矩阵，称为输出一矩阵。输出可控的充矩阵，称为输出一矩阵。输出可控的充分必要条件是，输出可控性矩阵的秩等于输出变量的维数分必要条件

29、是，输出可控性矩阵的秩等于输出变量的维数 ，即即 留意：形状可控性与输出可控性是两个不同的概念，二者没留意：形状可控性与输出可控性是两个不同的概念，二者没 有什么必然的联络。有什么必然的联络。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性2929 DBCACABCBSn 100Spnq) 1( qqrankS 0例：例： 知系统的形状方程和输出方程为知系统的形状方程和输出方程为试判别系统的形状可控性和输出可控性。试判别系统的形状可控性和输出可控性。解：解： 系统的形状可控性矩阵为系统的形状可控性矩阵为 ，故形状不完全可控。，故形状不完全可控。 二、二、 线性系统的可控性与可观

30、测性线性系统的可控性与可观测性3030 uxx112110 xy011111ABBS2, 0rankSS输出可控性矩阵为输出可控性矩阵为 ，输出可控。，输出可控。 5、线性定常延续系统的可观测性判据、线性定常延续系统的可观测性判据 思索输入思索输入 时系统的形状方程和输出方程时系统的形状方程和输出方程 其中，其中， 为为 维形状向量；维形状向量； 为为 维输出向量；维输出向量； 和和 分别为分别为 和和 的常值矩阵。的常值矩阵。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性31 31 0110DCABCBSqrankS100uCxytxxAxx, 0,)0(,0yqxnACn

31、n nq 格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据 线性定常延续系统完全可观测的充分线性定常延续系统完全可观测的充分必要条件是，存在有限时辰必要条件是，存在有限时辰 ，使如下定义的格拉姆矩，使如下定义的格拉姆矩阵：阵：为非奇特。为非奇特。 秩判据秩判据 线性定常延续系统完全可观测的充分必要条件线性定常延续系统完全可观测的充分必要条件是是 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性3232 01tdtCeCetMAtTttAT101), 0(nCACACrankn1或或上两式中的矩阵均称为系统可观测性判别阵，简称可观测性阵。上两式中的矩阵均称为系统可观测性判别阵，简称可观测性阵。例：例：

32、 判别以下系统的可观测性：判别以下系统的可观测性： 1 2 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性3333 nCACACACrankTnTTTTTT12)()(,BuAxxCxy 01,13,1002CBA1101,0112,1111CBA解：解：1故系统不可观测。故系统不可观测。2故系统可观测。故系统可观测。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性3434 , 21, 10021nrankVranCACrankrankVTTT11102,2,0112TTTrankVrank CA CrankrankVn PHB秩判据秩判据 线性定常延续系统完全

33、可观测的充分必要条线性定常延续系统完全可观测的充分必要条件是，对矩阵件是，对矩阵 的一切特征值的一切特征值 ，均有，均有或等价地表示为或等价地表示为也即也即 和和 是右互质的。是右互质的。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性3535 ), 2 , 1(niiAninAICranki, 2 , 1;CsnAsICrank,)(AsI C PBH特征向量判据特征向量判据 线性定常延续系统完全可观测的充线性定常延续系统完全可观测的充分必要条件是，分必要条件是， 没有与没有与 的一切行相正交的非零右特征向的一切行相正交的非零右特征向量。即对量。即对 的任一特征值的任一特征值

34、 ，使同时满足，使同时满足的特征向量的特征向量 。 约当规范型判据约当规范型判据 线性定常延续系统完全可观测的充分线性定常延续系统完全可观测的充分必要条件分两种情况：必要条件分两种情况： 1当矩阵当矩阵 的特征值的特征值 两两相异时，由线性变换两两相异时，由线性变换导出的对角线规范型为导出的对角线规范型为 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性3636 0,sAi), 2 , 1(niiACA0n,21AxCyxxn,21式中式中 不包含元素全为零的列。不包含元素全为零的列。 2当当 矩阵的特征值为矩阵的特征值为 ，且，且 时，对原式进展线性变换导出的约当时，对原式进展

