计算固体力学5_本构模型

1、非线性有限元非线性有限元第第5 5章章 本构模型本构模型 计算固体力学计算固体力学第第5 5章章 本构模型本构模型 引言引言应力应力- -应变曲线应变曲线 一维弹性一维弹性 非线性弹性（超弹性）非线性弹性（超弹性）一维塑性一维塑性 多轴塑性多轴塑性超弹塑性模型超弹塑性模型粘弹性粘弹性 应力更新算法应力更新算法连续介质力学与本构模型连续介质力学与本构模型1 1 引言引言 本构方程率形式的积分算法称为应力更新算法（也称为本构更新本构方程率形式的积分算法称为应力更新算法（也称为本构更新算法），包括：算法），包括：径向返回算法的一类图形返回算法，径向返回算法的一类图形返回算法，算法模量与基本应力更新方

2、案一致的概念，算法模量与基本应力更新方案一致的概念，大变形问题的增量客观应力更新方案，大变形问题的增量客观应力更新方案，基于弹性响应的应力更新方案，自动满足客观性的超弹性势能。基于弹性响应的应力更新方案，自动满足客观性的超弹性势能。 为了进行分析，选择材料模型是很重要，往往又不是很明确，为了进行分析，选择材料模型是很重要，往往又不是很明确，仅有的信息可能是一般性的知识和经验，即可能是材料行为的几条仅有的信息可能是一般性的知识和经验，即可能是材料行为的几条应力应变曲线。应力应变曲线。 在有限元软件库中选择合适的本构模型，如果没有合适的本构在有限元软件库中选择合适的本构模型，如果没有合适的本构模型

3、，要开发用户材料子程序。重要的是理解本构模型的关键特征，模型，要开发用户材料子程序。重要的是理解本构模型的关键特征，创建模型的假设，材料、荷载和变形域、以及程序中的数值问题是创建模型的假设，材料、荷载和变形域、以及程序中的数值问题是否适合模型。否适合模型。2 应力应力-应变曲线应变曲线 材料应力应变行为的许多基本特征可以从一维应力状态(单轴应力或者剪切)的一组应力-应变曲线中获得，多轴状态的本构方程常常基于在试验中观察到的一维行为而简单生成。 载荷位移曲线载荷位移曲线 0LLx名义应力（工程应力）给出为名义应力（工程应力）给出为 定义伸长定义伸长 0ATpx工程应变定义为工程应变定义为 100

4、0 xxLLLL2 2 应力应力- -应变曲线应变曲线 CauchyCauchy（或者真实）应力（或者真实）应力表示为表示为 以以每单位当前长度应变的增量每单位当前长度应变的增量随长度随长度的变化得到另一种应变度量的变化得到另一种应变度量 xLLxLLLdLeln)ln(00对数应变（也称为真实应变）对数应变（也称为真实应变） xxxxDe对材料时间求导，表达式为对材料时间求导，表达式为一维情况，上式为变形率一维情况，上式为变形率 当前面积的表达式给出为当前面积的表达式给出为xAJLLAJA000 xxxxpJJATAT10真实应力应变曲线 工程应力应变曲线2 2 应力应力- -应变曲线应变曲

5、线 考虑一种不可压缩材料考虑一种不可压缩材料( (J J1)1)，名义应力和工程应变的，名义应力和工程应变的关系为关系为真实应力真实应力( (对于不可压缩材料对于不可压缩材料) )(0 xxsp1000 xxLLLL)()(0 xxxxss) 1()(0 xxxss说明了对于本构行为应用不同泛函表达式的区别，对于同样材说明了对于本构行为应用不同泛函表达式的区别，对于同样材料取决于采用何种应力和变形的度量。料取决于采用何种应力和变形的度量。 应力应变曲线的显著特征之一是非线性的度。材料线弹性行应力应变曲线的显著特征之一是非线性的度。材料线弹性行为的范围小于应变的百分之几，就可以采用小应变理论描述

6、。为的范围小于应变的百分之几，就可以采用小应变理论描述。2 2 应力应力- -应变曲线应变曲线 应力应变反应与变形率无关的材料称为应力应变反应与变形率无关的材料称为率无关率无关；否则，；否则，称为称为率相关率相关。名义应变率定义为。名义应变率定义为 率无关和率相关材料的一维反应0Lx LxLLL00因为 和即名义应变率等于伸长率，例如即名义应变率等于伸长率，例如 xx 可以看出，对于可以看出，对于率无关材料的应力应率无关材料的应力应变曲线是应变率独立的，变曲线是应变率独立的，而对于率相关材料的应而对于率相关材料的应力应变曲线，力应变曲线，当应变当应变率提高时是上升的率提高时是上升的；而；而当温

7、度升高时是下降的。当温度升高时是下降的。2 2 应力应力- -应变曲线应变曲线 对于弹性材料，应力应变的对于弹性材料，应力应变的卸载曲线简单地沿加载曲线返回，卸载曲线简单地沿加载曲线返回，直到完全卸载，材料返回到了它的直到完全卸载，材料返回到了它的初始未伸长状态。然而，对于弹初始未伸长状态。然而，对于弹塑性材料，卸载曲线区别于加载曲塑性材料，卸载曲线区别于加载曲线，卸载曲线的斜率是典型的应力线，卸载曲线的斜率是典型的应力应变弹性（初始）段的斜率，卸应变弹性（初始）段的斜率，卸载后产生永久应变。其它材料的行载后产生永久应变。其它材料的行为介于这两种极端之间。由于在加为介于这两种极端之间。由于在加

