第一章函数极限与连续

1、高等数学高等数学1函数是对现实世界中各种变量之间相互依存关系函数是对现实世界中各种变量之间相互依存关系 的一种抽象，函数概念是数学中的主要概念之一，它的一种抽象，函数概念是数学中的主要概念之一，它 是微积分的主要研究对象。是微积分的主要研究对象。第一章第一章 函数、极限与连续函数、极限与连续积分的基本工具。微积分学中的其它几个重要概念，积分的基本工具。微积分学中的其它几个重要概念， 如连续、导数、定积分等都是用极限表述的，并且微如连续、导数、定积分等都是用极限表述的，并且微 积分学中的很多定理也是用极限方法推倒出来的。即积分学中的很多定理也是用极限方法推倒出来的。即 微积分的科学理论是建立在极

2、限概念与连续概念的基微积分的科学理论是建立在极限概念与连续概念的基 础上，可以说极限是微积分的基石。础上，可以说极限是微积分的基石。 微积分中最基本的概念是微积分中最基本的概念是“极限极限”，极限是研究微，极限是研究微 高等数学高等数学21.1. 理解函数的概念，会求函数的定义域和函数值；理解函数的概念，会求函数的定义域和函数值； 2. 2. 了解函数的简单性质，会判断函数的奇偶性；了解函数的简单性质，会判断函数的奇偶性；3. 3. 了解反函数概念，会求已知函数的反函数；了解反函数概念，会求已知函数的反函数；4. 4. 记住基本初等函数的主要性质及其图形，理解记住基本初等函数的主要性质及其图形

3、，理解初等函数的意义；初等函数的意义；5. 5. 了解复合函数的意义。熟练掌握将初等函数按了解复合函数的意义。熟练掌握将初等函数按 基本初等函数的复合和四则运算形式分解。基本初等函数的复合和四则运算形式分解。 6. 6. 了解经济分析中常用的函数。了解经济分析中常用的函数。一、教学要求一、教学要求高等数学高等数学37 7了解数列极限、函数极限概念；了解数列极限、函数极限概念；8 8了解无穷小量、无穷大量的意义，了解无穷了解无穷小量、无穷大量的意义，了解无穷 小量与变量极限的关系，会对无穷小量进行比较；小量与变量极限的关系，会对无穷小量进行比较； 9 9熟练掌握用极限的四则运算法则和两个重要熟练

4、掌握用极限的四则运算法则和两个重要 极限求函数的极限；极限求函数的极限；1010理解函数连续的概念，会判定函数在理解函数连续的概念，会判定函数在 处连处连续与间断，会讨论分段函数在其定义域上的连续性；续与间断，会讨论分段函数在其定义域上的连续性； 0 x1111记住初等函数在其有定义区间上是连续函数记住初等函数在其有定义区间上是连续函数 这一结论；这一结论；1212知道闭区间上连续函数的性质。知道闭区间上连续函数的性质。高等数学高等数学41.1 1.1 函数函数二、教学内容二、教学内容 1.2 1.2 极限的概念与性质极限的概念与性质 1.4 1.4 极限的运算极限的运算1.5 1.5 极限存

5、在的准则和两个重要极限极限存在的准则和两个重要极限 1.3 1.3 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量1.7 1.7 经济管理中常见的函数关系经济管理中常见的函数关系1.6 1.6 函数的连续性函数的连续性高等数学高等数学51.1 1.1 函数函数一、函数概念一、函数概念1.1.定义定义定义定义1.1 若若D是一个非空实数集合，设有一个对是一个非空实数集合，设有一个对应法则应法则 f f，使每一个，使每一个 ，都有唯一确定的实数，都有唯一确定的实数 y yDx 与之对应，则称这个对应法则与之对应，则称这个对应法则 f f为定义在为定义在 D D上的一上的一个个函数关系，或称变量函数关系，或称

6、变量 y y 是变量是变量 x x 的函数。记作的函数。记作 xfy x x称为自变量，称为自变量，y y 称为因变量，集合称为因变量，集合 D D 称为函数称为函数的定义域，也可记作的定义域，也可记作 。 fD高等数学高等数学62. 确定函数的两要素确定函数的两要素函数的定义域和对应法则是确定函数的两个要素。函数的定义域和对应法则是确定函数的两个要素。（1）定义域及其求法）定义域及其求法应用题中函数的定义域由变量的实际意义而定。应用题中函数的定义域由变量的实际意义而定。用解析式表示的函数，其定义域要使解析式在实用解析式表示的函数，其定义域要使解析式在实数范围内有意义：数范围内有意义：a) 负

7、数不能开偶次方；负数不能开偶次方；b) 分式要求分母不等于零；分式要求分母不等于零；c) 对数要求真数大于零，底数大于零且不等于对数要求真数大于零，底数大于零且不等于1；d)反三角函数反三角函数y=arcsinx和和y=arccosx，要求，要求|x|1。高等数学高等数学7 例例1 求函数求函数 的定义域。的定义域。12xy所以定义域为：所以定义域为：解：解： 在偶次根式中，被开方数必须大于、等于在偶次根式中，被开方数必须大于、等于, 012x, 1, 1xx零，所以令零，所以令 解得解得 ., 11,例例2 求函数求函数 的定义域。的定义域。)23lg(1xy)23lg(x, 0)23lg(

