命题及其关系、充分条件与必要条件知识点与题型归纳

1、高考明方向1. 理解命题的概念 2. 了解“若 p，则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析 四种命题 的相互关系3. 理解充分条件、必要条件与充要条件 的含义 .备考知考情常用逻辑用语是新课标高考命题的热点之一 ，考查形式 以选择题为主，试题多为中低档题目 ，命题的重点主要有两个：一是命题及其四种形式 ，主要考查命题的四种形式及命题的真假判断；二是以函数、数列、不等式、立体几何中的线面关系等为背景考查充要条件的判断 ，这也是 历年高考命题的重中之重命题的 热点是利用关系或条件求解参数范围问题 ，考查考生的 逆向思维 .一、知识梳理 名师一号 P4知识点一命题及四种命题1、命题的概

2、念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以 判断真假的陈述句叫做命题 其中判断为真 的语句叫真命题， 判断为假的语句叫假命题注意：命题必须是陈述句 ，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题。2四种命题及其关系(1) 四种命题间的相互关系(2) 四种命题的真假关系两个命题 互为逆否 命题，它们有 相同的真假性 ；两个命题为 互逆命题 或互否命题 ，它们的 真假性无关 注意：(补充)1、一个命题不可能同时既是真命题又是假命题2、常见词语的否定原词语等于（ =）大于（ >）否定词语不等于（）不大于（）原词语都是至多有一个否定词语不都是至少有两个原词语至少有一个任意两个否定词语一个也没有某两个小于（ &

3、lt;）是不小于（）不是至多有 n 个或至少有 n+1 个且所有的任意的某些某个知识点二充分条件与必要条件1、充分条件与必要条件的概念（ 1）充分条件：p q 则 p 是 q 的充分条件即只要有条件 p 就能充分地保证结论 q 的成立，亦即要使 q成立，有 p成立就足够了，即 有它即可 。（ 2）必要条件：p q 则 q 是 p 的必要条件pqqp即没有 q 则没有 p ，亦即 q 是 p 成立的必须要有的条件，即无它不可 。( 补充 ) （ 3）充要条件pq且 qp即 pq则 p 、 q 互为充要条件（既是充分又是必要条件） “ p是 q 的充要条件”也说成“ p 等价于 q ”、 “ q

4、当且仅当 p ”等( 补充 ) 2、充要关系的类型（ 1）充分但不必要条件定义： 若 pq ，但 qp ，则 p是 q 的充分但不必要 条件；（ 2）必要但不充分条件定义： 若 qp ，但 pq ，则 p是 q 的必要但不充分 条件（ 3）充要条件定义：若 pq ，且 qp ，即 pq ，则 p 、 q互为充要条件；（ 4）既不充分也不必要条件定义：若 pq ，且 qp ，则 p 、 q互为既不充分也不必要 条件3、判断充要条件的方法：名师一号 P6 特色专题定义法；集合法；逆否法（等价转换法） 逆否法 - 利用互为逆否的两个命题的等价性集合法 -利用集合的观点概括充分必要条件若条件 p 以集

5、合 A的形式出现， 结论 q以集合 B 的形式出现，则借助集合知识， 有助于充要条件的理解和判断（ 1）若 A B ，则 p 是 q 的充分但不必要条件（ 2）若 B A ，则 p 是 q 的必要但不充分条件（ 3）若 A B ，则 p是 q 的充要条件（4）若 AB，且 AB，则 p 是 q 的既不必要也不充分条件( 补充 ) 简记作 -若 A、B 具有包含关系，则（ 1）小范围是大范围的 充分但不必要条件（ 2）大范围是小范围的 必要但不充分条件二、例题分析（一）四种命题及其相互关系例 1.(1)名师一号 P4对点自测 1命题 “若 x， y 都是偶数，则 xy 也是偶数 ”的逆否命题是

6、()A若 xy 是偶数，则 x 与 y 不都是偶数B若 x y 是偶数，则 x 与 y 都不是偶数C若 xy 不是偶数，则 x 与 y 不都是偶数D若 xy 不是偶数，则 x 与 y 都不是偶数答案C例 1.(2) 名师一号 P5高频考点例 1下列命题中正确的是 ()“若 a0，则 ab0”的否命题；“正多边形都相似 ”的逆命题；“若 m>0，则 x2 xm 0 有实根 ”的逆否命题；1“若 x 32 是有理数，则 x 是无理数 ”的逆否命题ABCD解析 :中否命题为 “若 a0，则 ab 0”，正确；中逆命题不正确；中，1 4m，当 m>0 时，>0，原命题正确，故其逆否命

