河南省2020年高考理科数学质量检测试题及答案

1、河南省 2020 年高考理科数学质量检测试题及答案（满分 150 分，考试时间 120 分钟）一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.  设集合 A =  x | x2 - x - 2 < 0  ， B = 

2、;x | log  x < 0，则 A2B =A. (-1,2)B. (0,1)               C. (-¥,2)D. (-1,1)2. 设 z =A. -11 + i1 - i， z 是 

3、z 的共轭复数，则 z × z =B. i                   C. 1                   D. 

4、;4()             13. 已知向量 m = x2,1 ，n = (x,2 )，命题 p : x =2，命题 q : $l > 0, 使得 m = l n 成立，则命题 p是命题 q 的A.

5、 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 非充分非必要条件4. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为A. 3B.xx12C.  5               D. 25. 已知随机变量 x 服从正态分布 N (0,1) ，如果 P(x

6、 £ 1) = 0.8413 ，则 P(-1 < x £ 0) =A. 0.3413B. 0.6826C. 0.1587D. 0.0794(    )x2  y26. 已知点 A 2 5,3 10 在双曲线-10b2= 1(b > 0) 上，则该双曲线的离心

7、率为3         B.A.10102C.  10         D. 2 1017.  若函数 f ( x) =   3sin wx + coswx(w > 0) ，且 f (a )&#

8、160;= 2, f (b ) = 0, a - b 的最小值是   ，则 f ( x)p2的单调递增区间是5pp,2 kp +(k Î z)A. 2kp -B. 2kp -662p      p,2 kp + (k Î z)3&

9、#160;      3ppC. kp -, kp +(k Î z )36D. kp -5p     p, kp +  (k Î z)12     128. 周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、

10、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为 315 尺，前九个节气日影长之和为 855 尺，则芒种日影长为A. 15 尺B. 25 尺C. 35 尺D. 45 尺9. 宋元时期数学名着算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ， b 分别为 5，2，则输出的 n =A. 5B.&

11、#160;4C. 3D. 21y 2x210.已知抛物线 y =x2 的焦点 F 是椭圆+4a 2b2= 1(a > b > 0) 的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于 A 、 B 两点，若 DFAB 是正三角形，则椭圆的离心率为A.3 - 1B.2 -1C.33D.2211.已知三棱锥 S - ABC 

12、;所有顶点都在球 O 的球面上，且 SC  平面 ABC ，若 SC = AB = AC = 1，ÐBAC = 1200 ，则球 O 的表面积为2Ap           B 5p        &#

13、160;C 4p         Dp552312.已知函数为偶函数，对任意，则，             恒成立，且当        时，            .设的

14、零点的个数为A.B.C.D.二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）13. 在锐角三角形 ABC 中，a ，b ，c 分别为角 A 、B 、C 所对的边，且 3a = 2c sin A ，c =7 ，且 DABC 的面积为3 32， a + b 的值为_14.

15、0;在三棱锥 S - ABC 中， ÐSAB = ÐSAC = ÐACB = 90° ， AC = 2 ， BC = 13 ， SB =29 ，16.  已知椭圆 C ：  + y 2 = 1 ，直线 l

16、60;： y = x - 1与椭圆 C 交于 A ， B 两点，则过点 A ， B 且与则异面直线 SC 与 AB 所成角的余弦值为_15. (x + y )(2 x - y )5 的展开式中 x3 y3 的系数为_（用数字填写答案）.x22直线 m ： x&

17、#160;=43相切的圆的方程为_三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。）（一）必考题（共 60 分）17. (本小题满分 12 分)已知数列 an满足 a1= 1 , a = 2an n-1+ 2n -1(n ³ 2)，数列b 

18、满足 b = a + 2n + 3 .n n n（1）求证数列bn是等比数列；（2）求数列an的前 n 项和 Sn .18.(本小题满分 12 分)每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续 25 天左右的梅雨季节，如图是江南某地区 20092018 年 10 年间梅雨季节的降雨量（单位：解答下列问题：）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，3（1）假设每年的梅雨季节天气

19、相互独立，求该地区未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过 350的概率；（2）老李在该地区承包了 20 亩土地种植杨梅，他过去种植的甲品种杨梅，平均每年的总利润为28 万元.而乙品种杨梅的亩产量 （/亩）与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种杨梅的单位利润为（元/），请你帮助老李分析，他来年应该种植哪个品种的杨梅可以使总利润（万元）的期望更大？并说明理由.降雨量亩产量50070060040019.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 PABCD中，AB/CD，AB1，CD3，AP2，DP2面 

20、PAD，点 M 在棱 PC 上，  PAD60°，AB平(1)求证：平面 PAB平面 PCD；(2)若直线 PA/ 平面 MBD，求此时直线 BP 与平面 MBD 所成角的正弦值20.（本小题满分 12 分）已知 P 为抛物线 C : y 2 = 2 px( p > 0) 上一点，点

21、 P 到直线 x - y + 3 = 0 的最小距离为2 （1）求抛物线 C 的方程；（2）过点（1，0）作两条互相垂直的直线 l 、l ，与抛物线 C 分别交于 A、B、D、E ，求四边124形 ADBE 的面积 S 的最小值21. (本小题满分 12 分)已知  f ( x) 