8、x解：由于解：由于 是分式的分母，故要求是分式的分母，故要求又由于又由于 是真数，故要求是真数，故要求 , 023x23 x所以当所以当时，时，且且123023xx函数才取确定实数，函数才取确定实数，., 11 ,32于是定义域为：于是定义域为：高等数学高等数学8例例3 求函数求函数 的定义域。的定义域。225151arcsinxxy要求要求 即即解：解： 21yyy1y, 151x, 51 x2y0252 x要求要求 ， 即即, 54x.5 , 4解得解得 于是，函数的定义域为于是，函数的定义域为, 5|x高等数学高等数学9（2）对应法则）对应法则函数的对应法则，可以由表格、图像或解析式来函

9、数的对应法则，可以由表格、图像或解析式来表示。表示。两个函数，只要它们的定义域和对应法则相同，两个函数，只要它们的定义域和对应法则相同，就是相同的函数，与用什么字母和符号表示自变量和就是相同的函数，与用什么字母和符号表示自变量和因变量无关。因变量无关。高等数学高等数学10。；2222) 1()(, 1)()4(lg2)(,lg)()3()(,)()2()(,)() 1 (xxgxxfxxgxxfxxgxxfxxgxxf 例例4 下列各对函数是否相同，并说明原因。下列各对函数是否相同，并说明原因。 解：（解：（1）不相同，定义域不同。）不相同，定义域不同。 （2）相同，对任何实数）相同，对任何实

10、数).(|)(2xgxxxf。（3）不相同，定义域不同。）不相同，定义域不同。 （4）不相同，对应法则不同）不相同，对应法则不同.。高等数学高等数学113. 分段函数分段函数若变量之间的对应关系不能用统一的一个公式表若变量之间的对应关系不能用统一的一个公式表示，则可在函数定义域的不同部分用不同的数学表达示，则可在函数定义域的不同部分用不同的数学表达式来描述，象这样的函数叫分段函数。式来描述，象这样的函数叫分段函数。| xy 00 xx例例5 xxxy0高等数学高等数学12101xxy000 xxx例例6 例例7用分段函数表示函数用分段函数表示函数. | 1|3xy) 1(3) 1(3xxy11

11、xx因此有因此有 11| 1|xxxxxy4211xx即即解：解：0 xy11xx高等数学高等数学13关于分段函数，要注意以下几点：关于分段函数，要注意以下几点：（1）分段函数是用几个公式合起来表示一个函数，）分段函数是用几个公式合起来表示一个函数，而不是表示几个函数；而不是表示几个函数；（2）由于函数式子是用几个公式分段表示的，所）由于函数式子是用几个公式分段表示的，所以各段的定义域必须明确标出；以各段的定义域必须明确标出； （3）分段函数求函数值时，不同点的函数值应代）分段函数求函数值时，不同点的函数值应代入相应范围的公式中去；入相应范围的公式中去；（4）分段函数的定义域是各段定义域的并集

12、。）分段函数的定义域是各段定义域的并集。高等数学高等数学14二、二、 函数的几种简单性质函数的几种简单性质（一）函数的有界性（一）函数的有界性定义定义1.2 设函数设函数 在集合在集合 上有定义，上有定义， xfy 如果存在一个正数如果存在一个正数 M ，对于所有的，对于所有的 ，恒有，恒有xI Mxf | 则称则称 在在 上是有界的。否则，称上是有界的。否则，称 在在 上是上是 xf无界的。无界的。 xf几何意义：曲线几何意义：曲线 xfy 在区间在区间 内被限制在内被限制在ba,My 和和 两条直线之间。两条直线之间。MyabMMyx0III高等数学高等数学15（二）函数的奇偶性（二）函数

13、的奇偶性定义定义1.3 设函数设函数 在对称数集在对称数集 D上有定上有定 xfy 义，如果对任意的义，如果对任意的 ，Dx xfxf恒有恒有 ，则称，则称 为偶函数；为偶函数； xf xf恒有恒有 ，则称，则称 为奇函数。为奇函数。 xfxf偶函数的图形关于偶函数的图形关于 y 轴对称，奇函数的图形关于轴对称，奇函数的图形关于原点对称。原点对称。yyxx00高等数学高等数学16 xfy ba,21xx 21xfxf（三）函数的单调性（三）函数的单调性定义定义1.3 设函数设函数 在区间在区间 内有定义，内有定义，如果对于如果对于 内的任意两点内的任意两点 和和 ，当，当 时，时，ba,ba,

14、ba,1x2x有有 ，则称，则称 在在 内是单调增加的；内是单调增加的； xfy xf xf如果对于如果对于 内的任意两点内的任意两点 和和 ，当，当 时，时，1x2x21xx 有有 ，则称，则称 在在 内是单调减少的。内是单调减少的。 21xfxfba,aabbxxyy1xf 1xf 2xf 2xf xfy 1x1x2x2x高等数学高等数学17（四）函数的周期性（四）函数的周期性定义定义1.4 对于函数对于函数 ，如果存在正数，如果存在正数 a， xfy 使使 恒成立，则称此函数为周期函数。恒成立，则称此函数为周期函数。 axfxf满足这个等式的最小正数满足这个等式的最小正数 a ，称为函数