8、载过程中微裂纹的形成材料已经损载过程中微裂纹的形成材料已经损伤，脆性材料的卸载行为，当荷载伤，脆性材料的卸载行为，当荷载移去后微裂纹闭合，弹性应变得到移去后微裂纹闭合，弹性应变得到恢复。卸载曲线的初始斜率给出形恢复。卸载曲线的初始斜率给出形成微裂纹损伤程度的信息。成微裂纹损伤程度的信息。(a)弹性,(b)弹-塑性,(c)弹性含损伤 3 3 一维弹性一维弹性 弹性材料的基本性能是应力仅依赖于应变的当前水平。这意弹性材料的基本性能是应力仅依赖于应变的当前水平。这意味着加载和卸载的应力味着加载和卸载的应力- -应变曲线是一致的，当卸载结束时材料恢应变曲线是一致的，当卸载结束时材料恢复到初始状态。称这

9、种应变是复到初始状态。称这种应变是可逆的可逆的。而且，弹性材料是率无关。而且，弹性材料是率无关的的( (与应变率无关与应变率无关) )。弹性材料的应力和应变是一一对应的。弹性材料的应力和应变是一一对应的。小应变小应变 可逆和路径无关默认在变形中没有能量耗散可逆和路径无关默认在变形中没有能量耗散，在弹性材料中，在弹性材料中，储存在物体中的能量全部消耗在变形中，卸载后材料恢复。储存在物体中的能量全部消耗在变形中，卸载后材料恢复。 对于一维弹性材料，对于一维弹性材料，可逆、路径无关、无能量耗散可逆、路径无关、无能量耗散是等价的特征。是等价的特征。对于二维和三维弹性，以及超弹性材料，也类似。对于二维和

10、三维弹性，以及超弹性材料，也类似。)(xxsxxxdwx0)(对于任意应变，不管如何达到应变值，上式给出唯一应力值。对于任意应变，不管如何达到应变值，上式给出唯一应力值。 3 3 一维弹性一维弹性 应变能一般是应变的凸函数，例如，应变能一般是应变的凸函数，例如， (a)凸应变能函数 (b)应力应变曲线 0)()(2121xxxxww21xx当当 公式的等号成立。公式的等号成立。 凸应变能函数的一个例子如图所示。在这种情况下，函数凸应变能函数的一个例子如图所示。在这种情况下，函数是单调递增的，如果是单调递增的，如果w 是非凸函数，则是非凸函数，则 s 先增后减，材料应变先增后减，材料应变软化，这

11、是非稳定的材料反应，软化，这是非稳定的材料反应， 如右下图。如右下图。0 xdds(a)非凸应变能函数(b)相应的应力应变曲线 大应变大应变 从弹性推广到大应变，只要选择应变度量和定义应力（功共从弹性推广到大应变，只要选择应变度量和定义应力（功共轭）的轭）的弹性势能弹性势能。势能的存在是默认了可逆、路径无关和无能量势能的存在是默认了可逆、路径无关和无能量耗散耗散。如。如 3 3 一维弹性一维弹性 xxEwS 在弹性应力在弹性应力- -应变关系中，从应变的势函数可以获得应力为应变关系中，从应变的势函数可以获得应力为超弹性。如一维大应变问题，以超弹性。如一维大应变问题，以GreenGreen应变的

12、二次函数表示应变的二次函数表示221xSEEEw xSExEES 对于小应变问题，即为胡克定律。对于小应变问题，即为胡克定律。大应变大应变 一种材料的一种材料的CauchyCauchy应力率与变形率相关，称为应力率与变形率相关，称为次弹性次弹性。这。这种关系一般是非线性的，给出为种关系一般是非线性的，给出为 3 3 一维弹性一维弹性 一个特殊的线性次弹性关系给出为一个特殊的线性次弹性关系给出为 这是与路径无关的超弹性关系。对于多轴问题，一般次弹性这是与路径无关的超弹性关系。对于多轴问题，一般次弹性关系不能转换到超弹性，它仅在一维情况下是严格路径无关的。关系不能转换到超弹性，它仅在一维情况下是严

13、格路径无关的。然而，如果是弹性小应变，其行为足以接近路径无关的弹性行为。然而，如果是弹性小应变，其行为足以接近路径无关的弹性行为。因为次弹性的简单性，公式因为次弹性的简单性，公式(5.3.11)(5.3.11)的多轴一般形式常常应用在的多轴一般形式常常应用在有限元软件中，以模拟大应变弹塑性的弹性反应。有限元软件中，以模拟大应变弹塑性的弹性反应。),(xxxDfxxxxEED对上式的关系积分，得到对上式的关系积分，得到xxElnxxxxxdEdd1ln4 4 非线性弹性非线性弹性 对于有限应变有许多不同的应力和变形度量，同样的本构对于有限应变有许多不同的应力和变形度量，同样的本构关系可以写成几种

14、不同的形式，总是可能从一种形式的本构关关系可以写成几种不同的形式，总是可能从一种形式的本构关系转换到另一种形式。系转换到另一种形式。 大应变弹性本构模型首先表述成大应变弹性本构模型首先表述成KirchhoffKirchhoff材料的一种特殊材料的一种特殊形式，由线弹性直接生成到大变形。满足路径无关、可逆和无形式，由线弹性直接生成到大变形。满足路径无关、可逆和无能量耗散。因此，路径无关的程度可以视为材料模型弹性的度能量耗散。因此，路径无关的程度可以视为材料模型弹性的度量。量。 次弹性材料是路径无关程度最弱的材料，遵从次弹性材料是路径无关程度最弱的材料，遵从CauchyCauchy弹性，弹性，其应

15、力是路径无关的，但是其能量不是路径无关的。其应力是路径无关的，但是其能量不是路径无关的。 超弹性材料或者超弹性材料或者GreenGreen弹性，它是路径无关和完全可逆的，弹性，它是路径无关和完全可逆的，应力由应变势能导出。应力由应变势能导出。4 4 非线性弹性非线性弹性 小应变和大转动小应变和大转动 E:CS klijklijECS式中式中 C C 为弹性模量为弹性模量( (切线模量切线模量) )的四阶张量，对的四阶张量，对KirchhoffKirchhoff材料是材料是常数，代表了应力和应变的多轴状态。它可以完全反映材料的各常数，代表了应力和应变的多轴状态。它可以完全反映材料的各向异性。向异

