自考线性代数(经管类)公式汇总(精髓版)

1、第一章行列式一行列式的定义和性质1.余子式ijm和代数余子式ija的定义2行列式按一行或一列展开的公式1）11,1,2,;(,1,2,)nnijijijijijijnnijaaa ajnaaa a in2）11;00nnijikijkjijkjkiaaa aa akjki测试点行列式的任意一行( 列) 与另一行 ( 列) 元素的代数余子式的乘积之和为零.3行列式的性质1）.taa2）用数k乘行列式的某一行（列）所得新行列式原行列式的k倍. 推论3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数. 推论4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0.5）行列式可以按任一行（

2、列）拆开. 6）行列式的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等. 例 设行列式2211baba=1，2211caca=2，则222111cbacba=（3 ）二行列式的计算1二阶行列式和三角形行列式的计算. 2. 对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形行列式的计算. 3对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开. 4行列式中各行元素之和为一个常数的类型. 5. 范德蒙行列式的计算公式例( 性质 4) (1) ( 1)(2)(2)( 1)(3)1232331002331002032494992004992004

3、090.367677300677300607例（各行元素之和为常数的行列式的计算技巧）33300030003000 xaaaxaaaaxaaaaaxaaxaxaaxadaaxaxaaxaxaaaaxxaaaxxa3(3 )() .xaxa例（行列式中有一行只有两个元素不为零的行列式的计算和三角形行列式的计算）111111110000000000 =+ (1)( 1)000000nnnnnnnababadaabaambmababba例2311248( xxd x中，3x项的系数514124( 1) 139(32)(42)(43)21416a第二章矩阵一、矩阵的概念1.

4、要弄清矩阵与行列式的区别2. 两个矩阵相等的概念3. 几种特殊矩阵（0 矩阵，单位阵，三角阵，对角阵，数量阵）二、矩阵的运算1 矩阵,a b的加、减、乘有意义的充分必要条件2矩阵运算的性质比较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点（加法的交换律和结合律；乘法关于加法的分配律；）重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点 . + ;+;abaabbababa baba ab b22222()()(-)-22(); ()2kkkababababa baeaae如果abo，可能,.ao bo例如1122,1122ab都不为零，但abo.

5、 3转置对称阵和反对称阵1）转置的性质(); ();()tttttttttababaaabcc b a2）若()ttaa aa，则称a为对称（反对称）阵例a为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（b ）ataabtaactaadta a解析()()tttttttaaaaaaaa .故taa为对称阵 . ()()ttttaaaaaa.故taa为反对称阵 . ().tttaaaa故taa为对称阵 . 同理ta a也为对称阵 .4. 方阵的行列式的性质; ; ;tnaaaaaba b111; ;.knkaaaaaa5. 逆矩阵1）方阵a可逆 ( 也称非异，a满秩 ) 的充分必要条件是0a. 当a

6、可逆时，11aaa. 其中方阵a的伴随阵a的定义112111222212nnnnnnaaaaaaaaaa。特别当0adbc时，11abdbcdcaadbc重要公式aaa aa e；1naa；a与1a的关系2）重要结论：若n阶方阵,a b满足abe，则,a b都可逆，且11,ab ba. 3）逆矩阵的性质：11();aa; 当0时，111111();()aaabba；11()()ttaa;11aa. 4）消去律：设方阵a可逆，且()abac baca，则必有bc. （若不知a可逆，仅知0a结论不一定成立。 ）例 设a为 2 阶可逆矩阵，且已知112(2)34a，则a =1121342解 由112

7、(2)34a, 所以112234a故1121342a例 （求逆矩阵的方法）设101210,325a求1a. 解 方法 111aaa方法 2101100101100210010012210,325001022301ae(2)+(- 2)(1)(3)+ 3(1)1(3)(3) ( 2)(2)210110010110001221001221000272171001122例（若abe则,a b都可逆 , 且11,.ab ba）已知228,aaeo则1()ae_。解由228aaeo得23350aaaee，即()(3)5aeaee，即(3 )()5aeaee，故11()(3 ).5aeae例设a是n阶方阵