15、的周期。，称为函数的周期。若若 的周期为的周期为 a ，则，则 的周期为的周期为 。 xfmxfma例如例如 的周期为的周期为 。)2sin(5xy22atan2yx的周期为的周期为 。2a高等数学高等数学18三、初等函数三、初等函数1、基本初等函数、基本初等函数（1） 常数函数常数函数cy 定义域：定义域：,性质：无论性质：无论 x 取何值，都有取何值，都有 ，所以，图形，所以，图形cy c, 0是过是过 点平行于点平行于 x 轴的一条直线，是偶函数。轴的一条直线，是偶函数。cyx0高等数学高等数学19(2) 幂函数幂函数)(Rxy定义域：随定义域：随 的不同而异，但在的不同而异，但在 内总

16、有内总有, 0定义。定义。值域：随值域：随 的不同而异。的不同而异。性质性质：(1) 图象过图象过 (1,1) 点；点；(2) 若若 ，函数在，函数在 内单调增加；内单调增加；若若 ，函数在，函数在 内单调减少。内单调减少。00, 0, 0 xy12xy xy xxx000yyy高等数学高等数学20(3)指数函数指数函数) 1, 0(aaayx定义域：定义域： 值域：值域：, 01a10 a性质性质：(1) 当当 时，函数单调增加；时，函数单调增加；当当 时，函数单调减少。时，函数单调减少。(2) 图象在图象在 x 轴上方，且都过轴上方，且都过 (0,1) 点。点。1 , 01a10 a0 x

17、y高等数学高等数学21定义域：定义域： 值域：值域：(4) 对数函数对数函数, 0,) 1, 0(logaaxya性质性质：(1)当当 时，函数单调增加；时，函数单调增加；1a当当 时，函数单调减少。时，函数单调减少。10 a(2) 图象在图象在 y 轴右侧，且都过轴右侧，且都过 (1,0) 点。点。 1a10 axy01高等数学高等数学220y,xsiny)a( 22222 ,22kk232 ,22kk1 , 111xZk(5) 三角函数三角函数定义域：定义域： 值域：值域：性质：是奇函数，周期为性质：是奇函数，周期为 ，是有界函数。，是有界函数。函数在函数在 内单调增加；内单调增加；在在

18、单调减少。单调减少。高等数学高等数学23kk2 ,12 22xy011,1 , 1xcosy)b( 12,2kkZk定义域：定义域： 值域：值域：性质：是偶函数，周期为性质：是偶函数，周期为 ，是有界函数。，是有界函数。函数在函数在 内单调减少；内单调减少；在在 单调增加。单调增加。高等数学高等数学24xZkkx2Zk,2,2kk22定义域：定义域： 值域：值域： y0性质：是奇函数，周期为性质：是奇函数，周期为 ，是无界函数。，是无界函数。在在 内单调增加。内单调增加。xtany)c( 高等数学高等数学25kk ,Zk,22xy0定义域：定义域： 值域：值域：kx 性质：是奇函数，周期为性质

19、：是奇函数，周期为 ，是无界函数。，是无界函数。在在 内单调减少。内单调减少。xcoty)d( 高等数学高等数学26yxarcsiny)a( 1 , 12,2, 01 , 12211yx002x(6) 反三角函数反三角函数定义域：定义域： 值域：值域：定义域：定义域： 值域：值域：性质：是奇函数，单调增加的有界函数。性质：是奇函数，单调增加的有界函数。性质：是单调减少的有界函数。性质：是单调减少的有界函数。xarccosy)b( 高等数学高等数学272yyxx00,2,2, 022定义域：定义域： 值域：值域：定义域：定义域： 值域：值域：性质：是奇函数，单调增加的有界函数。性质：是奇函数，单

20、调增加的有界函数。性质：是单调减少的有界函数。性质：是单调减少的有界函数。xarctany)c( xcotarcy)d( 高等数学高等数学282、复合函数、复合函数定义定义1.6 设设 y 是是 u 的函数，的函数， ，u 是是 x 的的 ufy xu xu函数，函数， 。如果。如果 的值域或其部分包含的值域或其部分包含在在 的定义域中，则的定义域中，则 y 通过中间变量通过中间变量 u 构成构成 x ufy 的函数，称为的函数，称为 x 的复合函数，记作的复合函数，记作 xfy其中，其中， x 是自变量，是自变量，u 叫做中间变量。叫做中间变量。高等数学高等数学29对于复合函数，有如下说明：

21、对于复合函数，有如下说明：1. 不是任何两个函数都可以构成一个复合函数，不是任何两个函数都可以构成一个复合函数，因为因为 的值域是的值域是 u0，y=lnu 的定义域的定义域 例如例如 和和 就不能构成复合函数。就不能构成复合函数。 形成的简单函数构成的，这样，复合函数的分解的最形成的简单函数构成的，这样，复合函数的分解的最uyln2ux 2ux 是是u0，前者完全没有被包含在后者中。，前者完全没有被包含在后者中。 2. 复合函数不仅可以有一个中间变量，还可以有复合函数不仅可以有一个中间变量，还可以有 多个中间变量多个中间变量u，v，t，g等。等。3. 复合函数通常不一定是由纯粹的基本初等函数

22、复合函数通常不一定是由纯粹的基本初等函数 复合而成，而更多的是由基本初等函数经过四则运算复合而成，而更多的是由基本初等函数经过四则运算 终结果是若干个简单函数。终结果是若干个简单函数。 高等数学高等数学30例例1 已知已知 将将 表示成表示成 的的 , 52,3xuuy函数。函数。,uy 。得得523xy解：将解：将 代入代入例例2 已知已知 将将 表表,cos,4,ln2xvvuuy示成示成 的函数。的函数。解：解：)cos4ln(2x523xu例例3 指出下列复合函数是由那些简单函数复合而指出下列复合函数是由那些简单函数复合而成的。成的。)4sin() 1 (3xy, 4,sin3xuuy