16、性。 许多工程应用包括许多工程应用包括小应变和大转动小应变和大转动。在这些问题中，大变形。在这些问题中，大变形的效果主要来自于大转动，如直升机旋翼、船上升降器或者钓鱼的效果主要来自于大转动，如直升机旋翼、船上升降器或者钓鱼杆的弯曲。由线弹性定律的简单扩展即可以模拟材料的反应，但杆的弯曲。由线弹性定律的简单扩展即可以模拟材料的反应，但要以要以PK2PK2应力代替其中的应力和以应力代替其中的应力和以GreenGreen应变代替线性应变，这称应变代替线性应变，这称为为Saint-Venant- KirchhoffSaint-Venant- Kirchhoff材料，或者简称为材料，或者简称为Kirch

17、hoffKirchhoff材料。材料。最一般的最一般的KirchhoffKirchhoff模型为模型为4 4 非线性弹性非线性弹性 E:CS klijklijECS式中式中C C为弹性模量的四阶张量，有为弹性模量的四阶张量，有8181个常数。利用对称性可以显个常数。利用对称性可以显著地减少常数。著地减少常数。 一般的四阶张量有一般的四阶张量有3 34 48181个独立常数，与全应力张量的个独立常数，与全应力张量的9 9个个分量和全应变张量的分量和全应变张量的9 9个分量有关。个分量有关。 如次弹性本构方程如次弹性本构方程这样这样C C为对称矩阵（为对称矩阵（主对称性主对称性），在），在8181

18、个常数中有个常数中有4545个是独立的。个是独立的。成为上三角或下三角矩阵。成为上三角或下三角矩阵。 4 4 非线性弹性非线性弹性 利用势能表示的应力应变关系和利用势能表示的应力应变关系和GreenGreen公式，公式， ijklklijEEWEEW22ijijEWS故有故有 ijklklijESES应力张量和应变张量均为对称张量（应力张量和应变张量均为对称张量（次对称性次对称性），即），即 jiijjiijEESS,4 4 非线性弹性非线性弹性 应力张量和应变张量均为对称张量（应力张量和应变张量均为对称张量（次对称性次对称性），即），即 jiijjiijEESS,ijlkjiklklijij

19、klCCCC再利用模量的主对称性使独立弹性常数的数目减少，再利用模量的主对称性使独立弹性常数的数目减少，由由3636个常数减少为个常数减少为2121个，为个，为各向异性材料各向异性材料。 应力和应变张量的对称性要求应力的应力和应变张量的对称性要求应力的6 6个独立分量仅与应变个独立分量仅与应变的的6 6个独立分量有关，由弹性模量的局部对称结果，独立常数的个独立分量有关，由弹性模量的局部对称结果，独立常数的数目减少到数目减少到3636个。个。 4 4 非线性弹性非线性弹性 写成矩阵形式为（可以是上或下三角矩阵）写成矩阵形式为（可以是上或下三角矩阵） 对于正交各向异性，具有正交的三个弹性对称面，当

20、坐标变号，对于正交各向异性，具有正交的三个弹性对称面，当坐标变号，为使应变能密度不变，有为使应变能密度不变，有 045353425241514CCCCCCC这样由这样由2121个常数减少为个常数减少为1414个，为个，为正交各向异性材料正交各向异性材料。 若材料对称坐标平面，当沿轴平面反射时，弹性模量不变，若材料对称坐标平面，当沿轴平面反射时，弹性模量不变，固为固为正交各向异性体正交各向异性体，有，有 05646362616CCCCC121323332211665655464544363534332625242322161514131211121323332211222EEEEEECCCSym

21、CCCCCCCCCCCCCCCCCCSSSSSS 对于一个由三个彼此正交的对称平面组成的正交材料对于一个由三个彼此正交的对称平面组成的正交材料( (如木如木材或纤维增强的复合材料材或纤维增强的复合材料) )，仅有，仅有9 9个独立弹性常数，个独立弹性常数，KirchhoffKirchhoff应力应变关系为材料对称坐标平面，为应力应变关系为材料对称坐标平面，为正交各向异性体正交各向异性体4 4 非线性弹性非线性弹性 对于对于各向同性材料各向同性材料，仅有，仅有3 3个常数个常数 366554423123211332211CCCCCCCCCCCC4 4 非线性弹性非线性弹性 小应变和大转动小应变和

22、大转动 klijklijijkkijECEES2E:CEIES2)(trace对于各向同性的对于各向同性的Kirchhoff材料，其应力应变关系可以写成为材料，其应力应变关系可以写成为式中式中Lam常数，体积模量常数，体积模量K，杨氏模量，杨氏模量 E和泊松比和泊松比)1 (2E)21)(1 (E32K的关系为的关系为 材料对称的一个重要的例子是各向同性。一个各向同性材料材料对称的一个重要的例子是各向同性。一个各向同性材料没有方位或者方向的选择，因此，当以任何直角坐标系表示的应没有方位或者方向的选择，因此，当以任何直角坐标系表示的应力应变关系是等同的。对于小应变的许多材料力应变关系是等同的。对

23、于小应变的许多材料( (如金属和陶瓷如金属和陶瓷) )可以作为各向同性进行模拟。张量可以作为各向同性进行模拟。张量C C是各向同性的。在任何坐标是各向同性的。在任何坐标系统中，一个各向同性张量有相同的分量。系统中，一个各向同性张量有相同的分量。(克罗内克)符号构成的一个线性组合： 4 4 非线性弹性非线性弹性 不可压缩性不可压缩性 在变形的过程中，不可压缩材料的体积不变，密度保持常数。在变形的过程中，不可压缩材料的体积不变，密度保持常数。不可压缩材料的运动称为等体积运动。不可压缩材料的运动称为等体积运动。 1detFJ总体变形总体变形 等体积约束运动的率形式等体积约束运动的率形式 0)(Dvt