8、，且2()aeo，证明a可逆？ . 证因为2()aeo, 即220aae, 所以(2 )a aee故a可逆 , 且1(2)aae. 例设n阶方阵a满足mao，其中m为正整数， 证明ea可逆， 且121()meaeaaa分析只要检查21()()mea eaaae即可证因为21()()mea eaaa22meaaaaameae. 故121()meaeaaa6分块矩阵矩阵运算时，分块的原则：保证运算能顺利进行（包括分块矩阵和子块的运算）如111121311112213322122232112222333,baaaa ba ba babbabaaaa ba ba bb；分快矩阵的运算规则；特别是分快矩

9、阵的转置111211121121222122221212ttttkmtttkmtttmmmkkkmkaaaaaaaaaaaaaaaaaa准对角阵的逆矩阵：如果12,ka aa都是可逆阵，则11111221kkaooaoooaooaoooaooa三、矩阵的初等变换和初等矩阵1初等变换的定义和性质称矩阵的下列三种变换为初等行变换：（1）两行互换；（2）某一行乘一个非零的数；（3）某一行的k倍加到另一行上。类似地可定义初等列变换，初等行变换，初等列变换统称为初等变换. 方阵经初等变换后的行列式是否变化？（分别就三种初等变换说明行列式变化的情况）初等变换不改变方阵的可逆性；初等变换不改变矩阵的秩；行初

10、等变换必能将矩阵化为行最简形，初等变换必能将矩阵a化为标准形reooo，其中r为矩阵a的秩 . 如果矩阵a经过有限次的初等变换变成,b则称矩阵a与b等价 .等价矩阵有相等的秩，从而有相等的等价标准形 . 2. 初等矩阵的定义和性质1）初等矩阵的定义; 初等阵都可逆，且其逆也是同类型的初等阵. 2) 初等变换和矩阵乘法之间的关系3) 对任意mn阶矩阵a，总存在一系列m阶初等阵12,kp pp和一系列n阶初等阵12,lq qq使得1212.rkleoppp aqqqoo4) 矩阵mn阶a与b等价的充分必要条件是存在一系列m阶初等阵12,kp pp和一系列n阶初等阵12,lq qq使得1212.kl

11、ppp aqqqb例（初等矩阵的定义和性质）下列矩阵中，是初等矩阵的为（c ） a 1000 b 011101001 c100010101 d 010003100解析100010101是由单位矩阵经第三行加第一行得到的，故是初等矩阵。四、矩阵的k阶子式和矩阵秩的概念，求矩阵秩的方法1 矩阵的k阶子式的概念2 矩阵秩的概念定义o矩阵的秩为0，对于非零矩阵a，如果有一个r阶子式不等于0,而所有的1r阶子式（如果有的话）都等于0,则称矩阵a的秩为r. 显然n阶可逆矩阵的秩等于n，故可逆阵又称是满秩的. 阶梯形矩阵的秩等于其非零行的个数. 3. 等价矩阵有相等的秩（初等变换不改变矩阵的秩）; 从而矩阵

12、a左乘（右乘）可逆阵其秩不变. 反之两个同形矩阵只要秩相等，则二者必等价. 4. 求矩阵秩的方法例设a为mn矩阵，c是n阶可逆矩阵，矩阵a的秩为r，则矩阵bac的秩为 _r_. 测试点用可逆矩阵左 ( 右) 乘任意矩阵a, 则a的秩不变 .五、矩阵方程的标准形及解的公式11111212;.axbxa bxabxbaa xabxa ba第三章向量空间一、n维向量线性运算的定义和性质; 例向量由向量组线性表示; 组合系数的求法设向量123(1,1,1) ,(1,1,0) ,(1,0,0) ,(0,1,1) ,tttt则由123,线性表出的表示式为_13_. 解考虑112233xxx该线性方程组的增

13、广矩阵123111011101101001110010111a111011011001011101000100001100110011所以13二、n维向量组的线性相关性1向量组的线性相关性的定义和充分必要条件：1）定义 : 设12,m是一组n维向量 . 如果存在m个不全为零的数12,m，使得11220mm, 则称向量组12,m线性相关，否则，即如果11220mm，必有120m，则称向量组12,m线性无关 . 2)m个n维向量12,(2)mm线性相关的充分必要条件是至少存在某个i是其余向量的线性组合.即12,(2)mm线性无关的充分必要条件是其中任意一个向量都不能表示为其余向量的线性组合. 2.