23、解：解： 是由是由)4sin(3xy复合而成的。复合而成的。)4ln(2vyyyxx高等数学高等数学31xy1cot5)2(xv1xy1cot5,cotvu 解：解： 是由是由解：解： 是由是由三个函数复合而成的。三个函数复合而成的。xxy2cos) 3(2xxy2cos2, vu xxv22三个函数复合而成的。三个函数复合而成的。,5uy ,cosuy 高等数学高等数学323、初等函数、初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合而成的函数叫做初等函数。一般来说，初等函的复合而成的函数叫做初等函数。一般来说，初等函数都可以用一个解析式子表

24、达。数都可以用一个解析式子表达。例如例如 是初等函数。是初等函数。xxxycos1cos1cos2nxxx21是初等函数，是初等函数，nxxx21不是初等函数。不是初等函数。一般来说分段函数不是初等函数（有例外）一般来说分段函数不是初等函数（有例外） 。高等数学高等数学33小结：函数、初等函数和复合函数小结：函数、初等函数和复合函数思考：思考：作业：作业： 高等数学高等数学341.2 极限的概念与性质极限的概念与性质极限的重要性：极限的重要性：一、一、 极限是一种思想方法极限是一种思想方法从认识有限到把握无限；从认识有限到把握无限；从了解离散到理解连续。从了解离散到理解连续。二、极限是一种概念

25、二、极限是一种概念微积分中许多概念是微积分中许多概念是用极限定义的。用极限定义的。三、三、 极限是一种计算方法极限是一种计算方法许多许多物理、几何量需要用极限来求。物理、几何量需要用极限来求。高等数学高等数学35例例1 1 刘徽的刘徽的“割圆术割圆术”高等数学高等数学36内接正多边内接正多边形边数形边数正多边形的正多边形的面积面积ny6 12 24 98304 3.0000 3.1058 3.1326 3.1415n高等数学高等数学37一一 、 数列的极限数列的极限（一）数列（一）数列定义定义2.12.1 对于以正整数对于以正整数n n为自变量的函数为自变量的函数 ,nfyn把函数值依自变量增

26、大的次序排列出来的把函数值依自变量增大的次序排列出来的 ,2,1nfff,21nyyy或或这一系列无穷的数叫做一个数列，记作这一系列无穷的数叫做一个数列，记作 nfyn或以正整数为自变量的函数以正整数为自变量的函数 叫作整标函数。叫作整标函数。 nfyn高等数学高等数学38（二）数列的极限定义（二）数列的极限定义定义一定义一 如果当如果当 n n 无限增大时，数列无限增大时，数列 无限趋无限趋近于某常数近于某常数 A A ，则称数列，则称数列 以常数以常数 A A 为极限，为极限， nyAynnlim记作记作如果一个数列有极限，我们就称这个数列是收敛如果一个数列有极限，我们就称这个数列是收敛的

27、，否则就称它是发散的。的，否则就称它是发散的。以以A A为极限，亦称为极限，亦称 收敛于收敛于A A。 ny)(nAyn或或 ny ny高等数学高等数学39nny21) 1 (,21,21,2132nynn11)5(,31, 0 ,21, 0 , 1 , 0几个数列的例子：几个数列的例子：nyn11)2(nyn2) 3(nny11)4(01,45,34,23, 2, 8 , 6 , 4 , 20,2,0,2, 0,2,0,2, 无极限，发散。无极限，发散。 0高等数学高等数学40定义二定义二 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ，总存在，总存在 一个正整数一个正整数 N ，当，当 时

28、，时， 恒成立，恒成立，Nn Ayn则称则称 n 趋于无穷大时，数列趋于无穷大时，数列 以常数以常数 A 为为极限，为为极限，nynyAylimnn 记作记作注：注：定义中定义中 总有那么一个时刻总有那么一个时刻 ( (即即 n 充分大的程度充分大的程度) )， 定的，定的，N是随是随 而确定的。而确定的。)n(Ayn 或或与与 A的接近程度，的接近程度，N 刻划刻划刻划刻划是任意给是任意给高等数学高等数学41练习：已知数列的通项，试写出数列，并观察判定数练习：已知数列的通项，试写出数列，并观察判定数列是否收敛列是否收敛 ：12nnyn （1） （2） （3） （4） nn31y n11y1n

29、n )(31ynn )(高等数学高等数学42二二 、函数的极限函数的极限（一）当（一）当 时函数时函数 的极限的极限x xf，即，即 xx无限增大，它包括无限增大，它包括 xx,例例1 1 在所给条件下，讨论函数的变化趋势。在所给条件下，讨论函数的变化趋势。（1 1）当）当x时，时， xxf)21()(当当 x呢？呢？（2 2）当）当 x时，时， x1)(xf高等数学高等数学43定义定义2.32.3 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ，总存在，总存在一个正数一个正数 M M ，使得当一切，使得当一切 时，时，Mx | |Axf恒成立恒成立 ，则称，则称 x x趋于无穷大时，函数趋于