7、题正确；中原命题正确故逆否命题正确答案B注意：名师一号 P5高频考点例 1规律方法在判断四个命题之间的关系 时，首先要分清命题的条件与结论 ，再比较每个命题的条件与结论之间的关系要注意四种命题关系的相对性 ，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理 ，判定命题为假命题时只需举出反例即可对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手例 1.(3) 名师一号 P4 对点自测 2(2014·陕西卷原命题为 “若1，z2 互为共轭复数，则|z1)z| |z2| ”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是 ()A

8、真，假，真B假，假，真C真，真，假D假，假，假解析易知原命题为真命题，所以逆否命题也为真，设 z1 34i，z243i，则有 |z1|z2|，但是 z1 与 z2 不是共轭复数，所以逆命题为假，同时否命题也为假注意：名师一号 P5 问题探究四种命题间关系的两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题；问题2互为逆否命题的两个命题同真假(2)当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假同时要关注 “特例法 ”的应用 例 2(1) ( 补充)（ 2011 山东文 5)已知 a， b， c R，命题 “若 abc =3 ，则 a2b2c2 3的”否命题 是（）(A) 若 a+b+c3，

9、则 a2b2c2 <3(B) 若 a+b+c=3，则 a2b2c2 <3(C) 若 a+b+c3，则 a2b2c2 3(D) 若 a2b2c2 3，则 a+b+c=3【答案】 A【解析】命题 “若 p ，则 q ”的否命题是： “若p ，则q ”例 2(2) ( 补充)命题： “若 xy0，则x 0或 y0”的否定 是： _【答案】若xy0 ，则 x0 且 y0【解析】命题的否定只改变命题的结论。注意：命题的否定 与否命题的区别（二）充要条件的判断与证明例 1.(1) ( 补充 ) （07湖北）已知 p 是 r 的充分条件而不是必要条件， q 是 r 的充分条件， s 是 r 的必

10、要条件， q 是 s的必要条件。现有下列命题： s 是 q 的充要条件； p 是 q的充分条件而不是必要条件； r 是 q 的必要条件而不是充分条件； p是 s的必要条件而不是充分条件； r 是s的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是（）A. B.C.D.答案: 注意：prqs1、利用定义判断充要条件名师一号 P6特色专题方法一定义法定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题“若 p，则 q”与“若 q，则 p”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p 与 q 之间的充要关系p q 则 p是 q 的充分条件； q 是 p 的必要条件2、利用逆否法判断充要条件名师一号 P6特色专题方法三等价转化

11、法当所给命题的充要条件不好判定时， 可利用四种命题的关系，对命题进行等价转换 常利用原命题与逆命题的真假来判断 p 与 q 的关系令 p 为命题的条件， q 为命题的结论，具体对应关系如下：如果原命题真而逆命题假，那么 p 是 q 的充分不必要条件；如果原命题假而逆命题真，那么 p 是 q 的必要不充分条件；如果原命题真且逆命题真，那么 p 是 q 的充要条件；如果原命题假且逆命题假，那么 p 是 q 的既不充分也不必要条件简而言之 , 逆否法 -利用互为逆否的两个命题的等价性例 1.(2) 名师一号 P6特色专题例 1(2014 ·北京卷 )设 an是公比为 q 的等比数列则 “q

12、>1”是“an为递增数列 ”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【规范解答】若 q>1，则当 a1 1 时， an qn 1 ，an为递减数列，所以 “q>1” ?/ “an为递增数列 ”；若 an 为递增数列，则当n1 n112时，a1 ，q，a22<1即 “an为递增数列 ” “ ”故选D.? /q>1例 1.(3) 名师一号 P6特色专题例 2(2014 ·湖北卷 )设 U 为全集 A， B 是集合，则 “存在集合 C 使得 AC，B?UC”是“AB”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既

13、不充分也不必要条件【规范解答】如图可知，存在集合C，使 AC，B ?UC，则有 AB .若 AB ，显然存在集合 C.满足 A C，B ?UC.故选 C.例 1.(4)名师一号 P4对点自测 52恒为负，则 p 是 q 成立的 ()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析 :4<k<0? k<0， k2 4k<0，函数 ykx2kx 1 的值恒为负，但反之不一定有 4<k<0，如 k0 时，函数 ykx2kx 1 的值恒为负，即 p? q，而 q?/ p.可用定义或集合法注意：3、利用集合法判断充要条件名师一号 P6特色专题方法二