14、 关于线性相关的几个定理1)如果向量组12,m线性无关 , 而12,m线性相关 , 则可由12,m线性表示 , 且表示法唯一 . 2)线性相关的向量组再增加向量所得的新向量组必线性相关.( 部分相关 , 则整体相关 ; 或整体无关 , 则部分无关 ) 3) 若向量组12(,),1,2,iiiinaaaim线性无关 , 则接长向量组12(1)(,),1,2,iiiini naaaaim必线性无关 . 3判断向量组线性相关性的方法1) 一个向量线性相关0；2) 含有零向量的向量组必线性相关；3) 向量个数向量维数时，n维向量组12,n线性相关120na. 4) 向量个数 向量维数时 , 向量组必线

15、性相关；5) 部分相关，则整体必相关；（整体无关，则部分必无关）. 6) 若向量组线性无关，则其接长向量组必线性无关；7) 向量组线性无关向量组的秩所含向量的个数，向量组线性相关向量组的秩 所含向量的个数; 8) 向量组12,n线性相关（无关）的充分必要条件是齐次方程组11220nnxxx有（没有）非零解. 例设向量111122221111122222(,),(,),(,),(,)a b cab ca b c dabc d，下列命题中正确的是（b ）a若12,线性相关，则必有12,线性相关b若12,线性无关，则必有12,线性无关c若12,线性相关，则必有12,线性无关d若12,线性无关，则必有

16、12,线性相关三、向量组的极大无关组及向量组的秩1极大无关组的定义：设12,r是向量组t的一个部分组. 如果（ 1）12,r线性无关； （ 2）任给t，都有12,r线性相关，则称12,r是向量组t的一个极大无关组. 2向量组的秩，向量组的秩与矩阵的秩；求向量组的极大无关组, 并将其余向量由该极大无关组线性表示的的方法例设1234,是一个4 维向量组，若已知4可以表为123,的线性组合，且表示法惟一，则向量组1234,的秩为 _3_. 四、子空间的定义，基、维数、向量在一组基下的坐标1. n维向量空间的定义：n维实向量的全体构成的集合称为n维向量空间，记为nr. 2.子空间的定义：设v是nr的一

17、个非空子集，且满足对加法运算和数乘运算封闭，则称v是nr的一个子空间 , 简称为向量空间v. 3. 生成子空间的定义：设12,nmr则由它们的所有线性组合构成nr的一个子空间，称它为由12,m生成的子空间. 例设1123123(,0),vxx xxx xxr2123123(,1),vxx xxx xxr31212(,)0nnvxx xxxxx，说明哪个是子空间，那个不是. 解析在1v中，任取1231231(,0),(,0),x xxyyyv k为任意数，都有1122331(,0),xy xyxyv1231(,0)kkx kx kxv所以1v是子空间 . 类似地，可以证明31212(,)0nnv

18、xx xxxxx也是子空间 . 但对2123123(,1),vxx xxx xxr，取(1,0,0,1),(0,1,0,1)都属于2,v而2(1,1,0,2).v这表明2v对加法运算不封闭，故2v不是子空间 . 4.向量空间的基和维数的定义向量空间v的一个向量组12,r线性无关，且v中每个向量都能由它线性表示，则称它为向量空间的一个基 . 零空间0没有基，定义它为0 维，否则，称向量空间的基所含向量个数r为该空间的维数. 设1122rrxxx称12(,)rx xx为在这组基下的坐标. 例 向量空间1212(,0),vxx xxx为实数 的维数为 _2_. 容易看出(1,0,0),(0,1,0)