30、无穷大时，函数 以常数以常数 A A xf为极限，记作为极限，记作 Axfxlim )(xAxf或或当当 时，定义中时，定义中 改为改为 ；当当 时，定义中时，定义中 改为改为xMx |Mx |xMx .Mx)x(flimx A)x(flimxA)x(flimx 性质：性质：高等数学高等数学44x xfAAAyx0MMA时，时， 以以 为极限的几何意义为极限的几何意义：高等数学高等数学45例例2 2 讨论讨论 x时，函数时，函数 xexf)(的极限，的极限， xexf1)(呢？呢？ 所以，所以， 时，时， 极限不存在。极限不存在。 解：解：,xxe,x0 xexxe,x0,x111xe所以，所

31、以，1elimx1x高等数学高等数学46例例3 3 判断极限判断极限 是否存在。是否存在。 xarctxanlim解：解：,x2arctanx,x所以，所以， 时，时， 极限不存在。极限不存在。 x2arctanxarctanx高等数学高等数学47（二）当（二）当 时函数时函数 的极限的极限0 xx xf xf定义定义2.42.4 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ，总存在，总存在一个正数一个正数 ，使当，使当 时，时，|00 xx |Axf恒成立，则称恒成立，则称 趋于趋于 时，函数时，函数 以常数以常数 A A 为极为极0 x限，记作限，记作x Axfxx0lim )(0 xx

32、Axf或或0 x注：注：( (1)1)定义中的定义中的 刻划刻划f(xf(x) )与与A A的接近程度，的接近程度， 刻刻刻划刻划 与与 的接近程度，的接近程度， 是任给的，是任给的， 是随着是随着 而而确定的。确定的。 x,|)2(0 xx|00 xx表示表示 x x 与与 的距离小于的距离小于 ，表示表示 。0 xx 0 x高等数学高等数学480 xx xfAAA0 x0 x0 xyx0A时时 以以 为极限的几何意义：为极限的几何意义：高等数学高等数学49 例例4 4 讨论函数讨论函数 ，当，当 时的时的变化趋势。变化趋势。 11)(2xxxf1x 解：解： 与与是相同的函数。是相同的函数

33、。可以判断可以判断 时，时，11)(2xxxf)()x(f1x1x 1x2)x(f高等数学高等数学50（三）左极限与右极限（三）左极限与右极限定义定义2.52.5 如果当如果当 从从 的左侧的左侧 趋于趋于 x0 x0 x xf时时 以常数以常数 A A 为极限，即对于任意给定的为极限，即对于任意给定的 ，0总存在一个正数总存在一个正数 ，使当，使当 时，时，xx00 |Axf恒成立，则称恒成立，则称 A A 为为 时的左极限，记作时的左极限，记作0 xx Axfxx0limAxf00或或0 xx 右侧右侧（x x0) 00 xx右极限右极限 Axfxx0limAxf00或或高等数学高等数学5

34、1定理定理1.21.2 成立的充分必要条件是：成立的充分必要条件是： Axfxx0lim Axfxfxxxx00limlim即左、右极限各自存在且相等。即左、右极限各自存在且相等。高等数学高等数学52 例例1 观察判断函数观察判断函数 的极限是否存在。的极限是否存在。 )x()x(fx 051 例例2 设设 ，研究当研究当 时，时， 的极限是否存在？的极限是否存在？ 0 x201xxx)x(f0 x)(xf,x1,0 x 解：解： 051x高等数学高等数学53极限定义小结：极限定义小结： Axfxlim) 1 ( ,limAxfx .limAxfx Axfxx0lim)2( .lim0Axfx

35、x ,lim0Axfxx Axfxfxxxx00limlim Axfxx0lim) 3(成立的充分必要条件：成立的充分必要条件：高等数学高等数学541.31.3无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量（一）无穷小量（一）无穷小量定义定义1.12 若函数若函数 在自变量在自变量 x 的某个变化的某个变化 xfy 过程中以零为极限，则称过程中以零为极限，则称 为在该变化过程中的无为在该变化过程中的无 xf,穷小量，简称无穷小，常以穷小量，简称无穷小，常以 等表示。等表示。0 x33,sinxxx例如：当例如：当 时，时， 是无穷小量。是无穷小量。当当 时，时，是无穷小量。是无穷小量。1x21x当当 时

36、，时， 是无穷小量。是无穷小量。21,21xxx高等数学高等数学55 AxfAxflim定理定理1.31.3 函数函数 以常数以常数 A A 为极限的充分必要为极限的充分必要 xf xf条件是条件是 可以表示为可以表示为 A A与一个无穷小与一个无穷小 之和，即之和，即其中其中. 0lim高等数学高等数学56（二）无穷大量（二）无穷大量定义定义1.14 如果在自变量如果在自变量 x 的某个变化过程中，的某个变化过程中，函数函数 的绝对值的绝对值 无限增大，则称无限增大，则称 为在为在 xf xf |xf该变化过程中的无穷大量，简称无穷大，记作该变化过程中的无穷大量，简称无穷大，记作 xflim

37、 0 x1, cot xx例如例如 当当 时，时， 是无穷大量；是无穷大量；当当 时，时， 是无穷大量。是无穷大量。xx1,130 x当当 时，时， 是无穷大量是无穷大量 ；2, 2xxx高等数学高等数学57注意：注意： （1）称函数是无穷大量或无穷小量必须加以自变量）称函数是无穷大量或无穷小量必须加以自变量的变化过程；的变化过程； （2）它们是变量，无穷大量不是绝对值很大的常数；）它们是变量，无穷大量不是绝对值很大的常数； 无穷小量既不是绝对值很小的常数（除零外），也无穷小量既不是绝对值很小的常数（除零外），也 不是绝对值很大的负数；不是绝对值很大的负数； （3）f(x)是无穷大量与是无穷大