14、集合法涉及方程的解集、 不等式的解集、 点集等与集合相关的命题时，一般采用集合间的包含关系来判定两命题之间的充要性具体对应关系如下：若条件 p 以集合 A的形式出现， 结论 q以集合 B 的形式出现，则借助集合知识， 有助于充要条件的理解和判断（ 1）若 AB ，则 p 是 q 的充分但不必要条件（ 2）若 BA ，则 p 是 q 的必要但不充分条件（ 3）若 AB ，则 p是 q 的充要条件（4）若 AB，且 AB，则 p 是 q 的既不必要也不充分条件( 补充 ) 简记作 -若 A、B 具有包含关系，则（ 1）小范围是大范围的 充分但不必要条件（ 2）大范围是小范围的 必要但不充分条件例

15、2. 名师一号 P5高频考点 例 3函数 f(x)log2x， x>0，有且只有一个零点的x2 a， x0充分不必要条件是 ()11A a0或 a>1B 0<a<2C.2<a<1 D a<0log2x， x>0，解析 :因为 f(x) 2xa，x0 有且只有一个零点的充要条件为 a0或 a>1.由选项可知，使 “a0或 a>1”成立的充分条件为选项 D.注意：名师一号 P5高频考点例 3规律方法有关探求充要条件的选择题，解题关键是：首先，判断是选项“推”题干，还是题干“推”选项其次，利用以小推大的技巧，即可得结论；务必审清题，明确“谁

16、是条件”！此题选项是条件！练习：(补充)y 5 ，则 p 是 q 的已知 p : x 3 且 y2 ， q : x条件。答案 :既不充分条件也不必要条件例 3. 名师一号 P6特色专题例 3已知命题 p：关于 x 的方程 4x2 2ax 2a 50 的解集至多有两个子集， 命题 q：1mx1m，m>0，若 p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围【规范解答】p 是q 的必要不充分条件，p 是 q 的充分不必要条件对于命题 p，依题意知 ( 2a)24·4(2a 5) 4(a2 8a 20) 0， 2a10，令 P a|2a10，Q x|1 mx1 m， m>0，由

17、题意知 PQ，m>0，m>0，1m<2，或1 m2，1m 101m>10，解得 m9.因此实数 m 的取值范围是 m|m9注意：(补充)凡结合已知条件 求参数的取值范围是求满足条件的等价条件即充要条件练习：(补充)已知 p :2x10;q :1mx1m(m0) .若 p 是 q 的必要但不充分条件，求实数 m的取值范围解：p 是q 的必要但不充分条件即pq 且qp 等价于q p p q即 p是 q 的充分但不必要条件令 Ax2x10Bx 1mx1m(m0)则 AB 即1m21m解得 m 910所以实数 m的取值范围是m m9注： A 是 B 的真子集，须确保1m21m1

18、0中的等号不同时取得例4. ( 补充)求证：关于 x 的方程 ax2 2x10 至少有一个负根的充要条件是 a1.证明：充分性：当 a0 时，方程为 2x 1 0 的根为1x 2，方程有一个负根，符合题意当 a<0 时， 44a>0，方程 ax22x 1 0 有两个1不相等的实根，且 a<0，方程有一正一负根，符合题意当 0<a1时， 44a0，2方程 ax2 2x 1 0 有实根，且a<0，1a>0故方程有两个负根，符合题意2综上：当 a1时，方程 ax 2x 1 0 至少有一个负根2必要性： 若方程 ax 2x10 至少有一个负根当 a 0 时，方程为 2x10 符合题意当 a0时，方程 ax22x10 应有一正一负根或两44a012个负根则 a<0或a<0.1a>0解得 a<0 或 0<a1.综上：若方程 ax22x 1 0 至少有一负根，则 a1. 故关于 x 的方程 ax2 2x 10 至少有一个负根的充要条件是 a1.注意：(补充)证明充要条件 务必明确充分性 和必要性并分别给予证明练习： ( 补充 ) 已知 f ( x) 是定义在 R 上的函数，求证： f (x) 为增函数的充要条件是任意的x1、 x2R,且x1x2恒有f (x1 )f ( x2 )