24、racediv 将应力和应变率度量写成偏量和静水（体积的）部分的和，将应力和应变率度量写成偏量和静水（体积的）部分的和，对于不可压缩材料，静水部分也称为张量的球形部分，分解式为：对于不可压缩材料，静水部分也称为张量的球形部分，分解式为： hyddev voldevDDD 对于不可压缩材料，压力不能从本构方程确定，而是从动量对于不可压缩材料，压力不能从本构方程确定，而是从动量方程确定。方程确定。 4 非线性弹性非线性弹性 Kirchhoff应力应力 JTFSF由由Jacobian行列式放大，称它为权重行列式放大，称它为权重Cauchy应力。对于应力。对于等体积等体积运动运动，它等同于，它等同于C

25、auchy应力。应力。 次弹性次弹性次弹性材料规律联系应力率和变形率。次弹性材料规律联系应力率和变形率。 D:C上式是率无关、线性增加和可逆的。对于有限变形状态的微小增量，应力和应变的增量是线性关系，当卸载后可以恢复。然而，对于大变形能量不一定必须守恒，并且在闭合变形轨迹上作的功不一定必须为零。次弹性规律主要用来代表在弹-塑性规律中的弹性反应，小变形弹性，且耗能效果也小。 4 非线性弹性非线性弹性 切线模量之间的关系切线模量之间的关系 对于各向同性材料对于各向同性材料Jaumann率的切线模量为率的切线模量为 某些次弹性本构关系共同应用的形式为某些次弹性本构关系共同应用的形式为DC:JJDC:

26、TTDC:GG)(jkiljlikklijJijklC对于同一种材料，切线模量不同，材料反应的率形式不同，如对于同一种材料，切线模量不同，材料反应的率形式不同，如 *CCICCCJJTJCTC如果如果是常数，是常数，不是常数。不是常数。 切线模量切线模量证明见第证明见第5.4.5节，推导复杂节，推导复杂4 非线性弹性非线性弹性 超弹性材料超弹性材料 平衡方程是以物体中应力的形式建立的，应力来源于变形，如应变。如果本构行为仅是变形的当前状态的函数，为与时间无关的弹性本构。而对于接近不可压缩的材料，仅依赖变形（应变）不一定能够得到应力。 储存在材料中的能量（功）仅取决于变形的初始和最终状态，并且是

27、独立于变形（或荷载）路径，称这种弹性材料为超弹性（hyper-elastic）材料，或者为Green弹性，例如常用的工业橡胶。动物的肌肉也具有超弹性的力学性质。这里主要讨论橡胶材料的超弹性力学行为。4 非线性弹性非线性弹性 超弹性材料超弹性材料 EECCS)()(2w 对于功独立于荷载路径的弹性材料称之为超弹性（对于功独立于荷载路径的弹性材料称之为超弹性（Green弹弹性）材料。超弹性材料的特征是存在一个潜在（或应变）能量性）材料。超弹性材料的特征是存在一个潜在（或应变）能量函数，它是应力的势能：函数，它是应力的势能： 通过适当转换获得了对于不同应力度量的表达式通过适当转换获得了对于不同应力度

28、量的表达式 TTTwJFEEFFCCFFSF)()(2PFST 由于变形梯度张量由于变形梯度张量F是不对称的，因此名义应力张量是不对称的，因此名义应力张量P的的9个个分量是不对称的。分量是不对称的。 在橡胶大变形中应用在橡胶大变形中应用多项式模型多项式模型和和Ogden指数模型指数模型。4 非线性弹性非线性弹性 超弹性材料超弹性材料 目前，世界半数以上的橡胶是合成橡胶。合成橡胶的种类很目前，世界半数以上的橡胶是合成橡胶。合成橡胶的种类很多，例如，制造轮胎使用的丁苯橡胶（苯乙烯和丁二烯的共聚多，例如，制造轮胎使用的丁苯橡胶（苯乙烯和丁二烯的共聚物）或乙丙烯橡胶（物）或乙丙烯橡胶（ERP）；用于汽

29、车配件的有）；用于汽车配件的有氯丁橡胶氯丁橡胶及另及另一种具有天然橡胶各种性能的异戊橡胶。一种具有天然橡胶各种性能的异戊橡胶。 在众多的合成橡胶中，在众多的合成橡胶中，硅橡胶硅橡胶是其中的佼佼者。它具有无味是其中的佼佼者。它具有无味无毒，不怕高温和严寒的特点，在摄氏无毒，不怕高温和严寒的特点，在摄氏300度和零下度和零下90度时能够度时能够“泰然自若泰然自若”、“面不改色面不改色”，仍不失原有的强度和弹性。例，仍不失原有的强度和弹性。例如生物材料。如生物材料。 橡胶是提取橡胶树、橡胶草等植物的胶乳，加工后制成的具橡胶是提取橡胶树、橡胶草等植物的胶乳，加工后制成的具有弹性、绝缘性、不透水和空气的

30、材料。在半个世纪前，有弹性、绝缘性、不透水和空气的材料。在半个世纪前，“橡橡胶胶”一词是专指生橡胶，它是从热带植物巴西三叶胶的胶乳提一词是专指生橡胶，它是从热带植物巴西三叶胶的胶乳提炼出来的。炼出来的。4 非线性弹性非线性弹性 超弹性材料超弹性材料 1839年，年，Charle Goodyear发明了橡胶的硫化方法，其姓发明了橡胶的硫化方法，其姓氏现在已经成为国际上著名橡胶轮胎的商标。氏现在已经成为国际上著名橡胶轮胎的商标。 从从19世纪中叶起橡胶就成为一种重要的工程材料。然而，世纪中叶起橡胶就成为一种重要的工程材料。然而，橡胶材料的行为复杂，不同于金属材料仅需要几个参数就可橡胶材料的行为复杂