38、量与f(x)极限不存在，不是等同概念；极限不存在，不是等同概念；（4）零是唯一可做无穷小量的常数，但无穷小量）零是唯一可做无穷小量的常数，但无穷小量 不一不一定是零。定是零。 高等数学高等数学58（三）无穷小量与无穷大量的关系（三）无穷小量与无穷大量的关系在同一变化过程中，如果在同一变化过程中，如果 为无穷大量，则为无穷大量，则 xf xf xf1 xf1 0 xf为无穷小量；反之如果为无穷小量；反之如果 为无穷小量，且为无穷小量，且，则，则 为无穷大量。为无穷大量。例如例如 当当 时，时， 是无穷小量，而是无穷小量，而 是无是无 31x3x0 x穷大量。穷大量。当当 时，时， 是无穷大量，而

39、是无穷大量，而 是无是无x2x21x穷小量。穷小量。高等数学高等数学59（四）无穷小量的性质（四）无穷小量的性质性质性质1 有限个无穷小量的代数和仍然是无穷小量。有限个无穷小量的代数和仍然是无穷小量。性质性质2 有界变量乘无穷小量仍是无穷小量。有界变量乘无穷小量仍是无穷小量。性质性质3 常数乘无穷小量仍是无穷小量。常数乘无穷小量仍是无穷小量。性质性质4 无穷小量的乘积仍是无穷小量。无穷小量的乘积仍是无穷小量。,xlimx01 ,limxx021 0211 xxxlim则则例例1 已知已知高等数学高等数学60（五）无穷小量的阶（五）无穷小量的阶定义定义1.13 设设 是同一变化过程中的两个无穷是

40、同一变化过程中的两个无穷,小量。小量。0lim0c 则称则称 是比是比 高阶的无穷小，记为高阶的无穷小，记为 oc为常量，则称为常量，则称 与与 是同阶无穷小是同阶无穷小量。特别量。特别 时，称时，称 与与 是等价是等价1c无穷小，记作无穷小，记作则称则称 是比是比 低阶的无穷小低阶的无穷小高等数学高等数学61小结：小结： 极限的概念、无穷大量和无穷小量的极限的概念、无穷大量和无穷小量的概念。概念。练习：练习：P58 12 14（1）（）（2）（）（3）思考：无穷大量与极限不存在有什么区别。思考：无穷大量与极限不存在有什么区别。高等数学高等数学62 BxvAxulim,lim xvxulim)

41、 1 (BA xvxulim)2( xvxulimlim一、极限的四则运算一、极限的四则运算定理定理1.5 如果如果 ，则，则BA xvxulimlim xvxulimlim xvxulim)3()0(BBA1.4 1.4 极限的运算极限的运算高等数学高等数学63推论推论 设设 存在，存在，C为常数，为常数，n为正整数，为正整数， xulim则则 xuclim) 1 ( nxulim)2(在使用这些法则时，必须注意两点：在使用这些法则时，必须注意两点：(1) 法则要求每个参与运算的函数的极限存在。法则要求每个参与运算的函数的极限存在。(2) 商的极限的运算法则有个前提，即分母的极商的极限的运算

42、法则有个前提，即分母的极限不为零。限不为零。 xuc lim nxulim高等数学高等数学64例例1 ) 123(lim21xxx1lim2lim3lim1121xxxxx21limlim2lim31121xxxxx例例2 1352lim22xxxx) 13(lim)52(lim222xxxxx75若若 为多项式函数或当为多项式函数或当 时分母极限不时分母极限不 xf0 xx 为为0的分式函数，根据极限运算法则可以得出：的分式函数，根据极限运算法则可以得出： 00limxfxfxx高等数学高等数学65例例3 求求21lim22xxx解：根据无穷小量与无穷大量关系解：根据无穷小量与无穷大量关系

43、因为因为 012lim22xxx，所以，所以 21lim22xxx例例4 求求 93lim23xxx)3)(3(3lim3xxxx31lim3xx61高等数学高等数学66例例5 求求 4421lim22xxx解：解：)2)(2(2lim2xxxx原式解：解：4121lim2xx例例6 求求 xx1x1lim0 x )x1x1(x)x1x1)(x1x1(lim0 x原式1)x1x1(x2xlim0 x高等数学高等数学67例例7 求求xxxxxx2332314lim3x解：将分子分母同除以解：将分子分母同除以 ，得，得232123114limxxxxxxxxxxx2332314lim34例例8 求

44、求xxxxxx2432314lim解：将分子分母同除以解：将分子分母同除以 ，得，得4x3243123114limxxxxxxxxxxxx2432314lim0高等数学高等数学68例例9 求求1423lim324xxxxxx解：解：1423lim324xxxxxx高等数学高等数学69当当 时，有理分式时，有理分式 的极限的极限x0, 000ba有以下结果：有以下结果：0/lim00110110babxbxbaxaxammmnnnxmnmnmn且且m,n为非负整数。为非负整数。), 2 , 1 , 0(), 2 , 1 , 0(mjbniaji为常数，为常数，其中其中高等数学高等数学70此极限的

