2016年考研数学二真题与解析

1、page 1 of 10 2016 年考研数学二真题与解析一、选择题18 小题每小题 4 分，共 32 分当0 x时，若)(lnx21，11)cos(x均是比x高阶的无穷小，则的可能取值范围是（）（a）),(2（b）),( 21（c）),(121（d）),(210【详解 】xx221)(ln， 是阶无穷小，211211xx)cos(是2阶无穷小， 由题意可知121所以的可能取值范围是),( 21，应该选（ b） 2下列曲线有渐近线的是（a）xxysin（b）xxysin2（c）xxy1sin（ d）xxy12sin【详解 】对于xxy1sin，可知1xyxlim且01xxyxxsinlim)(

2、lim，所以有斜渐近线xy应该选（ c）3设函数)(xf具有二阶导数，xfxfxg)()()(110，则在,10上（）（a）当0)( xf时，)()(xgxf（b）当0)( xf时，)()(xgxf（c）当0)(xf时，)()(xgxf（d）当0)(xf时，)()(xgxf【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法【详解 1】如果对曲线在区间,ba上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断显然xfxfxg)()()(110就是联接)(,(),(,(1100ff两点的直线方程故当0)(xf时， 曲线是凹的，也就是)()(xgxf， 应该选（ d）【详解 2】如果对曲线在区间,ba上凹凸的定义

3、不熟悉的话，可令xfxfxfxgxfxf)()()()()()(110，则010)()(ff，且)()(xfxf，故当0)( xf时， 曲线是凹的，从而010)()()(ffxf，即0)()()(xgxfxf，也就是page 2 of 10 )()(xgxf，应该选（ d）4曲线14722ttytx,上对应于1t的点处的曲率半径是（）（）5010（）10010(）1010（）105【详解 】 曲线在点)(,(xfx处的曲率公式321)(yyk，曲率半径kr1本题中422tdtdytdtdx,，所以tttdxdy21242，3222122tttdxyd，对应于1t的点处13,yy，所以10101

4、132)(yyk，曲率半径10101kr应该选（ c）5设函数xxfarctan)(，若)( )(xfxf，则220 xxlim（）（）1（）32（）21（）31【详解 】注意（ 1）211xxf)( ， （2）)(arctan,33310 xoxxxx时由于)( )(xfxf所以可知xxxxffarctan)()( 211，22)(arctanarctanxxx，3131333020220 xxoxxxxxxarxxxxxx)()(lim)(arctantanlimlim6设),(yxu在平面有界闭区域d 上连续，在d 的内部具有二阶连续偏导数，且满足02yxu及02222yuxu，则（）

5、（a）),(yxu的最大值点和最小值点必定都在区域d 的边界上；（b）),(yxu的最大值点和最小值点必定都在区域d 的内部；（c）),(yxu的最大值点在区域d 的内部，最小值点在区域d 的边界上；page 3 of 10 （d）),(yxu的最小值点在区域d 的内部，最大值点在区域d 的边界上【详解 】),(yxu在平面有界闭区域d 上连续，所以),(yxu在 d 内必然有最大值和最小值并且如果在内部存在驻点),(00yx，也就是0yuxu，在这个点处xyuyxubyucxua222222,，由条件，显然02bac，显然),(yxu不是极值点，当然也不是最值点，所以),(yxu的最大值点和

6、最小值点必定都在区域d 的边界上所以应该选（a） 7行列式dcdcbaba00000000等于（a）2)(bcad（b）2)(bcad（c）2222cbda（d）2222cbda【详解 】20000000000000000)(bcaddcbabcdcbaaddccbabdcdbaadcdcbaba应该选（ b） 8设321,是三维向量，则对任意的常数lk,，向量31k，32l线性无关是向量321,线性无关的（a）必要而非充分条件（b）充分而非必要条件（c）充分必要条件（d） 非充分非必要条件【详解 】若向量321,线性无关，则（31k，32l）klk),(),(3213211001，对任意的常

7、数lk,，矩阵k的秩都等于 2，所以向量31k，32l一定线性无关而当000010001321,时，对任意的常数lk,，向量31k，32l线性无关，但321,线性相关；故选择（a） page 4 of 10 二、填空题（本题共6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）912521dxxx【详解】11122832421212141521)(|arctan)(xxdxdxxx10设)( xf为周期为4 的可导奇函数，且2012,),()( xxxf，则)(7f【 详 解 】 当20,x时 ，cxxdxxxf2122)()(， 由00)(f可 知0c， 即xxxf22)(；)

8、(xf为周期为 4 奇函数，故1117)()()(fff11设),(yxzz是由方程4722zyxeyz确定的函数，则2121,|dz【详解 】 设4722zyxezyxfyz),(，1222122yzzyzyxyefyzeff,， 当21yx时，0z，21zxffxz，21zyffyz，所以2121,|dzdydx212112曲线l的极坐标方程为r，则l在点22,),(r处的切线方程为【 详解 】先把曲线方程化为参数方程sinsin)(coscos)(ryrx，于是在2处，20 yx,，222|sincoscossin|dxdy，则l在点22,),(r处的切线方程为)(022xy，即.22x