31、，不同于金属材料仅需要几个参数就可以描述材料特性。橡胶材料受力以后，变形是伴随着大位移以描述材料特性。橡胶材料受力以后，变形是伴随着大位移和大应变，其本构关系是非线性的，并且在变形过程中体积和大应变，其本构关系是非线性的，并且在变形过程中体积几乎保持不变。几乎保持不变。 橡胶具有许多特殊的性能，例如电绝缘性、耐氧老化性、耐橡胶具有许多特殊的性能，例如电绝缘性、耐氧老化性、耐光老化性、防霉性、化学稳定性等。光老化性、防霉性、化学稳定性等。4 非线性弹性非线性弹性 超弹性材料超弹性材料 由于计算机以及有限元数值分析的飞速发展，我们可以借助由于计算机以及有限元数值分析的飞速发展，我们可以借助计算机来

32、对超弹性材料的工程应用进行深入研究以及优化设计。计算机来对超弹性材料的工程应用进行深入研究以及优化设计。可以用有限元等数值方法来计算分析橡胶元件的力学性能，包可以用有限元等数值方法来计算分析橡胶元件的力学性能，包括选取和拟合橡胶的本构模型，以及用有限元建模和处理计算括选取和拟合橡胶的本构模型，以及用有限元建模和处理计算结果等。结果等。 橡胶是一种弹性聚合物，其特点是有很强的非线性粘弹性行橡胶是一种弹性聚合物，其特点是有很强的非线性粘弹性行为。它的力学行为对温度、环境、应变历史、加载速率都非为。它的力学行为对温度、环境、应变历史、加载速率都非常敏感，这样使得描述橡胶的行为变得非常复杂。橡胶的制常

33、敏感，这样使得描述橡胶的行为变得非常复杂。橡胶的制造工艺和成分也对橡胶的力学性能有着显著的影响。造工艺和成分也对橡胶的力学性能有着显著的影响。固体橡胶材料的拉伸试验曲线与材料演化模型固体橡胶材料的拉伸试验曲线与材料演化模型 固体橡胶是几乎不可压缩的，其泊松比接近于固体橡胶是几乎不可压缩的，其泊松比接近于0.5。可逆，可逆，大应变。大应变。初始各向同性，应变增加后分子定向排列。初始各向同性，应变增加后分子定向排列。4 非线性弹性非线性弹性 超弹性材料超弹性材料 常用的橡胶性态可分为常用的橡胶性态可分为固体橡胶固体橡胶和和泡沫橡胶泡沫橡胶。4 非线性弹性非线性弹性 超弹性材料超弹性材料 一般将多孔

34、橡胶或弹性泡沫材料统称为泡沫材料。弹性泡一般将多孔橡胶或弹性泡沫材料统称为泡沫材料。弹性泡沫材料的普通例子有多孔聚合物，如海绵、包装材料等。沫材料的普通例子有多孔聚合物，如海绵、包装材料等。 泡沫橡胶是由橡胶制成的弹性泡沫材料，能够满足非常大泡沫橡胶是由橡胶制成的弹性泡沫材料，能够满足非常大的弹性应变要求，拉伸时的应变可以达到的弹性应变要求，拉伸时的应变可以达到500或更大，压缩或更大，压缩时的应变可以达到时的应变可以达到90或更小。与固体橡胶的几乎不可压缩性或更小。与固体橡胶的几乎不可压缩性相比，泡沫材料的多孔性则允许非常大的体积缩小变形，因此相比，泡沫材料的多孔性则允许非常大的体积缩小变形

35、，因此具有良好的能量吸收性。具有良好的能量吸收性。泡沫橡胶材料的多面体微元模型泡沫橡胶材料的多面体微元模型 a) 开放腔室，开放腔室，b) 封闭腔室封闭腔室4 非线性弹性非线性弹性 超弹性材料超弹性材料 泡沫橡胶材料的应力泡沫橡胶材料的应力-应变曲线应变曲线 a)压缩压缩 b)拉伸拉伸小应变小应变 5%，线弹性，泊松比为，线弹性，泊松比为0.3 。大应变，压缩时，泊松比为大应变，压缩时，泊松比为0.0； 拉伸时，泊松比大于拉伸时，泊松比大于0.0。100%典型固体橡胶材料单轴拉伸应力典型固体橡胶材料单轴拉伸应力-应变曲线应变曲线 橡胶本构模型橡胶本构模型 4 非线性弹性非线性弹性 小变形小变形

36、 以多项式形式本构模型为例，其应变能密度表达式为以多项式形式本构模型为例，其应变能密度表达式为NiiiNjijiijJDIICU12121) 1(1)3()3(31I32I1J21201110) 1(1)3()3(JDICICU忽略二阶及二阶以上小量，变为忽略二阶及二阶以上小量，变为弹性常数为弹性常数为 101102),(2DKCCGGKGKGKKGE262339K5 . 0,3GE当当 橡胶本构模型橡胶本构模型 4 非线性弹性非线性弹性 3211)(AI1332212)(AI3213)(AI0LLx定义伸长定义伸长 工程应变定义为工程应变定义为 10 xxL1xx二阶张量基本不变量二阶张量基

37、本不变量 31I32I小变形，有小变形，有 13I小变形小变形 橡胶本构模型橡胶本构模型 4 非线性弹性非线性弹性 例题例题 在超弹性计算中，橡胶使用三次减缩多项式应变能本构模型，在超弹性计算中，橡胶使用三次减缩多项式应变能本构模型，应变能密度表达式为应变能密度表达式为3110)3(iiiICU100 461312C = .200 01752C= . 53010818.=C若取若取（单位为（单位为MPa），求材料弹性常数。），求材料弹性常数。 利用公式利用公式解：解：101102),(2DKCCGGKGKGKKGE2623,39解出橡胶的弹性常数为解出橡胶的弹性常数为 ， E=1.384MPa