45、重要特征是：此极限的重要特征是： 分母是无穷小量（但不是分母是无穷小量（但不是0）；）； 分子中正弦函数符号后面的变量与分母一样。分子中正弦函数符号后面的变量与分母一样。由此得到一般式为：由此得到一般式为： 1sinlim0 xxx, 1sinsinsinlim0 xxx111sinlim1xxx例如：例如：1.5 两个重要极限两个重要极限(1)1sinlim0 xxx高等数学高等数学71例例1 求求 0tanlimxxx解：解： xxxxcossinlim0解：解： xxxxcos1sinlim00tanlimxxxxxxxxcos1limsinlim001例例2 求求 )0(sinlim0

46、kxkxxkxkxkxsinlim0kxkxxsinlim0高等数学高等数学72例例3 求求 )0, 0(sinsinlim0babxaxxxbxxaxxsinsinlim0bxaxxsinsinlim0解：解：xbxxaxxxsinlimsinlim00 xbbxbxaaxaxxsinlimsinlim00ba高等数学高等数学73例例4 求求 2)4sin(lim22xxx2)4sin(lim22xxx4)2)(2()4sin()2(lim22xxxxx解：解：变化为：变化为： 4)2sin(lim22xxx41)2)(2()2sin(lim2xxxx高等数学高等数学74例例5 求求 xxx

47、arcsinlim00ttttsinlim0解：令解：令 ，则，则 ，当，当时，时， 所以所以 xtarcsintxsinxxxarcsinlim0例例6 求求 xxx11sinlim00 xxxx1sinlim001高等数学高等数学75思考题：下列极限是否存在？思考题：下列极限是否存在？ 是否可用第一重要极限？是否可用第一重要极限？ 为什麽？若有极限，为什麽？若有极限， 求出其极限值。求出其极限值。xxxxsinsinlim120高等数学高等数学76 exxx11lim2这个极限的重要特征是：这个极限的重要特征是： 底为两项之和，第一项为底为两项之和，第一项为1，第二项是无穷，第二项是无穷小

48、量小量 (但不是但不是0)。 指数与第二项互为倒数。指数与第二项互为倒数。如果令如果令 ，当，当 时时 ，公式还，公式还xt1x0t可以写成可以写成ettt101lim高等数学高等数学77,11limexxxexxxcsc0sin1lim exxx101lim或或 exxx11lim由此得到第二个重要极限的一般式：由此得到第二个重要极限的一般式：例如：例如：高等数学高等数学78例例1 求求 xxx311lim解：解：解：解： )31(3311limxxx原式31 e例例2 求求 311limxxx3x1111limxxx原式e313x3x11limx高等数学高等数学79例例3 求求 5211l

49、imxxx5)2(11limxxx原式解：解：2 e5)2(x1111limxxx高等数学高等数学80例例4 求求 xxxx11lim解解1：xxx11x11lim原式21eee解解2：xx1-x21-xlim原式121121lim221xxxx1221121limxxx2e高等数学高等数学81 1. 当当 时，两无穷小时，两无穷小 与与是否同阶？是否等价？是否同阶？是否等价？练习：练习： 0 x24 x39 x2543lim(3sin7)324xxxxxx3. 若若 ，求，求k的值。的值。 432lim23xkxxx2 .高等数学高等数学82*无穷小等价替换定理定理： 若A ，A，B，B是两

50、个相同趋势下的无穷小，且A A，B B （等价无穷小） 则：limABlimlimlimABABAB高等数学高等数学83思考：思考： 作业：作业：小结：极限的四则运算法则和两个重要极限小结：极限的四则运算法则和两个重要极限 高等数学高等数学841.6 函数的连续性函数的连续性定义定义 设变量设变量 从它的初值从它的初值 变到终值变到终值 ，则终值与初值之差则终值与初值之差 就叫做变量就叫做变量 的增量，的增量，u0u1u01uu 01uuuu又叫做又叫做 的改变量，记作的改变量，记作 ，即，即uu xf0 x定义定义1.16 设设 在点在点 的某个邻域内有定义的某个邻域内有定义若若 或或0li

51、m0yx则称则称 在点在点 处连续，并称处连续，并称 是是 的连续点。的连续点。 xf0 x一、连续性的概念一、连续性的概念0)x(f)xx(f lim000 x0 x xf高等数学高等数学85函数函数 在点在点 处连续必须满足三个条件：处连续必须满足三个条件： xfy 0 x xflim)(xx02 .xfxflim)(xx003 （1）在）在 的某个邻域内有定义；的某个邻域内有定义；存在；存在；0 x高等数学高等数学86定义定义 如果函数如果函数 满足满足 xfy 0 x 则称则称 在在 左连续。左连续。 xf 00lim,xxf xf x左连续、右连续左连续、右连续 00lim,xxf

52、xf x 则称则称 在在 右连续。右连续。 xf0 x定理：定理： 连续连续 左右连续左右连续高等数学高等数学87二、函数的间断点二、函数的间断点定义定义 如果函数如果函数 在点在点 处不连续处不连续 xfy 0 x0 x0 x0 x则称则称 为为 的一个间断点。的一个间断点。 xf xf xf xf由定义由定义1.17可知，如果可知，如果 在点在点 处有下列三处有下列三种情况之一，则点种情况之一，则点 是是 的一个间断点。的一个间断点。(1) 在点在点 处，处， 没有定义；没有定义；(2) 不存在；不存在；(3) 虽然虽然 存在，但存在，但0 x xflimxx0 xflimxx0 .xfx