35、线性变换导出的约当规范型为规范型为 其中其中 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性3737 C)(,),(),(2211重重重llAnl21xCyxAx, lnqlnnCCCCJJJA,21)(21)(二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性3838 ,21)(iiiiiiiJJJJiiiiiqiCCCC21)(li, 2 , 1rikikikrqikiiirrikCCCCJikikik;11121)(1)(且且 ，由，由 的第一的第一列所组成的矩阵列所组成的矩阵对对 均为列线性无关。均为列线性无关。 例：知线性定常系统的对角线规范型为例：知线性

36、定常系统的对角线规范型为试断定系统的可观测性。试断定系统的可观测性。解：解： 显然，此规范型中显然，此规范型中 不包含元素全为零的列，故系统不包含元素全为零的列，故系统 为完全可观测。为完全可观测。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性3939 iiaiiirrr)(21), 2 , 1(ikikCiiiiiCCCC12111li, 2 , 1xyxx320001,200010008C6 6、线性离散系统的可控性和可观测性、线性离散系统的可控性和可观测性 1 1线性离散系统的可控性和可达性线性离散系统的可控性和可达性 设线性时变离散时间系统的形状方程为设线性时变离散时

37、间系统的形状方程为 其中其中 为离散时间定义区间。假设对初始时辰为离散时间定义区间。假设对初始时辰 和形状和形状空间中的一切非零形状空间中的一切非零形状 ，都存在时，都存在时辰辰 ，和，和对应的控制对应的控制 ，使得，使得 ，那么称系，那么称系统在时辰统在时辰 为完为完全可控。对应地，假设对初始时辰全可控。对应地，假设对初始时辰 和初始和初始形状形状 ，存在时辰存在时辰 和相应的控制和相应的控制 ，使，使 可为形状可为形状空间中的恣意非零点，那么称系统在时辰空间中的恣意非零点，那么称系统在时辰 为完全为完全可达。可达。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性4040 k

38、TkkukHkxkGkx),()()()() 1(kTkTl)(lxlmTmk,)(ku0)(mxlkTl0)(lxlmTmk,)(ku)(mxl 对于离散系统，不论是时变的还是定常的，其可控性和对于离散系统，不论是时变的还是定常的，其可控性和可达性只需在一定条件下才是等价的。其等价的条件分别为可达性只需在一定条件下才是等价的。其等价的条件分别为1线性离散时间系统的可控性和可达性为等价的充分必要线性离散时间系统的可控性和可达性为等价的充分必要 条件是，系统矩阵条件是，系统矩阵 对一切对一切 为非奇特；为非奇特；2线性定常离散时间系统线性定常离散时间系统 可控性和可达性等价的充分必要条件是系统矩

39、阵可控性和可达性等价的充分必要条件是系统矩阵 为非奇特。为非奇特。3假设离散时间系统是相应延续时间系统的时间离散化模假设离散时间系统是相应延续时间系统的时间离散化模型，那么其可控性和可达性必是等价的。型，那么其可控性和可达性必是等价的。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性41 41 )(kG1,mlk, 2 , 1 , 0);()() 1(kkHukGxkxG 线性定常离散系统的可控性判据线性定常离散系统的可控性判据 设单输入线性定常离设单输入线性定常离散系统的形状方程为散系统的形状方程为其中其中 为为 维形状向量；维形状向量； 为标量输入；为标量输入； 为为 非奇

40、特非奇特矩阵。形状方程的解为矩阵。形状方程的解为根据可控性定义，假定根据可控性定义，假定 时，时， ，将上式两端左，将上式两端左乘乘 ，那么有，那么有 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性4242 )()() 1(khukGxkxxnuG)(nn 101)()0()(kiikkihuGxGkxnk 0)(nxnG)()0(101ihuGxnii) 1() 1 ()0(21nhuGhuGhuGn记记 称称 为为 可控性矩阵。由线性方程组解的存在定理可可控性矩阵。由线性方程组解的存在定理可知，当矩阵知，当矩阵 的秩与增广矩阵的秩与增广矩阵 的秩相等时，方的秩相等时，方程组