19、是v的一个基。例 （向量在一组基下的坐标）证明向量组123(1,1,1),(1 ,2,0),(3,0,0)是3r的一组基，则向量(8,7, 3)在这组基下的坐标是_(3,2,1)_. 解因为12311331112002160100001ttt故123,线性无关，所以它是3r的一组基 . 考虑112233ttttxxx该线性方程组的增广矩阵为：123113811381207013110030135tttta113811380131013100660011得1233,2,1.xxx所以(8,7,3)在这组基下的坐标是(3,2,1)（即12332）例 求由向量组123(1 ,1,1),(1,2,0)

20、,(2,3,1)生成的子空间的一个基，并说明该生成子空间的维数. 解析显然12(1 ,1,1),(1,2,0)是123(1 ,1,1),(1,2,0),(2,3,1)的一个极大无关组，故是由向量组123(1,1,1),(1,2,0),(2,3,1)生成的子空间的一个基，所以该子空间的维数等于2.第四章线性方程组一、线性方程组的三种表示方法 1.11 11221121 1212221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb2.axb，其中1112111212222212,nnmmmnmnaaabxaaabxabxaaabx. 31122nnxxxb其中12

21、(1,2, )jjjmjaajna二、齐次线性方程组1齐次方程组有非零解的条件1）齐次方程组0ax有非零解的充分必要条件是()r a未知数的个数（即矩阵a的列数） . 2）其次方程组0ax只有零解的充要条件是系数矩阵a的秩3.n3）n个未知数n个方程的齐次方程组0ax有非零解的充分必要条件是0a. 4) 设a是mn阶矩阵 . 若mn，则齐次方程组0ax必有非零解 .( 这是齐次方程组有非零解的充分条件但不必要 ) 2. 齐次方程组解的结构1）齐次方程组解的性质设,都是0ax的解，则12cc也是0ax的解 (c1，c2为任意常数 ) 2）齐次方程组0ax的基础解系的概念设12,s是齐次方程组0a

22、x的一组解 . 如果它满足：（ 1）12,s线性无关； （2）0ax的任何一个解都可以表示为12,s的线性组合，则称12,s为该齐次方程组的基础解系. 如果齐次方程组有非零解（即()r an） ，则它有基础解系. 重要结论 : 齐次方程组0ax的基础解系含()nr a个线性无关的解；齐次方程组0ax的任意()nr a个线性无关的解都构成该齐次方程组的基础解系；3）齐次方程组0ax的基础解系的求法例 3 元齐次方程组1223 =00 xxxx的基础解系所含解向量的个数为 1 . 解因为齐次方程组的系数矩阵为110011的秩为2, 未知数的个数为3, 所以其基础解系含321个解 . 例 设mn矩阵

23、a的秩()3(3)r ann，,是齐次线性方程组0ax的三个线性无关的解向量，则方程组0ax的基础解系为（d ） a,b, , c,d,解 显然 a,b,c 选项中的三个向量都是线性相关的, 而齐次方程组的基础解系应由线性无关的向量组组成.3. 齐次方程组0ax的通解公式如 果12,nr是0ax基 础 解 系 ， 则 它 的 通 解 为1 122n rn rxccc， 其 中12,n rc cc为任意数 . 三非齐次方程组1非齐次方程组解的性质1）设12,都是axb的解，则12是它的导出组0ax的解 . 2）设12,都是axb的解，则当121kk时，1122kk也是axb的解 . 3）设是ax

24、b的一个解，是它的导出组0ax的解 , 则是axb的解 .2关于非齐次方程组解的讨论定理n个未知数，m个方程的线性方程组axb中， （系数矩阵a是mn阶矩阵）aab是增广矩阵 .则1）当且仅当r ar an()()（未知数的个数）时，方程组axb有惟一解；2）当且仅当()()r ar an（未知数的个数）时，方程组axb有无穷多解；3）当且仅当( )()r ar a时，方程组axb无解 . 从以上定理可见1）线性方程组axb有解的充分必要条件是()()r ar a. 2）当线性方程组axb，方程的个数未知数的个数时，该方程组有惟一解的充分必要条件是系数行列式（方阵）0a. 3）如果非齐次线性方