53、flimxx00 高等数学高等数学88间断点的分类与判别：间断点的分类与判别：间断点间断点第一类间断点：第一类间断点：可去型可去型,跳跃型。跳跃型。第二类间断点：第二类间断点：无穷型无穷型,振荡型。振荡型。函数的间断点分为两类，设函数的间断点分为两类，设 为为 的间断点，的间断点，0 x xf第一类间断点：第一类间断点： xfxx0lim xfxx0lim与与 都存在。都存在。第二类间断点：非第一类间断点。第二类间断点：非第一类间断点。高等数学高等数学89例例2 设设 ，讨论，讨论 在在x1处的连处的连 xf 112 xxxf xf续性。续性。解：解： 在在x=1处无定义，处无定义， 在在x=

54、1处处 xf不不 连续。连续。11120 xy高等数学高等数学90 101xx)x(f000 xxx例例3 设设讨论讨论 在在 x=0 处的连续性。处的连续性。 xf1) 1(lim)(lim00 xxfxx1) 1(lim)(lim00 xxfxx xf解：解： 在在x0处有定义，且处有定义，且 xfx0lim , 00 f不存在，不存在， 在在x=0处不连续。处不连续。 xf0 xy111 xy1 xy高等数学高等数学911sinyx xyxy1sinO0 x 为为其其振振荡荡间间断断点点. .tanyx 2x 为其无穷间断点为其无穷间断点 . .xytan2xyO高等数学高等数学92可去

55、型可去型第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x高等数学高等数学93例例4 设设 0 xxsinxf00 xx讨论讨论 在在 x=0 处的连续性。处的连续性。 xf解：解： 在在x0处有定义，且处有定义，且 xf , 00 f xf0 xlim ,fxflimx00 xf在在 x=0 处不处不 连续。连续。10 xxsinlimx高等数学高等数学94定义定义1.18 如果函数如果函数 在区间在区间 内任内任 xfy xfy ba,ba,ba,何一点都连续，则称何一点都连续，则称 在区间在区间 内连续。内连续。

56、 xf xf若函数若函数 在区间在区间 内连续，且内连续，且 ,limafxfax bfxfbxlim则称则称 在闭区间在闭区间 上上 连续。连续。ba,三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性高等数学高等数学95定理定理1.7 若函数若函数 与与 在点在点 处连续，则处连续，则 xgxf两个函数的和，差两个函数的和，差 、积、积 、商、商 xf xg0 x xgxf ,0 xgxgxf在点在点 处也连续。处也连续。0 x定理定理1.8 设函数设函数 在点在点 处连续，处连续， ufy 0 x0u在点在点 处连续，且处连续，且 ，则复合函数，则复合函数 xu 00 xu xfy在点在点 处连续

57、。处连续。0 x结论：结论：基本初等函数在其定义域内都是连续的，基本初等函数在其定义域内都是连续的， 初等函数在其定义区间内也都是连续的。初等函数在其定义区间内也都是连续的。 高等数学高等数学96解：解： 例例8 求求 225limxx25x解：因为解：因为 是初等函数，其定义域为是初等函数，其定义域为,552，而而1255lim222xx，5,5例例9 求求 3)4cos(lim4xxexx3)4cos(lim4xxexx), 9()9 , 0),9 , 04而134)44cos(44ee是初等函数，定义域为是初等函数，定义域为3)4cos(lim4xxexx高等数学高等数学97例例5 求求

58、 的连续区间的连续区间 xxxf)1ln()( 例例6 求求 的间断点的间断点 131111)(xxxxxxf高等数学高等数学98 xfyba, xfmMab01x2xyx定理 （最大值与最小值定理） 如果函数在闭区间 上连续，则它在这个区间上一定有最大值与最小值。 四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质高等数学高等数学99定理定理 （有界性定理）（有界性定理） 如果函数如果函数 在闭区间在闭区间 上连续，则上连续，则 在这个区间上有界。在这个区间上有界。ba, xfy xf高等数学高等数学100aba,ba, xf xf cf ba,Mcmcb12AxymM xfy C0定理定

59、理 （介值定理）如果函数（介值定理）如果函数 在闭区间在闭区间 上连续，上连续，M 和和 m 分别为分别为 在在 上的最上的最小值与最大值，则对于介于小值与最大值，则对于介于 M M 与与 m m 之间的任一之间的任一实数实数 ，至少存在一点，至少存在一点 ，使，使 高等数学高等数学101推论推论 (零点定理零点定理) 如果函数如果函数 在区间在区间 上上 xfba,连续，且连续，且 ，则至少存在一点，则至少存在一点 0bfaf,ba使得使得 . 0f obyxa xfy 高等数学高等数学102例例7 证明方程证明方程 在在 (0,1)内至少有内至少有3214xx 一个实根。一个实根。高等数学

60、高等数学103小结：连续性的概念、判断函数的连续或间断小结：连续性的概念、判断函数的连续或间断 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质作业：作业：高等数学高等数学104 在社会经济活动中，存在着许多经济变量，如在社会经济活动中，存在着许多经济变量，如产量、成本、收益、利润、投资、消费等等。产量、成本、收益、利润、投资、消费等等。 对经济问题的研究的过程中，一个经济变量往往对经济问题的研究的过程中，一个经济变量往往是与多种因素相关的，当我们用数学方法来研究经济是与多种因素相关的，当我们用数学方法来研究经济变量间的数量关系时，经常是找出其中的主要因素，变量间的数量关系时，经常是找出其中的主要