38、，= 0.5 小变形小变形 橡胶本构模型橡胶本构模型 4 非线性弹性非线性弹性 K 常用的橡胶力学性能描述方法主要分为两类，一类是基于常用的橡胶力学性能描述方法主要分为两类，一类是基于热力学统计热力学统计的方法，另一类是基于橡胶为连续介质的的方法，另一类是基于橡胶为连续介质的唯象学唯象学描描述方法。述方法。 热力学统计方法的基础为观察到橡胶中的弹性恢复力主要热力学统计方法的基础为观察到橡胶中的弹性恢复力主要来自熵的减少。橡胶在承受荷载时分子结构无序，熵的减少是来自熵的减少。橡胶在承受荷载时分子结构无序，熵的减少是由于橡胶伸长使得橡胶结构由高度无序变得有序。由对橡胶中由于橡胶伸长使得橡胶结构由高

39、度无序变得有序。由对橡胶中分子链的长度、方向以及结构的统计得到本构关系。分子链的长度、方向以及结构的统计得到本构关系。橡胶本构模型橡胶本构模型 唯象学描述方法假设在未变形状态下橡胶为各向同性材料，唯象学描述方法假设在未变形状态下橡胶为各向同性材料，即长分子链方向在橡胶中是随机分布的。这种各向同性的假设即长分子链方向在橡胶中是随机分布的。这种各向同性的假设是用单位体积（弹性）应变能函数（是用单位体积（弹性）应变能函数（U）来描述橡胶特性的基）来描述橡胶特性的基础，其本构模型为多项式形式模型和础，其本构模型为多项式形式模型和Ogden形式模型。形式模型。NiiiNjijiijJDIICU12121

40、) 1(1)3()3(典型的典型的本构模型本构模型为多项式形式，其应变能密度表达式为为多项式形式，其应变能密度表达式为特殊形式可以由设定某些参数为特殊形式可以由设定某些参数为0来得到。如果所有来得到。如果所有 0ijC0j则得到减缩多项式模型则得到减缩多项式模型 iNiNiiiiJDICU21010) 1(1) 3(21201110) 1(1)3()3(JDICICU对于完全多项式对于完全多项式，如果，如果N1, 则只有线性部分的应变能量，则只有线性部分的应变能量，即即Mooney-Rivlin形式形式橡胶本构模型橡胶本构模型 ，则得到，则得到Neo-Hookean形式形式 对于减缩多项式对于

41、减缩多项式，如果，如果 N121110) 1(1)3(JDICU100%100%Mooney-Rivlin形式和形式和Neo-Hooken形式本构模型形式本构模型（后者是将（后者是将Hooke定律扩展至大变形）定律扩展至大变形）橡胶本构模型橡胶本构模型 Yeoh形式本构模型是形式本构模型是 N3时减缩多项式的特殊形式时减缩多项式的特殊形式 iiiiiiJDICU2313010) 1(1) 3(100%典型的典型的S形橡胶应力形橡胶应力-应变曲线应变曲线 ，C10正值，在小变形时为切线模量；正值，在小变形时为切线模量；C20为负值，中等变形时软化；为负值，中等变形时软化；C30正值，大变形时硬化

42、。正值，大变形时硬化。橡胶本构模型橡胶本构模型 Ogden形式本构模型形式本构模型 Arruda-Boyce形式本构模型形式本构模型 Van der Waals模型模型 JJDIUmln2112332)1ln()3(2232JJDICUiiiimiln211)3(251122212321121(3)(1)iiiNNiiiiiiUJD橡胶本构模型橡胶本构模型 其他形式的本构模型有：其他形式的本构模型有：试验拟合本构模型系数试验拟合本构模型系数 橡胶类材料的本构关系除具有超弹性、大变形的特征外，橡胶类材料的本构关系除具有超弹性、大变形的特征外，其本构关系与生产加工过程有直接关系，如橡胶配方和硫化工

43、其本构关系与生产加工过程有直接关系，如橡胶配方和硫化工艺。确定每一批新加工出来的橡胶的本构关系，都要依赖于精艺。确定每一批新加工出来的橡胶的本构关系，都要依赖于精确和充分的橡胶试验。确和充分的橡胶试验。 通常在试验中应该测得在几种不同荷载模式下的应力通常在试验中应该测得在几种不同荷载模式下的应力-应变曲线，应变曲线，这样可以选择出最合适的本构模型以及描述这种模型的参数。这样可以选择出最合适的本构模型以及描述这种模型的参数。 同一种橡胶材料的三种拉伸变形状态的应力同一种橡胶材料的三种拉伸变形状态的应力-应变曲线图，应变曲线图，对比试验曲线，由最小二乘法拟合多项式本构模型中的系数。对比试验曲线，由

44、最小二乘法拟合多项式本构模型中的系数。试验拟合本构模型系数试验拟合本构模型系数试验拟合本构模型系数试验拟合本构模型系数 给出实验数据，应力表达式的系数通过最小二乘法拟合确给出实验数据，应力表达式的系数通过最小二乘法拟合确定，这样可以使得误差最小。即对于定，这样可以使得误差最小。即对于n 组应力组应力-应变的试验数应变的试验数据，取相对误差据，取相对误差E 的最小值，拟合应力表达式中的系数，得的最小值，拟合应力表达式中的系数，得到理论本构模型。到理论本构模型。2thtest11niiiETT按照本构关系与伸长率对应的应力表达式按照本构关系与伸长率对应的应力表达式 实验数据中的应力值实验数据中的应

45、力值 确定材料常数的经验公式确定材料常数的经验公式 试验拟合本构模型系数试验拟合本构模型系数0rlog0.01840.4575EH010010110230.05EGCCCC 对于已经成型的橡胶元件，通常不容易通过上述试验来确定对于已经成型的橡胶元件，通常不容易通过上述试验来确定其材料常数。经验公式是通过橡胶的其材料常数。经验公式是通过橡胶的IRHD硬度指标来确定材料硬度指标来确定材料的弹性模量和切变模量，再由材料常数和弹性模量的关系来确的弹性模量和切变模量，再由材料常数和弹性模量的关系来确定材料常数。基本公式为（小应变条件）定材料常数。基本公式为（小应变条件）将得到的材料常数代入将得到的材料常