22、;= ç e +   ÷ ln x +æ1 öèe ø1x- x .（1）求函数 f ( x) 的极值；1)（2）设 g (x) =ln( x + -ax +ex ，对于任意 x1 Î 0, +¥) ，x2 &

23、#206; 1,+¥) ，总有 g (x1 ) ³e2f (x )2成立，求实数 a 的取值范围.（二）选考题（共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。）22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为（ 为参数）以坐标系原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴

24、，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为  =2sin （1）写出曲线 C1 的极坐标方程和曲线 C2 的直角坐标方程；（2）设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，且POQ= ，求POQ 的面积的最大值23选修 45：不等式选讲（10 分）已知函数（1）求不等式的解集；.（2）若存在实数 ，使得证明：.成立的 的最大值为 ，且实数 ，&#

25、160;满足         ，513.  514.       15.  40     16.  x2 + ç y -   ÷  =  参考答案一、选择题1.A2.C3.A4.A5.A6. 

26、;C7.B8.B9.B10.C11.B12.C二、填空题17æ1 ö21617è3 ø9三、解答题17.解：（）当 n = 1 时， a1 = 1 ，故 b1 = 6 .当 n ³ 2 时， an = 2an-1 + 2n - 1 ，则 bn = an

27、0;+ 2n + 3 = 2an-1 + 2n - 1 + 2n + 3 = 2 (an-1+ 2n + 1) = 2 éëan-1+ 2 (n - 1)+ 3ùû ，n-1  ， b = 2bnb 数列 &#

28、160;是首项为 6 ，公比为 2 的等比数列.n（）由（）得 bn = 3 ´ 2n ， an = bn - 2n - 3 = 3´ 2n - 2n - 3 ，= 3 ×  2 1 - 2n Sn= 3 (2 

29、;+ 22+ 2n)- 2 (1 + 2 + n )- 3n(  )1 - 2- n (n + 1)- 3n ， S = 3 ´ 2n+1 - n2 - 4n - 6 .n18.解:（1）频率分布直方图中第四组的频率为该地区在梅雨季节的降雨量超过的概率为所以该地区未来三

30、年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过的概率为（或.）（2）据题意，总利润为元，其中所以随机变量（万元）的分布列如下表：.270.2350.431.20.322.40.1故总利润（万元）的期望（万元）6因为，所以老李应该种植乙品种杨梅可使总利润（万元）的期望更大19.解：（）因为 AB平面 PAD，所以 ABDP，又因为，AP=2，PAD=60°，由，可得，所以PDA=30°，所以APD=90°，即 DPAP，因为因为，所以 DP平面 PAB，所以平面 PAB平面 PCD（）由 

31、AB平面 PAD以点 A 为坐标原点，AD 所在的直线为 y 轴，AB 所在的直线为 z 轴，如图所示建立空间直角坐标系.其中，       ，         .从而，设，从而得，设平面 MBD 的法向量为，7若直线 PA/平面 MBD，满足，即，得，取，2 p且，直线 BP 

32、与平面 MBD 所成角的正弦值等于：.y 220 解：（1）设 P(0 , y ) ，则点 P 到直线 x - y + 3 = 0 的距离 d =0y 202 p- y + 302若 D ³ 0 ，则 dmin= 0 不合题意，所以 D &

33、lt; 0 即 0 < p < 6所以当 y = p 时， d0min=-p2+ 32= 2 ，解得 p = 2î   y 2 = 4 xk 2即抛物线 C 的方程为 y 2 = 4 x ；（2）因为抛物线 C 的方程

34、为 y 2 = 4 x ，所以（1，0）是焦点设 l 交抛物线 C 于 A( x , y ), B( x , y ) ， l 交抛物线 C 于 D( x , y ), E ( x , y )1112223344由题意 l 

35、;的斜率 k 存在且不为 0，设 l 的方程为 y = k ( x -1) ，11ì y = k ( x -1)4由 íÞ k 2 x2 - (2k 2 + 4) x + k 2 = 0 Þ x +&

36、#160;x = 2 +12则 AB = x + x + p = 4 +124k 2，同理得 DE = x + x + p = 4 + 4k 23    4故 S =1         1&

37、#160;   4               8AB DE = (4 + )(4 + 4k 2 ) = 8k 2 +2         2    k 

38、;2 k 2+ 16 即 S ³ 2 8k 2 ×8k 2+ 16 = 32 ，当且仅当 8k 2 =8k 2即k = ±1 时，等号成立， 所以 Smin= 328(x - e )æç x - 1 ö÷f&#

39、160;¢ (x ) =  e + e -  1  - 1 = -21. (1)1x   x2           x2è e ø所以 f (x )的极小值为： f ç  

40、; ÷ = -æ 1 ö，极大值为： f (e ) = ；è e ø2                 2e            

41、0;    e                    (2) 由(1)可知当 x Î1, +¥) 时，函数 f (x )的最大值为 2e对于任意 x Î0, +¥), x 

42、6;1, +¥)，总有 g (x ) ³121e2f (x )成立，等价于 g (x ) ³ 1 恒成立，2 a £ 2 时，因为e x ³ x + 1 ，所以 g ¢ (x ) = e x +   

43、 1- a ³ x + 1 +    - a ³ 2 - a ³ 0 ，即 g (x )在g ¢ (x ) = e x +1- ax + 11x + 1x + 10, +¥) 上单调递增， g (x ) ³ g