41、有解且为独一解，否那么无解。在程组有解且为独一解，否那么无解。在 为恣意的情况为恣意的情况下，下，使方程线有解的充分必要条件是矩阵使方程线有解的充分必要条件是矩阵 满秩，即满秩，即 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性4343 ) 1() 1 ()0(21nuuuhGhGhGnhGhGhGSn2111S)(nn )0(1xS1S)0(x1SnSrank1或矩阵或矩阵 的行列式不为零的行列式不为零 或矩阵或矩阵 是非奇特的。是非奇特的。 由于满秩矩阵与另一满秩矩阵由于满秩矩阵与另一满秩矩阵 相乘其秩不变，故相乘其秩不变，故交换矩阵的列，且记为交换矩阵的列，且记为 ，其秩

42、也不变，故有，其秩也不变，故有在判别系统的可控性时，运用上式比较方便。在判别系统的可控性时，运用上式比较方便。上面四式即为可控性判据。上面四式即为可控性判据。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性4444 1S1S0det1SnG11SGrankSranknnhGhhGrankn11SnhGGhhrankrankSn11 当当 时，系统不可控，表示不存在使恣意时，系统不可控，表示不存在使恣意转移至转移至 的控制。的控制。 以上研讨了终态为以上研讨了终态为 的情况，假设令终态为恣的情况，假设令终态为恣意意给定形状给定形状 ，那么形状方程的解变为，那么形状方程的解变为 将

43、上式两端左乘将上式两端左乘 ，有，有 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性4545 nrankS 1)0(x0)(nx)(nx0)(nx101)()()0(niinnihuGnxxGnG) 1() 1 ()0()()0(21nuuuhGhGhGnxGxnn当当 满秩时，前式左端只不过是任一给定的另一初态，其状满秩时，前式左端只不过是任一给定的另一初态，其状态可控性条件可用以上推导方法得出完全一样的结论。假设态可控性条件可用以上推导方法得出完全一样的结论。假设令令 ，上述结论同样成立。可见，当，上述结论同样成立。可见，当 为非奇特阵时，为非奇特阵时，系统的可控性和可达性

44、是等价的。系统的可控性和可达性是等价的。上述研讨单输入离散系统可控性的方法可推行到多输入系统。上述研讨单输入离散系统可控性的方法可推行到多输入系统。设系统的形状方程为设系统的形状方程为 所谓可控性问题，即是能否求出无约束控制向量序列所谓可控性问题，即是能否求出无约束控制向量序列 ，使，使 系统能从恣意初态系统能从恣意初态 转移至转移至 。上式的解为。上式的解为 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性4646 G0)0(xG)()() 1(kHukGxkx) 1(,),1 (),0(nuuu0)(nx)0(x)()0()(101iHuGxGkxkiikk令令 ，且方程两端

45、左乘，且方程两端左乘 ，有，有 记记 为为 矩阵，由子列向量矩阵，由子列向量 构成的控构成的控制列向量是制列向量是 维的。上式含维的。上式含 个方程，但有个方程，但有 个待求的控个待求的控制量。制量。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性4747 0)(,nxnknG) 1() 1 ()0()()0(21101nHuGHuGHuGiHuGxnnii)1()1()0(21nuuuHGHGHGnHGHGHGSn212)(npn ) 1(,),1 (),0(nuuunpnpn由于初态由于初态 可恣意给定，根据解存在定理，矩阵可恣意给定，根据解存在定理，矩阵 的秩的秩为为 时

46、，方程组才有解。于是多输入线性离散系统形状可时，方程组才有解。于是多输入线性离散系统形状可控的充分必要条件是控的充分必要条件是或或或或或或或或二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性4848 )0(x2SnnSrank2nHGHHGrankSGrankSranknn122nHGGHHrankSrankn120det22TSSnSrankST22例：例： 双输入线性定常离散系统的形状方程为双输入线性定常离散系统的形状方程为试判别可控性，并研讨使试判别可控性，并研讨使 的能够性。的能够性。解：解： 显然，由前三列组成的矩阵的行列式不为零，故系显然，由前三列组成的矩阵的行列式不

47、为零，故系统可控。统可控。二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性4949 )()() 1(kHukGxkx,041020122G011000H0) 1 (x101400140201042210022HGGHHS一定能求得控制序列使系统由恣意初始形状三步内转移到原点。一定能求得控制序列使系统由恣意初始形状三步内转移到原点。 由由 可得可得设初始形状为设初始形状为 ，由于，由于 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性5050 0)0()0() 1 (HuGxx)0()0(3221021)0()0(0110002310210120)0()0(21211