46、数代入Mooney-Rivlin模型进行计算。模型进行计算。 例子例子 采用氢化丁腈橡胶采用氢化丁腈橡胶H-NBR75，硬度为，硬度为75MPa，解得，解得 08.366MPaE 101.328MPaC010.0664MPaC 由于大型有限元软件的迅速发展，使得复杂的超弹性模型计由于大型有限元软件的迅速发展，使得复杂的超弹性模型计算过程由计算机程序完成，在算过程由计算机程序完成，在ABAQUS等商用软件中给出了具体等商用软件中给出了具体的计算。用户要熟悉如何输入数据文件，根据试验数据拟合和选的计算。用户要熟悉如何输入数据文件，根据试验数据拟合和选用合适的本构模型，如何处理输出结果并检验其是否正

47、确。对于用合适的本构模型，如何处理输出结果并检验其是否正确。对于初学者来说，商用软件是一个初学者来说，商用软件是一个“黑匣子黑匣子”，因此，掌握超弹性材，因此，掌握超弹性材料模型理论和计算方法是取得仿真成功的关键。料模型理论和计算方法是取得仿真成功的关键。结论与讨论结论与讨论 需要注意的是，对于不可压缩材料的平面问题，无论是解析需要注意的是，对于不可压缩材料的平面问题，无论是解析解还是数值解，均不能采用平面应变解答。因为对于不可压缩材解还是数值解，均不能采用平面应变解答。因为对于不可压缩材料，如果采用平面应变模型，其体积不变，内力为不确定量，在料，如果采用平面应变模型，其体积不变，内力为不确定

48、量，在有限元中的节点位移不能反映单元内力的变化。有限元中的节点位移不能反映单元内力的变化。对于不可压缩材对于不可压缩材料或者接近于不可压缩材料的平面问题，务必应用平面应力（或料或者接近于不可压缩材料的平面问题，务必应用平面应力（或者广义平面应变）解答者广义平面应变）解答。Part3钢Part2橡胶 RsPart1钢Rr b过盈面过盈面橡胶减震轴过盈配合的解析解和有限元解橡胶减震轴过盈配合的解析解和有限元解平面应变和平面应力模型平面应变和平面应力模型过盈量过盈量1.9mm ，应力非常大，应力非常大，原因是平面应变模型原因是平面应变模型 R (mm)r(MPa)020406080-1-0.8-0.

49、6-0.4-0.20TheoreticAbaqus 01020304050607080-700-600-500-400-300-200-1000r(MPa)R(mm) Part3FEA 理论解 理论解 Part2FEA 理论解 Part1FEA橡胶和钢环的解析解与橡胶和钢环的解析解与FE解的径向应力比较解的径向应力比较 广义平面应变平面应力问题广义平面应变平面应力问题不发生体积自锁不发生体积自锁平面应变模型平面应变模型发生体积自锁发生体积自锁5 5 一维塑性一维塑性 应力保持40MPa的蠕变试验数据与计算结果对比 ),( TtEE 231max 22so3o1omax 123= s5 5 一维

50、塑性一维塑性 omaxmax231max 22so3o1omax123= ss31 ss31n允许应力允许应力 5 5 一维塑性一维塑性 oddvv5 5 一维塑性一维塑性 vvvdvvv21323222161Edv2321621E形状形状改变比能与改变比能与体积体积改变比能改变比能体积改变能密度与形状改变能密度体积改变能密度与形状改变能密度2 13 32131 321dvvvv5 5 一维塑性一维塑性 123= s213232221d)()()(61Ev2sod31Evs23105 5 一维塑性一维塑性 s213232221)()()(21 ss213232221)()()(21n2sod3

51、1Ev213232221d)()()(61Ev5 5 一维塑性一维塑性 5 一维塑性一维塑性 对于卸载后产生永久应变的材料称为塑性材料。对于卸载后产生永久应变的材料称为塑性材料。 应变的每一增量分解成为弹性可逆部分和塑性不可逆部分应变的每一增量分解成为弹性可逆部分和塑性不可逆部分 塑性理论的主要内容有：塑性理论的主要内容有： peddd),(qf屈服函数控制塑性变形的突变和连续，是内变量和应力的函数屈服函数控制塑性变形的突变和连续，是内变量和应力的函数 流动法则控制塑性流动，即确定塑性应变增量。流动法则控制塑性流动，即确定塑性应变增量。内部变量内部变量的演化方程控制屈服函数的演化，包括应变的演

52、化方程控制屈服函数的演化，包括应变-硬化关系。硬化关系。 弹弹-塑性定律是路径相关和耗能的，大部分的功消耗在材料塑性变塑性定律是路径相关和耗能的，大部分的功消耗在材料塑性变形中，不可逆换成其它形式的能量，特别是热。应力取决于整个变形中，不可逆换成其它形式的能量，特别是热。应力取决于整个变形的历史，不能表示成为应变的单值函数；而它仅能指定作为应力形的历史，不能表示成为应变的单值函数；而它仅能指定作为应力和应变的率之间的关系。和应变的率之间的关系。5 一维塑性一维塑性 一维率无关塑性一维率无关塑性 典型弹典型弹-塑性材料的应力塑性材料的应力-应变曲线应变曲线 应变的增量假设分解成为弹性和塑性部分的

53、和，率形式应变的增量假设分解成为弹性和塑性部分的和，率形式 pe应力增量应力增量( (率率) )总是与弹性模量和弹性应变的增量总是与弹性模量和弹性应变的增量( (率率) )有关有关 eEddeE 非线性弹非线性弹-塑性区段，应力塑性区段，应力-应变应变dEEddetan切线模量切线模量 应力应力-应变关系的是应变关系的是率率均匀的。均匀的。如果被任意的如果被任意的时间时间因子缩放，本因子缩放，本构关系保持不变。因此，材料构关系保持不变。因此，材料反应是反应是率无关率无关的。的。 5 一维塑性一维塑性 一维率无关塑性一维率无关塑性 通过流动法则给出了塑性应变率，常常表示为塑性流动势能的形式通过流