25、程组axb有解 , 则它有惟一解的充分必要条件是其导出组0ax只有零解 . 3. 非齐次方程组axb的通解的结构1122n rnrxccc其中是方程axb的一个特解，()rr a为系数矩阵的秩，12,n r为它的导出组（与它对应的）齐次方程组0ax的基础解系 . 例 设 3 元非齐次线性方程组axb的两个解为(1,0,2) ,(1, 1,3)tt，且系数矩阵a的秩()2r a，则对于任意常数12,k k k方程组的通解可表为（c ）12a. (1 ,0,2)(1, 1,3) b. (1 ,0,2)(1 , 1,3)ttttkkkc. (1 ,0,2)(0,1, 1) d. (1 ,0,2)(2

26、, 1,5)ttttkk解因为(1,0,2) ,(1 , 1,3)tt都是非齐次方程组axb的解，故(0,1, 1)t是它的导出组0ax的解，又因为0ax为 3 元方程组，()2r a，故它的基础解系含一个解，即它的任何一个非零解都是它的基础解系，故(0,1,1)t就是它的基础解系，又(1,0,2)t是非齐次方程组axb的（特）解，所以 (1,0,2)(0,1, 1)ttk为axb的通解 . 第五章 特征值与特征向量一、特征值与特征向量1特征值与特征向量的定义要点：是n阶方阵a的特征值，是指存在非零列向量，使得a. 这时，称为矩阵a属于特征值的特征向量 .由此知，是n阶方阵a的特征值0ea，这

27、时，齐次方程组()0ea x的非零解都是矩阵a属于特征值的特征向量 . 例 设 3 阶矩阵a的每行元素之和均为2, 则a必有一个特征值为 2 . 解 因为 3 阶矩阵a的每行元素之和均为2, 111213111213212223212223313233313233121122 12 .121aaaaaaaxaaaaaaxaaaaaa所以a必有一个特征值为2. 例 设矩阵1111021100310003a，则a的线性无关的特征向量的个数是（ 3 ）解a的特征值为12341,2,3，当343时，3 111121110321101113003310001000330000ea所以(3)3rea，故(

28、 3)0ea x的基础解系只含一个解，这表明a只有一个属于特征值3的线性无关的特征向量，故a的线性无关的特征向量的个数是3. （矩阵a属于不同特征值的特征向量线性无关）2关于特征值、特征向量的性质1）ta与a有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量；2）设12,都是矩阵a属于特征值的特征向量，12,k k是数，只要11220kk，则1122kk也是矩阵a属于特征值的特征向量；3) 设n阶方阵a的n个特征值为12,n, 则121122(1);nnntraaaa(2)12na. 4）矩阵a属于不同特征值的特征向量线性无关; 5）设是矩阵a属于特征值的特征向量，则是矩阵()fa属于特征值( )f的特

29、征向量，其中101( )kkkf xa xa xa. 6）设为矩阵a的一个特征值 , 则( )f为矩阵()f a的特征值 ; 7) 设是可逆矩阵a的特征值 . 则0，且1是矩阵1a的特征值 . 3特征值、特征向量的求法例 设n阶矩阵a有一个特征值为2, 对于n阶单位矩阵e, 矩阵2ae必有一个特征值为 -4 . 解()2f aae, 则( )2f xx, 因 为a有 一 个 特 征 值 为2, 故2ae必 有 一 个 特 征 值 为( 2)224f例 已知a是n阶矩阵，且满足方程22aao, 证明a的特征值只能是0或2. 证 设为a的特征值，则22必为22aa的特征值，又因为22aao，故22

30、0，故必有0或2. 证毕二、相似矩阵1. 相似矩阵的定义设,a b都是n阶方阵，如果存在可逆阵,p使得1bpap，则称a与b相似 .2. 相似矩阵的性质1) 反身性，对称性，传递性；2） 若方阵a与b相似，则a与b有相同的特征值，（但不一定有相同的特征向量）进而12,nab，且12ntratrb, 其中tra表示矩阵a的迹，即1122nntraaaa,12,n为方阵a的 n 个特征值；注意：反之，若a与b有相同的特征值，a与b不一定相似； 例如1011,0101ab有相同的特征值，但a与b不相似 . 3. 方阵a的对角化问题1) n 阶方阵a能与对角阵相似的充分必要条件是a有 n 个线性无关的