48、uuuuHuGxTx201)0(233202101213221021rankrank可求得可求得 ，在一步内使系统由初始形状转移，在一步内使系统由初始形状转移到原点。设初始形状到原点。设初始形状 ，也可使系统在，也可使系统在一步内由初始形状转移到原点，但一步内由初始形状转移到原点，但 。本例。本例不能使系统由恣意初始形状一步内转移到原点。不能使系统由恣意初始形状一步内转移到原点。2线性离散系统的可观测性线性离散系统的可观测性 设离散系统为设离散系统为 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性51 51 0)0(, 1)0(21uuTx3212)0(1) 0(, 0) 0(

49、21uukTkkukHkxkGkx),()()()() 1()()()()()(kukDkxkCky假设对初始时辰假设对初始时辰 的任一非零初始形状的任一非零初始形状 ，都存，都存在在有限时辰有限时辰 ，且可由，且可由 上的输出上的输出 独一地独一地确定确定 ，那么称系统在时辰，那么称系统在时辰 是完全可观测的。是完全可观测的。 线性定常离散系统的可观测性判据线性定常离散系统的可观测性判据 设线性定常离散系设线性定常离散系统的动态方程为统的动态方程为其中其中 为为 维形状向量，维形状向量， 为为 维输出向量，其解为维输出向量，其解为 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测

50、性5252 kTl0)(xlxlmTmk,ml,)(ky0 xl)()()(),()() 1(kDukCxkykHukGxkx)(kxnq)(ky101)()0()(kiikkiHuGxGkx101)()()0()(kiikkkDuiHuGCxCGky研讨可观测性问题时，研讨可观测性问题时， 均为知，故不失均为知，故不失普通性，可将动态方程简化为普通性，可将动态方程简化为 对应的解为对应的解为 将将 写成展开式写成展开式 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性5353 DCHGku,),()()(),() 1(kCxkykGxkx)0()(),0()(xCGkyxGkx

51、kk)(ky)0() 1()0() 1 ()0()0(1xCGnyCGxyCxyn其向量矩阵方式为其向量矩阵方式为 令令 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性5454 )0()0()0() 1() 1 ()0(211nnxxxCGCGCnyyy11nTCGCGCV 称为线性定常离散系统的可观测性矩阵，为称为线性定常离散系统的可观测性矩阵，为 矩阵。矩阵。系统可观充分必要条件为系统可观充分必要条件为由于由于 ，故线性定常离散系统的可观测性判，故线性定常离散系统的可观测性判据常表示为据常表示为 3延续动态方程离散化后的可控性和可观测性延续动态方程离散化后的可控性和可观测性

52、 一个可控的或可观测的延续系统，当其离散化后并不一定能一个可控的或可观测的延续系统，当其离散化后并不一定能坚持其可控性或可观测性。现举例来阐明。坚持其可控性或可观测性。现举例来阐明。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性5555 TV1)(nnqnrankVT111rankVrankVTnCCCGCrankrankVTnTTTT11)( 设延续系统动态方程为设延续系统动态方程为 由于系统的形状方程为可控规范型，故一定可控。根据可观由于系统的形状方程为可控规范型，故一定可控。根据可观测性判据有测性判据有故系统可观测。故系统可观测。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线

53、性系统的可控性与可观测性5656 ,1001021221uxxxx2101xxynrankrankV210011系统的形状转移矩阵为系统的形状转移矩阵为 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性5757 12222111122222211( )()sssstLsIALLssss ttdbdtGttsincos1cossin)()(200sincossincostttt系统离散化后的形状方程为系统离散化后的形状方程为 离散化后系统的可控性矩阵为离散化后系统的可控性矩阵为 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性5858 )()()()() 1(kuTG

54、kxTkx2121 cossin( )cos( )( )sinsincosTTx kTu kx kTTTTTTTTTTTTGTTGSsincossin2sinsincoscoscos1)()()(22221离散化后系统的可观测性矩阵为离散化后系统的可观测性矩阵为当采样周期时当采样周期时 ，可控性矩阵，可控性矩阵 和可观测性和可观测性矩阵矩阵 均出现零行，均出现零行， ，系统不可，系统不可控也不可观测。这阐明延续系统可控或可观测时，假设采样控也不可观测。这阐明延续系统可控或可观测时，假设采样周周期选择不当，对应的离散化系统便有能够不可控或不可观测，期选择不当，对应的离散化系统便有能够不可控或不可