54、动法则给出了塑性应变率，常常表示为塑性流动势能的形式p塑性率参数塑性率参数 流动势能的一个例子是流动势能的一个例子是 )(sign等效应力等效应力 屈服条件为屈服条件为 0)(Yf单轴拉伸的屈服强度单轴拉伸的屈服强度 等效塑性应变等效塑性应变 材料在初始屈服之后屈服强度的增加称为功硬化或者应变硬化材料在初始屈服之后屈服强度的增加称为功硬化或者应变硬化( (对应于应变软化对应于应变软化) )。硬化行为一般是塑性变形先期历史的函数。硬化行为一般是塑性变形先期历史的函数。 屈服行为是各向同性硬化；拉伸和压缩的屈服强度总是相等。屈服行为是各向同性硬化；拉伸和压缩的屈服强度总是相等。5 一维塑性一维塑性

55、 一维率无关塑性一维率无关塑性 fsignp)(一个特殊的模型，一个特殊的模型， 塑性应变率写成为塑性应变率写成为 p)(signff 塑性模型称为关联的，否则，塑性流动是非关联的。塑性模型称为关联的，否则，塑性流动是非关联的。对于关联塑性，塑性流动是沿着屈服面的法线方向。对于关联塑性，塑性流动是沿着屈服面的法线方向。 由此看出由此看出仅当满足屈服条件仅当满足屈服条件时发生塑性变形。时发生塑性变形。 0)(Yf当塑性加载时，应力必须保持在屈服面上，当塑性加载时，应力必须保持在屈服面上， 实现了实现了一致性条件一致性条件 0)(YfHddY)(这给出这给出塑性模量塑性模量 5 一维塑性一维塑性

56、一维率无关塑性一维率无关塑性 ddHY)(典型的硬化曲线，典型的硬化曲线，塑性模量塑性模量对应塑性加载和纯弹性加载或卸载，切线模量为对应塑性加载和纯弹性加载或卸载，切线模量为 HEEEE2tan塑性转换参数塑性转换参数塑性加载弹性加或卸载10加载卸载条件还可以写为加载卸载条件还可以写为 00f0f一致性条件的率形式一致性条件的率形式 应力状态位于塑性表面应力状态位于塑性表面 塑性率参数非负塑性率参数非负 对于塑性加载对于塑性加载 0必须保持在屈服面上必须保持在屈服面上 其应力状态其应力状态0f对于弹性加载或者卸载对于弹性加载或者卸载 0没有塑性流动没有塑性流动 0f因此因此 材料硬化描述材料硬

57、化描述 (a) Bauschinger效果效果 (b) 屈服面的平移和扩展屈服面的平移和扩展 在循环加载中，各向同性硬化模型提供了在循环加载中，各向同性硬化模型提供了金属金属应力应变反应的粗应力应变反应的粗糙模型。图糙模型。图a为为Bauschinger效果，在拉伸初始屈服之后的压缩屈服效果，在拉伸初始屈服之后的压缩屈服强度降低。认识这种行为的方法之一是观察屈服表面的中心沿着塑性强度降低。认识这种行为的方法之一是观察屈服表面的中心沿着塑性流动方向移动。图流动方向移动。图b为多轴应力状态圆环屈服表面扩张对应于为多轴应力状态圆环屈服表面扩张对应于各向各向同性硬化（幂硬化）同性硬化（幂硬化），它的中

58、心平移对应于，它的中心平移对应于运动硬化运动硬化。 5 一维塑性一维塑性 混合硬化混合硬化 屈服面积改变，屈服中心不变，各向同性硬化；屈服面积改变，屈服中心不变，各向同性硬化；屈服面积不变，屈服中心平移，运动硬化。屈服面积不变，屈服中心平移，运动硬化。背应力的内部变量背应力的内部变量 Stress-strain curve under cyclic loadsCombined hardening model 混合硬化混合硬化 5 一维塑性一维塑性 屈服面积改变，屈服中心不变，各向同性硬化；屈服面积改变，屈服中心不变，各向同性硬化；屈服面积不变，屈服中心平移，运动硬化。屈服面积不变，屈服中心平移

59、，运动硬化。5 一维塑性一维塑性 运动硬化运动硬化 塑性流动关系塑性流动关系 p背应力背应力的内部变量的内部变量 屈服条件屈服条件 Yf一维率相关塑性一维率相关塑性 在率相关塑性中，材料的塑性反应取决于加载率在率相关塑性中，材料的塑性反应取决于加载率， 一种方法是过应力模型，等效塑性应变率取决于超过多少屈服应力一种方法是过应力模型，等效塑性应变率取决于超过多少屈服应力 mY10)(等效塑性应变率的一种交换形式等效塑性应变率的一种交换形式 ,粘度粘度 过应力过应力5 一维塑性一维塑性 应变软化应变软化 0, 0uF0uF单调凸本构曲线不再成立。应变软化如何加载？单调凸本构曲线不再成立。应变软化如

60、何加载？位移加载位移加载6 多轴塑性多轴塑性 Tresca屈服准则屈服准则Mises屈服准则屈服准则在有限元程序中一般应用哪种屈服准则？为什么？在有限元程序中一般应用哪种屈服准则？为什么？摩擦滑移屈服表面摩擦滑移屈服表面 6 多轴塑性多轴塑性 Mohr-Coulomb本构模型本构模型0NQf 滑移方向（塑性流动）是水平的（沿Q 的方向）而不是垂直屈服面。这是非关联塑性流动的例子。对于连续体和多轴应力应变状态的行为，M-C准则具有普适性。它应用于模拟土壤和岩石。 c M-C准则是基于这样的概念，即当任意面上的切应力和平均法准则是基于这样的概念，即当任意面上的切应力和平均法向应力达到临界组合时在材