9、y13一根长为1 的细棒位于x轴的区间10,上，若其线密度122xxx)(，则该细棒的质心坐标x【详解 】质心坐标201135121112210210231010dxxxdxxxxdxxdxxxx)()()()(14 设 二 次 型3231222132142xxxaxxxxxxf),(的 负 惯 性 指 数 是1， 则a的 取 值 范 围page 5 of 10 是【详解 】由配方法可知232232231323122213214242xaxxaxxxxxaxxxxxxf)()()(),(由于负惯性指数为1，故必须要求042a，所以a的取值范围是22,三、解答题15 （本题满分10 分）求极限)

10、ln()(limxxdttetxtx1112112【分析】先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限【详解 】21121111111222121122112xxoxxxxexxdttetxxdttetxxxxtxxtx)(lim)(lim)(lim)ln()(lim16 （本题满分10 分）已知函数)(xyy满足微分方程yyyx122，且02)(y，求)(xy的极大值和极小值【详解 】解：把方程化为标准形式得到2211xdxdyy )(，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可得方程通解为：cxxyy333131，由02)(y得32c，即32313133xxyy令011

11、22yxdxdy，得1x，且可知3222222211212)()()(yxyyxdxyd；当1x时，可解得1y，01y，函数取得极大值1y；当1x时，可解得0y，02y，函数取得极小值0y17 （本题满分10 分）page 6 of 10 设平面区域004122yxyxyxd.,|),(计算ddxdyyxyxx)sin(22【详解 】由对称性可得432112121212022222222dddddrrrddxdyxdxdyyxyxyxdxdyxyxydxdyxyxxsin)sin()sin()()sin()sin(18 （本题满分10 分）设 函 数)(uf具 有 二 阶 连 续 导 数 ，)

12、cos(yefzx满 足xxeyezyzxz222224)c o s( 若0000)( ,)(ff，求)(uf的表达式【详解 】设yeuxcos，则)cos()(yefufzx，yeufyeufxzeufxzxxyxcos)( cos)(,)( cos2222; yeufyeufyzyeufyzxxxcos)( sin)(,sin)( 2222；xxxeyefeufyzxz222222)cos()(由条件xxeyezyzxz222224)cos(，可知uufuf)()(4这是一个二阶常用系数线性非齐次方程对应齐次方程的通解为：uuececuf2221)(其中21cc ,为任意常数对应非齐次方程

13、特解可求得为uy41*故非齐次方程通解为uececufuu412221)(page 7 of 10 将初始条件0000)( ,)(ff代入，可得16116121cc,所以)(uf的表达式为ueeufuu4116116122)(19 （本题满分10 分）设函数)(),(xgxf在区间ba.上连续，且)(xf单调增加，10)( xg，证明：（1）baxaxdttgxa,)(0；（2）badttgaadxxgxfdxxfba)()()()(【详解 】（1）证明：因为10)(xg，所以baxdtdttgdxxaxaxa,)(10即baxaxdttgxa,)(0（2）令xadttgaaxaduufduu

14、gufxf)()()()()(，则可知0)(af，且xadttgafxgxgxfxf)()()()()( ，因为,)(axdttgxa0且)(xf单调增加，所以)()()(xfaxafdttgafxa从而0)()()()()()()()()( xfxgxgxfdttgafxgxgxfxfxa，bax,也是)( xf在ba,单调增加，则0)()(afbf，即得到badttgaadxxgxfdxxfba)()()()(20 （本题满分11 分）设函数101,)(xxxxf，定义函数列)()(xfxf1，)()(xffxf12，),()(,xffxfnn1设ns是曲线)(xfyn，直线01yx,所围

15、图形的面积求极限nnnslim【详解 】xxxxxxxfxfxfxxxf21111111121)()()(,)(，,)(xxxf313，page 8 of 10 利用数学归纳法可得.)(nxxxfn1)ln()()(nnndxnxndxnxxdxxfsnn11111111101010，111nnnsnnn)ln(limlim21 （本题满分11 分）已知函数),(yxf满足)(12yyf，且yyyyyfln)()(),(212，求曲线0),(yxf所成的图形绕直线1y旋转所成的旋转体的体积【详解 】由于函数),(yxf满足)(12yyf，所以)(),(xcyyyxf22，其中)(xc为待定的连

16、续函数又因为yyyyyfln)()(),(212，从而可知yyycln)()(21，得到xxyyxcyyyxfln)()(),(212222令0),(yxf，可得xxyln)()(212且当1y时，2121xx,曲线0),(yxf所成的图形绕直线1y旋转所成的旋转体的体积为)ln(ln)()(45222121212dxxxdxyv22 （本题满分11 分）设302111104321a，e 为三阶单位矩阵（1）求方程组0ax的一个基础解系；（2）求满足eab的所有矩阵【详解 】 （1）对系数矩阵a 进行初等行变换如下：310020101001310011104321134011104321302111104321a，得到方程组0ax同解方程组page 9 of 10 43424132xxxxxx得到0ax的一个基础解系13211（2）显然 b 矩阵是一个34矩阵，设444333222111zyxzyxzyxzyxb对矩阵)(ae进行进行初等行变换如下：141310013120101621001141310001011100014321101134001011100014321100302101011100014321)(ae由方程组可得矩阵b 对应的三列分别为1321011214321cxxxx，1321043624321cyyyy，1321011134321czzzz