55、观测，也有能够既不可控又不可观测。假设延续系统不可控或不可也有能够既不可控又不可观测。假设延续系统不可控或不可观观测，不论采样周期测，不论采样周期 如何选择，离散化后的系一致定是不可如何选择，离散化后的系一致定是不可控或不可观测的。控或不可观测的。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性5959 TTCTCVTTTsin0cos1)(1), 2 , 1(kkT1S1VnrankVnrankS1,111T1 1、形状空间表达式的线性变换、形状空间表达式的线性变换 设系统动态方程为设系统动态方程为 令令 式中式中 为非奇特线性变换矩阵，它将为非奇特线性变换矩阵，它将 变换变

56、换为为 ，变换后，变换后的动态方程为的动态方程为式中式中并称为对系统进展变换。线性变换的目的在于使并称为对系统进展变换。线性变换的目的在于使 阵规范化，阵规范化，并不会改动系统的原有性质，故称为等价变换。分并不会改动系统的原有性质，故称为等价变换。分析计算后，析计算后，再引入反变换关系再引入反变换关系 ，得出最终结果。，得出最终结果。 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换1 1 cxybuAxx,xPx PxxyxcyubxAx,cPcbPbAPPA11,AxPx1下面概括给出本章中常用的几种线性变换关系。下面概括给出本章中常用的几种线性变换关系。 1化阵为对角型化阵为对角型

57、 1设设 阵为恣意方式的方阵，且有阵为恣意方式的方阵，且有 个互异实数特征个互异实数特征值值 ，那么可由非奇特线性变换化为对角，那么可由非奇特线性变换化为对角阵阵 。 阵由阵由 阵的实数特征向量阵的实数特征向量 组成组成 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换2 2 n,21AnnAPP111P), 2 , 1(nipiAnpppP21特征向量满足特征向量满足2假设假设 阵为友矩阵，且有阵为友矩阵，且有 个互异实数特征个互异实数特征值值 ，那么以下的范德蒙特那么以下的范德蒙特 矩阵矩阵 可使可使 对角化：对角化： 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换3 3 n

58、ipApiii, 2 , 1n,21An(mod )VanderePA1121122221211210111,100001000010nnnnnnnPaaaaA3设设 阵具有阵具有 重实数特征值重实数特征值 ，其他为，其他为 个互异个互异实数特征值，但在求解实数特征值，但在求解 时仍有时仍有 个个独立实特征向量独立实特征向量 ，那么仍可使，那么仍可使 阵化为对角阵化为对角阵阵 。 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换4 4 Am1)(mn ), 2 , 1(1mipApiimmppp,21A111100nnP AP nmmpppppP121nmAPPJ010111111式中式

59、中 是互异实数特征值对应的实特征向量。是互异实数特征值对应的实特征向量。2化化 阵为约当阵阵为约当阵1设设 阵具有阵具有 重实特征值重实特征值 ，其他为，其他为 个互异实特个互异实特征值，但在求解征值，但在求解 时只需一个独立实特征向量时只需一个独立实特征向量 ， 只能化为约当阵只能化为约当阵 。 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换5 5 nmmppp,21Am1)(mn iipAp11pAJA 中虚线示出存在一个约当块。中虚线示出存在一个约当块。式中式中 是广义实特征向量，满足是广义实特征向量，满足 是互异特征值对应的实特征向量。是互异特征值对应的实特征向量。 三、三、

60、线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换6 6 JnmmpppppP121mppp,32mmpppAppp211112111nmpp,12设设 为友矩阵，具有为友矩阵，具有 重实特征值重实特征值 ，且只需一个独立，且只需一个独立实特征向量实特征向量 ，那么使，那么使 约当化的约当化的 为为式中式中3设设 阵具有五重实特征值阵具有五重实特征值 ，但有两个独立实特征向量，但有两个独立实特征向量 ，其他为，其他为 个互异实特征值，个互异实特征值， 阵约当化的可阵约当化的可能方式是能方式是 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换7 7 mA11pAPnmnnppppppP11111