31、特征向量；设12,n是方阵a的n 个特征值，12,nppp依次是方阵a的属于特征值12,n的n 个线性无关的特征向量. 若令12npppp，则121000000npap. 2）若方阵a有 n 个不同的特征值（即特征方程无重根），则a必能与对角阵相似. （这是a能与对角阵相似的充分条件，不是必要条件）三. 向量的内积和正交矩阵1. 向量内积的定义:设11221 122,(,)tnnnnababa ba ba bab2向量的长度22212( ,)naaa3单位化向量04正交向量组的定义及其性质定义如果一个向量组不含零向量，且其中任意两个向量都正交（简称两两正交） ，则称该向量组为正交向量组. 主要

32、性质正交向量组必线性无关5 施密特正交化手续2111222112111111121011(,)1,2010(,)210000k6. 正交矩阵1）正交矩阵的定义；如果n阶方阵a满足taae，则称它为正交阵2）正交矩阵的性质：设方阵a为正交阵，则1;aa必可逆，且1taa；如果,a b都是n阶正交阵，则ab也是正交阵；a是正交阵的充分必要条件是a的列（行）向量组构成nr的标准正交基 . 四实对称矩阵的相似标准形1实对称矩阵的特征值都是实数；2实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交；3实对称矩阵必能与对角阵相似，且存在正交阵p，使得1pap为对角形 . 4等价矩阵有相等的秩;第六章实二次型一.

33、二次型及其矩阵表示12(,)tnf x xxx ax, 称矩阵a的秩为该二次型的秩二矩阵的合同设a与b都是n阶方阵 . 如果存在可逆矩阵,p使得tbp ap，则称a与b合同 . 对 于 二 次 型12(,)tnf x xxx ax， 做 非 退 化 的 线 性 变 换 变 换xpy（ 其 中p为 可 逆 阵 ） 则12(,)()tttnf x xxx axyp ap y, 可见经非退化的线性变换后的二次型的矩阵与原二次型的矩阵合同。三用正交变换化二次型为标准形1. 定理对任意实二次型12(,)tnf xxxx ax，总存在正交变换xpy，使得该二次型化为标准型222121122(,)nnnf

34、x xxyyy，其中12,n为实对称矩阵a的n个特征值 . 此定理说明：对任意实对称矩阵a，总存在正交阵p，使得1200000tnp ap其中12,n为实对称矩阵a的n个特征值 . （即实对称矩阵a必能与对角阵12000000n合同 . 2. 要掌握用正交变换化二次型为标准形（平方和）的方法. 例 ( 用正交变换将二次型化为标准形的方法步骤)已知二次型323121321222),(xxxxxxxxxf，求一正交变换pyx，将此二次型化为标准形解1. 该二次型的矩阵为011101110a2. 求矩阵a的特征值和特征向量令0,ea得矩阵a的特征值1231,2.当121时，得齐次方程组()0ea x

35、的基础解系为12111,001pp，这表明12,pp为矩阵a的属于特征值121的两个线性无关的特征向量. 当32时，得齐次方程组()0ea x的基础解系为3111p，故3p为矩阵a的属于特征值32的特征向量 . 3. 将12,pp正交化 ( 重根特征向量 ) ，令2111221111211(,)11,01(,)22101ppp单位化取312123123111632111,.26302163pp 4. 得正交阵12311126311126321063p5. 当xpy时，原二次型化为标准形2221232.fyyy四. 配方法化二次型为标准形（平方和）. 例用配方法求二次型3231232221321

36、424),(xxxxxxxxxxf的标准形，并写出相应的线性变换。解1.2221231231323(,)424f x xxxxxx xx x2221133223244xx xxxx x22221322333()(2)2(2)xxxxxxx22213233()(2)xxxxx2.令113223332yxxyxxyx，得二次型的标准形222123fyyy. 3.相应的线性变换xpy为332231131,(),2xyxyyxyy，即112233101110.22001xyxxyxy例 用配方法求二次型123121323(,)226f x xxx xx xx x的标准形，并写出相应的线性变换. 解令11